2023-2024学年高考数学专项复习-数列（附答案）

2023-2024学年高考数学专项复习——数列决胜2024年高考数学专项特训:数列（解答题篇）1．已知正项数列的前项和，满足：．(1)求数列的通项公式；(2)记，设数列的前项和为，求．2．已知数列，满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)令，求数列的前n项和．3．已知等比数列满足，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.4．已知数列的前n项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．5．记为数列的前项和，已知.(1)证明：是等差数列；(2)若，，成等比数列，求.6．对于给定的数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“优美数列”．(1)若，数列是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；(2)已知数列满足．若数列是“优美数列”，求数列的通项公式．7．设为给定的正奇数，定义无穷数列，其中.若是数列中的项，则记作.(1)若，写出的前5项；(2)求证：集合是空集；(3)记集合，，求集合.8．已知数列的前项和为．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项的和．9．已知数列满足，且对任意都有.(1)设，证明：是等差数列；(2)设，求数列的前项和.10．在数列中，，.(1)求，；(2)记.（i）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和.11．已知数列的前项和为，．(1)证时：为等比数列．(2)求数列的前项和．12．已知数列中，，数列的前n项和满足：．(1)证明；数列是等比数列，并求通项公式；(2)设，且数列的前n项和，求证：．13．公比为的等比数列的前项和．(1)求与的值；(2)若，记数列的前项和为，求证：．14．已知数列是递增的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.15．按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：，即（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）.记第行所有的项的和为.(1)求；(2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式；(3)设，求.16．已知数列，满足，为数列的前项和，，，记的前项和为，的前项积为且.(1)求数列，的通项公式；(2)令，求数列的前项和.17．已知数列满足，且点在直线上.(1)求数列的通项公式；(2)数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值.18．已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．(1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；(2)若，证明：；(3)设，若，求的最小值．

