数学建模-王晓霞chap1

数学模型——现实生活中的数学王晓霞，办公室：7111，

Tel：51682054-111,xxwang1@推荐教材：数学模型(第三版,第四版)，姜启源等编，高等教育出版社说明：1.为加强本课程的管理及教学秩序，特在日常教学中实行随机考勤制度，作为学生关于本课程期末考核的一个重要依据；2.你只能填写自己一个人的数据，不得代签。若发现有代签者，数据一并作废，并扣10分;3.平时作业若适于以电子文档的方式提交,请以“学号+姓名+区别码（不同周次的作业，本人可自由选择）”进行文件命名，比方“12111111丁一逢山开路.rar”.xxwang1@。4.公共邮箱：用户名:

bjtujianmo@163.com密码:bjtujianmo1数学建模让数学进入生活通常，1公斤面，1公斤馅，包100个汤圆（饺子）今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？问题圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆,若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为vV和

nv

哪个大?从包汤圆（饺子）说起Ssss…Vvvv(共n个)定性分析V比nv大多少?定量分析从包汤圆（饺子）说起假设1.皮的厚度一样2.汤圆(饺子)的形状一样模型应用若100个汤圆（饺子）包1公斤馅,则50个汤圆(饺子)可以包公斤馅R~大皮半径V是nv是倍1.4r~小皮半径两个k1（和k2）一样(1),(2),(3)数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模

数学建模让数学进入生活数学建模进入大学课堂，顺应时代发展的潮流，符合教育改革的需要数学建模竞赛的迅速发展，有利于培养学生创新精神，提高学生综合素质数学建模进入大学课堂20世纪60~70年代进入西方国家的大学（数学建模教材较集中地出现在70年代）。20世纪80年代初开始进入我国大学；1987年出版第1本教材（《数学模型》，姜启源编，高教社）；80年代末估计30~40所学校开课（数学系，讲座）。1985年美国大学生数学建模竞赛开始举办，1989年我国大学生开始参加这项竞赛。1992年我国大学生数学建模竞赛开始举办，2003年有30省（市、自治区）638所学校参加。

数学建模竞赛与教学相互促进，估计目前开课的学校约400所（各专业，必修课，选修课，讲座）。竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件，在三天时间内分工合作完成一篇论文。评奖标准：假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、文字表述的清晰程度。竞赛宗旨：创新意识团队精神重在参与公平竞争全国大学生数学建模竞赛竞赛形式：在四天时间内分工合作完成一篇论文。评分 解释 比例0 违规论文，或无数学模型 不设1-2 有明显缺陷 不设3-4 有较完整模型，但有错误，或者细节讨论不充分。 不设5-6 有完整模型，正确运用数学方法，结论明确，但有较明显的小失误，或亮点不突出。 10%左右7 有完整且高质量的模型，清晰的表达，某方面的独到之处，可推荐参加最高奖励评选 2%以下美国大学生数学建模竞赛COMAP的最新数据：TotalMCM7126TotalICM6489TotalBoth136151.目录不计入正文页数；2.正文21-23页，得分不超过4分；正文23页以上，得分不超过2分。第一章建立数学模型1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模的重要意义1.3数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类1.6怎样学习数学建模玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征1.1

从现实对象到数学模型我们常见的模型你碰到过的数学模型----“航行问题”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少。x=20y=5求解航行问题建立数学模型的基本步骤

作出简化假设（船速、水速为常数）；

用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；

求解得到数学解答（x=20,y=5）；

回答原问题（船速每小时20千米）。数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模1.2

数学建模的重要意义

电子计算机的出现及飞速发展；

数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。

在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；

在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学建模的具体应用

分析与设计

预报与决策

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼1.3

数学建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地

四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;

地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;

地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来

椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用

(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置

四只脚着地距离是

的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f(

)B,D两脚与地面距离之和~g(

)两个距离

椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(

),g(

)是连续函数对任意

,f(

),g(

)至少一个为0数学问题已知：f(

),g(

)是连续函数;

对任意

，f(

)•g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型构成地面为连续曲面

椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因为f(

)•g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子

和f(

),g(

)的确定思考题.

一人一日早8:00开车由A市出发，至下午5:00达B市；第二天早8:00出发沿原路返回，下午5:00回A市。问沿途是否有一地，前后两天，该人达该地的时刻正好相同。1.3.2

商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人

3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)3名商人

3名随从河小船(至多2人)模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x

,y)

x=0,S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~状态转移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}模型求解xy3322110

穷举法~编程上机

图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,

，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}xy3322110s1sn+1d11d1xy3322110s1sn+1d1d11人羊狼菜怎样安全过河允许状态集合“二进制”：0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0.允许决策集合运算后若所得状态允许记T,不允许记F,允许但重复记R.允许运算

穷举法~可编程上机

数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.4

数学建模的方法和步骤

数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具

数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用

数学建模的一般步骤数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践1.5

数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性

数学模型的特点数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态……数学方法初等数学、微分方程、规划、统计……表现特性描述、优化、预报、决策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续1.6怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力

学习、分析、评价、改进别人作过的模型

亲自动手，认真作几个实际题目

放学后，发现下雨了，宿舍不远（1000米），决定冒雨回宿舍。试组建数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。分析：（1）降雨的大小；（2）降雨的方向；（3）路程远近；（4）人跑的速度。假设：1.雨速，降雨的大小（降水强度）保持不变；2.人跑的速度不变；3.风向，风速保持不变；4.人体视为长方体。1.3.3雨中行走符号：D：路程（m）；

t：行走的时间（s）；

v：人跑的速度（m/s）；

h：人的身高（m）；w：人的宽度（m）；d：人的厚度（m）；I：降水强度（cm/h）；S：人体被淋的面积C：人体被淋的雨水总量（l）。（Modeling1）求解：检验：令D=1000m，h=1.5m，w=0.5m，d=0.2m，I=2cm/h，v=6m/s，得（Modeling2）降雨强度，降雨角度假设：5.雨速为匀速；6.雨沿前进方向降落，倾斜角不变。符号：r：雨速（m/s）；θ：降雨角度；

p：雨滴下落密度。求解：I=pr，p≤1；p=1时：如河流倾泻。1.当时，头顶淋雨量：前方淋雨量：得是关于v的减函数。检验：令D=1000m，h=1.5m，w=0.5m，d=0.2m，I=2cm/h，v=6m/s，r=4m/s，得2.当时，令

则当时，是关于v的减函数；当时，为正时，C是关于v的减函数；为负时，C是关于v的增函数。结论：(1)迎着雨行走时，尽可能快跑；(2)逆着雨行走时，速度控制在雨的水平速度分量。背景

年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况

年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长1.3.4如何预报人口的增长指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长有限地球，不合常理指数增长模型的应用及局限性

与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民