备考2024届高考数学一轮复习讲义第十章计数原理概率随机变量及其分布第7讲二项分布超几何分布与正态分布

第7讲二项分布、超几何分布与正态分布课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.4.了解正态分布的均值、方差及其含义.二项分布2021天津T14；2019天津T16本讲常以生产生活实际情境为载体考查二项分布、超几何分布及正态分布的应用，解题时注意对相关概念的理解及相关公式的应用.在2025年高考备考时注意对不同分布模型的理解和应用.超几何分布2021浙江T15正态分布及其应用2022新高考卷ⅡT13；2021新高考卷ⅡT61.n重伯努利试验（1）定义：把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.（2）特征：a.同一个伯努利试验重复做n次；b.各次试验的结果相互独立.2.二项分布（1）定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝①Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作②X～B（n，p）.特别地，当n＝1（2）期望与方差：若X～B（n，p），则E（X）＝③np，D（X）＝④np（1－p）.3.超几何分布（1）定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝⑤CMkCN－Mn－kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min（2）期望：E（X）＝⑥nMN注意二项分布是有放回抽取问题，超几何分布是不放回抽取问题.4.正态分布（1）定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f（x）＝1σ2πe－（x－μ）22σ2，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为⑦X～N（μ，σ2（2）正态曲线的特点a.曲线是单峰的，它关于直线⑧x＝μ对称.b.曲线在⑨x＝μ处达到峰值1σc.当｜x｜无限增大时，曲线无限接近x轴.d.曲线与x轴之间的面积为⑩1.e.当σ取定值时，曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.f.当μ取定值时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“⑪瘦高”，表示总体的分布越⑫集中；σ越大，曲线越“⑬矮胖”，表示总体的分布越⑭分散，如图2所示.说明从图1，图2可以发现参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.（3）正态分布三个常用数据P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.说明在实际应用中，通常认为服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.（4）正态分布的期望与方差：若X～N（μ，σ2），则E（X）＝⑮μ，D（X）＝⑯σ2.1.下列说法错误的是（A）A.某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数X服从二项分布B.从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布C.n重伯努利试验中各次数试验的结果相互独立D.正态分布是对连续型随机变量而言的2.[多选]若袋子中有2个白球，3个黑球（球除了颜色不同，没有其他任何区别），现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则（BCD）A.X～B（4，35） B.P（X＝3）＝C.E（X）＝85 D.D（X）＝解析由题意知，每次取到白球的概率为25，取到黑球的概率为35，由于取到白球记1分，取到黑球记0分，所以X为4次取球取到白球的个数，易知X～B（4，25P（X＝3）＝C43（25）3×35＝E（X）＝4×25＝85，故D（X）＝4×25×35＝2425，故D正确3.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），则c＝43解析∵随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＞2c－1）＝P（X＜c＋3），∴2c－1+c+32＝34.[教材改编]生产方提供一批产品50箱，其中有2箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品.则该批产品被接收的概率是243245解析用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布，且N＝50，M＝2，n＝5.因为这批产品被接收的条件是5箱全部合格或只有1箱不合格，所以该批产品被接收的概率是P（X≤1）＝C20C485研透高考明确方向命题点1二项分布例1（1）已知随机变量X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝23，则P（X≥2）＝（AA.2027 B.23 C.1627 解析由随机变量X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝23，得np=2所以P（X≥2）＝1－P（X＝1）－P（X＝0）＝1－C31×（23）1×（1－23）3－1－C30×230×（1－23）3－0（2）为了解观众对2023年央视春晚小品节目《坑》的评价，某机构随机抽取10位观众对其打分（满分10分），得到如下表格：观众序号12345678910评分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1①求这组数据的第75百分位数；②将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对节目《坑》进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数为X，求X的分布列、数学期望与方差.解析①将这组数据从小到大排列，为7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9，所以这组数据的第75百分位数为9.1.②样本中评分超过9.0的有3个，所以评分超过9.0的频率为0.3.把频率视为概率，则评分超过9.0的概率为0.3.