高中数学常用公式和基础知识梳理复习资料

高中数学常用公式和基础知识梳理复习资料

——函数篇

一、集合

R为实数集；Q为有理数集；Z为整数集；N为自然数集；N+为正整数集

n下交(共有)；U上并(合并)；C为补(自己没有的)

二、基本初等函数

1、定义域：

⑴一^=>g(x)N。；(2)Jg(x)=g(x)NO;

g(x)

(3)(g(x))“ng(x)*0；(4)log“(g(x))=>g(x)>0

指数运算：a"'•a'1=""+"、(""‘)"=a"'\(ab)n=anb\a'n=暧，痂=cr,ap='

/7

对数运算：logb"=—log„blog“M+logN=log.MNlogM-logaN=log—

amnaaN

sNN

a'°"-Nlogaa-Nlogfla-1log”1=0

2、奇偶性：

(1)f(x)=f(-x)=>f(x)为偶函数，图像关于y轴对称

⑵/(x)=-/(-x)=>/(x)为奇函数，图像关于原点对称

常见的奇函数：y=kxy=ax3y=Asin(yx

常见的偶函数：

y=ax2+b\y=Acoscoxy=/(忖)=>及对函数中所有的x力移刨寸值

3、反函数：y=/(x)的反函数/'共幻为工二f(y)

4、常见函数图像

募函数y=x"

指数函数与对数函数

三、三角函数及解三角形

34560°90°120135150180

0°OOOOO

1同V2

S出2_

二—10

inV2

色;也

C2_

20-1

os2

也

t-百

3一1V3-10

an

r=yjx2+y2

y

sina=—

r

x

cosa=—

r

y

tana=—

1.诱导公式

对于“竽土a,%ez的三角函数值”与“a角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：

奇变偶不变，符号看象限.

(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.

(2)“奇”“偶”是对诱导公式k容a中的整数Z来讲的.

(3)“象限”指售土a中，将a看成锐角时，垮±心所在的象限，再根据“一全正，二正

弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号.

2.常用三种三角函数的性质

=

函数y=sinxy=cosxytanx

图像

1zsi

在~~+2k7r,—+2k7r(丘Z).

22_在[―TT+2ATT,2Ki](%ez)上单

(,JITT、

上单调递增；调递增；在(一/+E,5+%7iJ(A£Z)

单调性

71_,3%_,在[2%r,TT+2Kr](%ez)

在—F2左乃，---F2k兀(keZ)上单调递增

.22_上单调递减

上单调递减

函数y=sinxy=cosxy=tanx

对称中心:(kn,O)(*ez)；对称中心：0+E，O)(k《Z)；

对称性对称中心:y,oj(jtez)

对称轴：x=^+E(kGZ)(

对称轴：x=kn(kGZ)

3.三角函数的两种常见变换

八、,向左S>0）或向右（9<0）./.、横坐标变为原来的4；倍.,|\

>

山―一十夕）

'（l”）y=sinx—平移网个单位—7y=sin'（x+^〜）--纵--坐---标--不--变------3y=sin（oxY

纵坐标变为原来的A倍../I、/*cC、

横坐标不变>y=Asm（①x+g）（A>0,8>0）.

小、,横坐标变为原来的3倍向左（9>0）或向右（然0）..1\

⑵产smx纵坐标不变"），=一3平磅个单位==s1n（s+e）

纵坐标变为原来的4倍一,ICC\

―横坐标不变~>y=Asin（①x+G（A>0,口>0）

4.两角和差公式

(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式

①sin(a±0=sinacos/?±cos«sin[i.

②COS(Q步)=cosacos股sinasinp.

辅助角公式

asin0±bcos0=yla2+82sin(9±°),tan°二

acos。土。sin9=J。？+b2cos(^+^),tan^z?

tana±tan0

③tan(。土夕)=

1+tanatang

⑵二倍角的正弦、余弦、正切公式

①sin2a=2sinacosa.

21+cos2a

cosa--------------

2

2222

②cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina.降用扩角）.21-cos2a

sina=------------

2

1・c

sina・cosa=—sinzcr

2

2tana

③tan2a—

1-lan%

5.正余弦定理

在AABW

sin(B+C)=sinAcos(B+C)=-cosA

<sin(A+C)=sinBcos(A+C)=-cosB

sin(A+3)=sinCcos(A+8)=-cosC

（1）正弦定理

肃r系=默=”为△•二c外接圆的直径）.

（边角互化：每一项边的次数都相同，则就把边化成sin；每一项的sin的次数相同，则

可以把sin化成对应的边)

(2)余弦定理

a1=b2+c2-2hccosA,b2=a2+c2-2accosB,(r=cr+b1—2abcosC.

