2019年河北省高考理数真题试卷及答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。M{x4x2}，N{xx2x6MN=．已知集合A．{x4x3．{x4x．x2xD．{x2x．设复数zzi，z在复平面内对应的点为(xy)，则(x2y21．(x2y21．x2(y21D．x2(y12A．alog20.2，b20.2，c0.2．已知A．abc．acb．cabD．bca5151（≈0.618，22称为黄金分割比例)51脐的长度之比也是105cm226cm，则其身高可能是A165cm．175cm在[,]．185cmD190cmsinxx．函数(x)=的图像大致为xx2A．．．D．．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“—3个阳爻的概率是511322132A．．．D．．已知非零向量，b|a2|b|(ab)ba与b的夹角为π6π32π35π6A．．．D．1．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入121221111D=1AA=．=2．=2AA12A2AS为等差数列a}n项和．已知Sa5nn451A．n2n5．nnS2nn2nD．Sn2nn2．210．已知椭圆C的焦点为F(0F0)，过F的直线与C交于A，B两点．若|2|FB|，21222|||BF1|C的方程为x2x2y2x2y2x2y2y21．1．1D．1A．2324354f(x)sin|x||sinx|有下述四个结论：()是偶函数f()在区间（，）单调递增2()在[,]有4个零点f()的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④．②④．①④D12．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，PBPC，△是边长为2的正三角形，E，F分别是，的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．86．46．26D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20yx2x)ex(00)处的切线方程为____________．．曲线1a，a24aS=____________．S为等比数列{a}n项和．若nn5163期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．x22y22C：abFFF的直线与C的两条渐近线121ab分别交于，B两点．若FAAB，FBFB0C的离心率为____________．11270分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60．(12分)的内角ABC的对边分别为a，，cBsinC)（1A；2sinAsinBsinC．2（2abcsin．12ABCDABCD=4AB=2BAD=60MN分别是BC，11111，AD的中点．111）证明：MN∥平面CDE；2）求二面角A−MA−N的正弦值．12已知抛物线：2=3x的焦点为，斜率为的直线l与C的交点为，Bx轴的交点为P．321）若AF|+||=4l的方程；2，求||．．（12f(x)sinxx)f(x)f(x)的导数．证明：已知函数，为()存在唯一极大值点；f(x)（1）（2）在区间2f(x)有且仅有2个零点．．（12为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和，一轮试验中甲药的得分记为．（1X的分布列；ii,8)i表示“甲药的累计得分为时，最终认（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，0081pi,7)，，其中ii1ii1为甲药比乙药更有效”的概率，则，aP(X，bP(X0)，cP(X．假设，0.8．{pp}i,7)(i)证明：为等比数列；i1ipp4(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．4（二）选考题：共10分。请考生在第2223题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。．—4：坐标系与参数方程]（10221t1ttxy，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的1t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．（1C和l的直角坐标方程；（2C上的点到l距离的最小值．．—5：不等式选讲]10ab，c为正数，且满足abc=1．证明：111a2b2c2（1）（2）；abc(ab)3bc)3(ca)．32019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题．C2C3B4B5D．A7B8A9A．B．C．D二、填空题．=3x．．0.18．23三、解答题1）由已知得2B2C2ABC，故由正弦定理得b2c2a．2b2c2a212由余弦定理得A．A，所以A．C，由题设及正弦定理得2sinAsin120C2sinC，2）由（1B6312CsinC2sinC，可得cosC60．即22222C，所以sinC602sinCsinC6060sinC60cos60C60sin6062．4．解：（1）连结B，ME．因为，分别为BBBC的中点，1所以MEB，且ME=B．21又因为N1D的中点，所以=1D．2由题设知ABDC，可得BCAD，故ND，1111因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．平面，所以MN∥平面C．112）由已知可得⊥．D为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz1A(0,0,4)1M(3,2)N，A(2，0，4)，M3,2)，，，，，AN(1,0,2)，3,0)．1mAM0m(,y,z)为平面AMA的法向量，则1设mAA01x3y2z，m(0)．4z．n，n(,,r)设为平面AMN的法向量，则nAN．1q，n．p2r．mn23m,，|n|255105AMA1N所以二面角的正弦值为．3．xt,Ax,y,Bx,y2．解：设直线l:y1122343521F,0|||xx，由题设可得xx．121223yxtt，可得9x2txt20xx．由23x129y2t57t．928378l的方程为yx．223y3y．123yxt2y2yt0．由23x，可得y2yy23yy2yy3．12222113C的方程得xx．124133故|AB．11x11g(x)f'(x)g(x)x，g'(x)sinx.x)222当x(x)单调递减，而g'(0)g'()0，可得(x)在有唯一零点，2设为.x()g'(x)0x,g'(x)0.222所以g(x)在()单调递增，在,单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，2即f'(x)在存在唯一极大值点.（2）f(x)的定义域为().（ix(1,0]1f'(x)在(1,0)f'(0)0x(0)时，f'(x)0，故f(x)在(1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x0是f(x)在(1,0]的唯一零点.2（iix时1f'(x)在(0,),f'(0)=0，222f'0,f'()0x(0,)时，f'(x)0x,22时，f'(x)0.故f(x)在)单调递增，在,单调递减.22又f(0)=0，f没有零点.110x时，f(x)0.从而，f(x)在2222（iii）当x,时，f'(x)0，所以f(x)在,单调递减.而f0，f()0，22所以f(x)在,有唯一零点.（iv）当x(,)时，ln(x1，所以f(x)<0，从而f(x)在(,)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.．解：X的所有可能取值为1,0,1.P(X)，P(X)，P(X，X的分布列为（2）由（abc0.1.pi1ppppppii1ii1i1iii1i4pi1.i又因为ppp0，所以ppi,7)为公比为4，首项为p的等比数列．i101i11（）由（）可得481188776100p7p6p0.8713381，所以81441144p3221pp1.31032574表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治1愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为4常小，说明这种试验方案合理.0.0039，此时得出错误结论的概率非25721t21t1t22y22t2221）因为11，且x21，所以C的直角坐标方程为221t1t2y2x2x.4l的直角坐标方程为2x3y110.xcos,（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，ππ）.y2sinπ34|223s