依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.3），则P（X＝0）＝C30×0.73＝P（X＝1）＝C31×0.3×0.72＝P（X＝2）＝C32×0.32×0.7＝P（X＝3）＝C33×0.33＝所以X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027（注意根据分布列中所有可能取值的概率之和为1检验所求的分布列是否正确）所以E（X）＝3×0.3＝0.9，D（X）＝3×0.3×0.7＝0.63.方法技巧二项分布问题的解题关键1.定型（1）在每一次试验中，事件发生的概率相同.（2）各次试验中的事件是相互独立的.（3）在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.2.定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.训练1[天津高考]设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.解析（1）因为甲同学上学期间的三天中每天到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X～B（3，23），从而P（X＝k）＝C3k（23）k（13）3－k，k＝0所以随机变量X的分布列为X0123P1248随机变量X的数学期望E（X）＝3×23＝（2）设乙同学上学期间的三天中每天7：30之前到校的天数为Y，则Y～B（3，23），且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由（1）知PM命题点2超几何分布例2[2023北京市朝阳区质检]某数学教师组织学生进行线上答题交流活动，规定从8道备选题中随机抽取题目作答，假设在8道备选题中，学生甲答对每道题的概率都是23，且每道题答对与否互不影响，学生乙、丙都只能答对其中的6道题（1）若甲、乙两人分别从8道备选题中随机抽取1道作答，求至少有1人能答对的概率；（2）若学生丙从8道备选题中随机抽取2道作答，以X表示其中丙能答对的题数，求X的分布列及数学期望.解析（1）由题意可知随机抽取1道试题作答，乙能答对的概率为34则甲、乙两人都不能答对的概率P＝（1－34）×（1－23）＝所以甲、乙两人至少有1人能答对的概率为1－P＝1112（2）X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝C22C82＝128，P（X＝1）＝C61C21C82X的分布列为X012P1315解法一所以E（X）＝0×128＋1×37＋2×1528解法二因为X服从超几何分布H（8，6，2），所以E（X）＝6×28方法技巧1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.2.超几何分布的特征是：（1）考查对象分两类；（2）已知各类对象的个数；（3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.训练2[天津高考]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.解析（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2.由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布，则PX=k=C4k·C33－所以随机变量X的分布列为X0123P112184所以随机变量X的数学期望E（X）＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.（也可直接由超几何分布的期望计算公式E（（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥.由（i）知，P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）＋P（X＝1）＝67所以事件A发生的概率为67命题点3正态分布及其应用例3（1）[2021新高考卷Ⅱ]某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（D）A.σ越小，该物理量一次测量结果落在（9.9，10.1）内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等D.该物理量一次测量结果落在（9.9，10.2）内的概率与落在（10，10.3）内的概率相等解析设该物理量一次测量结果为X，对于A，σ越小，说明数据越集中在10附近，所以X落在（9.9，10.1）内的概率越大，所以选项A正确；对于B，根据正态曲线的对称性可得，P（X＞10）＝0.5，所以选项B正确；对于C，根据正态曲线的对称性可得，P（X＞10.01）＝P（X＜9.99），所以选项C正确；对于D，根据正态曲线的对称性可得，P（9.9＜X＜10.2）－P（10＜X＜10.3）＝P（9.9＜X＜10）－P（10.2＜X＜10.3），又P（9.9＜X＜10）＞P（10.2＜X＜10.3），所以P9.9<X<10.2>（2）某工厂制造的某种机器零件的尺寸X（单位：mm）近似服从正态分布N（100，0.01），现从中随机抽取10000个零件，尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为（附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545）（B）A.2718 B.1359 C.430 D.215解析∵X～N（100，0.01），∴μ＝100，σ＝0.1，则P（99.8≤X≤99.9）＝P（μ－2σ≤X≤μ－σ）＝12[P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤X≤μ＋σ）]≈12×（0.9545－0.6827）＝10000个零件中尺寸在[99.8，99.9]内的个数约为10000×0.1359＝1359.方法技巧解决正态分布问题的思路1.把给出的区间或范围与参数μ，σ进行对比计算，确定它们属于[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]中的哪一个.2.利用正态曲线的对称性转化所求概率，常用结论如下：（1）P（X≥μ）＝P（X＜μ）＝0.5；（2）对任意的a，有P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）；（3）P（X＜x0）＝1－P（X≥x0）；（4）P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）.训练3（1）[2022新高考卷Ⅱ]已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝0.14.解析因为X～N（2，σ2），所以P（X＞2）