答案：1．(1)(2)【分析】（1）当时，求出，当时，，两式相减可得，则是以1为首项，以2为公差的等差数列，即可得出答案.（2）由（1）可得，再由裂项相消法求解即可.【详解】（1）当时，，解得．当时，由①，可得，②①②得：，即．，．是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列的通项公式．（2）由（1）可得，，.2．(1)证明见解析(2)【分析】（1）将条件中两个递推式相加整理可得；（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求和.【详解】（1）由题，所以，得，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）知，则，数列的前n项和，①则，②由①-②得：，则，所以.3．(1)(2)【分析】（1）根据代入等比数列通项公式，求公比；（2）利用错位相减法，即可求解.【详解】（1）设的公比为，由已知得，所以，，所以.（2）设数列的前项和为，则，①所以，②①-②得，.所以.4．(1)(2)【分析】（1）根据，求出是首项为，公比为2的等比数列，得到通项公式；（2）求出，设的前项和为，分和两种情况，结合等差数列求和公式求出答案.【详解】（1）①，当时，，∴．当时，②，式子①-②得，故，∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴；（2）由（1）可得，，设的前项和为，当时，，故，当时，，故，故5．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由与之间的关系，根据等差数列的定义可得结果；（2）根据条件求出通项公式，由合并求和及等差数列求和公式对n分类讨论可得结果.【详解】（1）因为，即，所以，当时，，化简得：，故是以为公差的等差数列.（2）由（1）可知，数列的公差为，因为，，成等比数列，即，则，化简得，，设，当n为偶数时，；当n为奇数时，故.6．(1)为“优美数列”，理由见解析(2)【分析】（1）由可得数列是“优美数列”．由可得是“优美数列”．（2）根据数列是“优美数列”证明是等比数列再写出通项公式．【详解】（1），∴数列是“优美数列”，对应的实常数分别为1，2．∵，，∴数列是“优美数列”，对应的实常数分别为2，0．（2）数列是“优美数列”，∴存在实常数、，使得对于任意都成立，则对于任意都成立，∴对于任意都成立，又∵，且，则有对于任意都成立，即对于任意都成立，因此；此时，，且，所以是等比数列，又∵，∴.7．(1)，(2)证明见解析(3),．【分析】（1）根据递推公式即可逐一代入求解；（2）利用反证法证明；（3）由,，提出猜想,，证明．【详解】（1）当时，由可得，所以的前5项为，（2）假设集合，非空，当时，，又是正奇数，，而，不合题意，当时，，若，则需，又是正奇数，不合题意，设中元素的最小值为（显然，因为，所以，因此为奇数，且．若，则为偶数，但此时应有，与矛盾，若，则，即，与的最小性矛盾，因此假设不成立，集合为空集．（3）猜想,．因为,，以下只需证对任意大于1的奇数，1，，若，，则，故只需证必存在，．由（2）知无穷数列中所有的项都属于集合，2，，，因此必存在，使得，取其中的值最小的一组，若，则；若，则必有，与的最小性矛盾；若，则必有，也与的最小性矛盾．因此只能，因此，，，即1，．综上，,．求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.8．(1)(2)【分析】（1）根据的关系，结合等比数列的定义即可求得答案；（2）由（1）的结果可得的表达式，利用分组求和法，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.【详解】（1）当时，，当时，，则，则数列为为首项，公比为2的等比数列，故；（2）因为，故数列的前项的和为：.9．(1)证明见解析(2)【分析】（1）以替换得，，得到，从而证明是公差为的等差数列；（2）令得，，可得，推出，再由（1），得到，再分和求解前项和.【详解】（1）因为对任意都有，所以以替换得，，则，由,，所以是公差为的等差数列；（2）令得，，即，则，所以由（1）得，是以为首项，公差为的等差数列，所以，即.由，令可得，，则，由得，.当时，；当时，①，则②，得，，所以，综上，.10．(1)，(2)（i）证明见解析；.（ii）.【分析】（1）由递推公式即可得到，；（2）对于（i），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii），先写出，再利用错位相减法求得奇数项的前项和，利用等差数列的前项和公式求得偶数项的前项和，进而相加可得.【详解】（1）由，，得，所以，，即，.（2）（i）证明：由和得，，所以是，公差为的等差数列；因为，所以，即.（ii）由（i）得，当为奇数，即时，，设前项中奇数项和为，前项中偶数项和为所以①，②，由①②得：，，，即，则；当为偶数，即时，，所以.综上所述，.11．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用给定的递推公式，结合等比数列定义推理即得.（2）由（1）求出数列的通项，再利用分组求和法结合等比数列前项和公式求解即得.【详解】（1）当时，由，得，而，即，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）得，即，因此，所以.12．(1)证明见解析，(2)证明见解析【分析】（1）由数列的通项与前项和的关系，结合等比数列的定义、通项公式，可得所求；（2）由对数的运算性质和数列的裂项相消求和，结合不等式的性质，可得证明．【详解】（1）由数列的前项和，满足，可得时，，上面两式相减可得，即，则，当时，，即，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，可得，即；（2），，则．13．(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据作差求出，即可求出公比与参数的值；（2）由（1）可得，则，利用等差数列求和公式求出，从而得到，利用裂项相消法计算可得.【详解】（1），当时，；当时，，所以，所以，，，又数列为等比数列，则，又，，解得；（2）由（1）可得，所以，，当时，，．14．(1)(2)【分析】（1）由题意结合等比数列性质求出的值，即得公比，即可求得答案；（2）由（1）可得的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案.【详解】（1）因为数列是递增的等比数列，所以，所以,解得，所以公比，所以.（2）由（1）知，，所以.15．(1)(2)，(3)【分析】（1）根据数表所给数据相加以及递推关系，求解得.（2）根据，判断数列为首项为1，公差为1的等差数列求解；（3）将通项裂项相消，然后求解；【详解】（1）根据数表所给数据相加求解.（2）由题意得，第行共有项.因为从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出，可得，即等式两边同时除以，得.所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，可得，即（3），所以，所以.关键点睛：本题解决的关键是根据所给数表得到递推式，结合裂项相消法即可得解.16．(1)，(2)【分析】（1）根据累加法及累乘法化简可得，利用与的关系求解即可；（2）根据等比数列和等差数列的前项和公式代入即可求的前项和.【详解】（1）因为的前项和为，且，所以，因为的前项积为，且，所以，且，所以，即，又因为，所以，因为，所以，因为符合，所以，所以.（2）由（1）知，，所以.17．(1)(2)5【分析】（1）由题设易得为等差数列，即可求其通项公式；（2）对数列的通项分析可通过裂项相消法求前项和，将恒成立问题转化为求的最大值或上界问题即得.【详解】（1）点在直线上，得，

所以数列是以首项为，公差为2的等差数列．

故，即．（2），

所以即，因，故，故要使对恒成立，需使，即，

又，所以的最小值为5.18．(1)31是可表数，1024不是可表数，理由见解析；(2)证明见解析；(3)8【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可；（2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明；（3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可.【详解】（1）31是，1024不是，理由如下：由题意可知，当时，有，显然若时，，而，故31是可表数，1024不是可表数；（2）由题意可知若，即，设，即使得，所以，且成立，故，所以若，则，即中的元素个数不能超过中的元素，对于确定的，中最多有个元素，所以；（3）由题意可设，使，又，所以，即，