+小、人从+c2-4?cr+cr—b2cr+b1—^

推比：cosA=—而一，cosB=—五cosC=加

四、数列

等差数列等比数列

通项

a=q+(〃-l)d

公式n

前n3=姻+凡）=叫+亚4

qQW),一%

项和22

"\-q\-q

公式

①当?M+〃=p+q（见zp,g为正整数）时①当根+“=p+q（也2p,g为正整数）时

,则有,则有

am-an=ap-aq

②当m+〃=2p时，则有②当7M+"=2p时，则有

性质

a„+an=2apaHp，

③&=5

^an=a„+(n-m')d

④若公&c成等差数列，则a+c=2b④若公b、c成等比数列，则a・c=/

①当d>0,数列｛用｝是单调递增数列，若⑴当q>l时：

生<0,则数列的前n项和S〃存在最小值，①q>0,数列｛%｝是单调递减数列

求出凡<0的项求其和②为<0,数列｛%｝是单调递增数列

单调

性

②当d<0,数列｛凡｝是单调递增数列，若⑵当0<g<l时：

4〉0,则数列的前n项和S”存在最大值，①q>0,数列｛4｝是单调递增数列

求出4>0的项求其和②％<0,数列｛&｝是单调递减数列

证明数列是等差数列：只要证明a,i=d,d为常数

常用的公式

证明数列是等比数列：只要证明里」=勺，4为常数4=5“-S,i(〃为大于2的整数)

%a\=S]

一一几何篇

一、平面向量

1>坐标运算

(1)A(X1,x),B(X2,y2)AB^(x2-xi,y2-yl)

（2证=（%，x）,B=（/，%）=>止收+N

①。±6=（玉±%2，%土%）

②标雨烟cos<a,b>=xfx2+y{y2

@Aa=（AXj,）

(3)两向量平行(或共线)=2

/巴

(4)两向量垂直〃石=0=>%%2+*%=0

2、向量运算

Lf1/一\2/-»2-»2—»—/-*272I-II——

a±Z?=J（a±b）=7a+b+2a»b=Ja+b±2LzJZ?cos<a,b>

二、直线

(1)ACXp^),B(x2,y2)

①两点连线的斜率：Z=UZ&；②中点：(北士三

x}-x2122

③两点间的距离：|A同=J(M+(X—%)2

④点P(x0,y0)到直线Ar+By+C=0的距离：d=1"+为°+。[

⑤

y=k,x-^-b,

(2)两直线平行：《'1'n&=卜或

y=k2x-^b2

设二涧"则今卷

y=k[X+h

(3)两直线垂直：4=>%]・22二一1或

y=k2x-^b2

/.:Ax+B,y+C.=0_e

也=。若则44+股=。

三、圆

⑴(x-a)2+(y-〃)2=r2:圆心为半径为r

(2)工2+y2+瓜+Ey+/=0：

①。2+£2-4/>0表示圆；②圆心：③半径:

⑶直线被圆所截的弦长：|AB|=2y/r2-d2(d是圆心到直线的距离)

(4)直线与圆的位置关系

利用圆心到直线的距离d与半径r的关系

①d>r：直线与圆相离

②“=7•:直线与圆相切

③d<r：直线与圆相交

⑸切线的求法：

过点+(y-b)2=r:圆心为(a,》),半径为r的切线

步骤一：先判断P3o,%)是否在圆上

步骤二：①若在圆上，则先求P与圆心(。/)的连线的斜率七步二维心，%,为=-1,求

/一。

%,则切线方程为y—(尤一玉))；

②若在圆外，则设切线方程为y-yo=Mx-x0),利用点到直线的距离

\Ax+By+C\

a=-一~1=不求女

VA2+B2

若求出的女只有一个解，则另外一条切线为x=x0

(6)圆与圆的位置关系

⑴利用两圆心间的距离与两半径和、半径差的关系

①do,。,>R+r：两圆外离②do°=R+r：两圆外切

@R-r<doo^<R+r•.两圆相交④0<doo^<R—r：两圆内含

⑤两圆为同心圆

(2匿圆/+>2+。“+用)，+耳=0与圆，+/2+。2*+m)'+尸2=0相交，则相交弦所在的直线为

2z22

(x+y+Dlx+E]y+Fl)-(x+y+D2x+E2y+F2)=O

即(R-A)x+(瓦一%)y+心-切=0

四、圆锥曲线

1、椭圆(谁的分母大，焦点在哪个轴)

焦点

焦点在X轴上焦点在y轴上

的位置

图形

标准方程/后=l(a>3>0)%+户=13>8>0)

范围-且一力WyWb—bWxWb且——aWyWa

&(—a,0),A](0,—a),A'O,a).

顶点

5i(0,-b),&(0,b)8i(一40),32(40)

轴长短轴长=%，长轴长=2a

焦点一](—c,0),0(c,0)一](0,—c),，2(0,c)

焦距

\FtF2\=2c

对称性对称轴x轴和y轴,对称中心(0,0)

离心率e=^(0<e<l)

2、双曲线(看哪个是正，焦点就在哪轴上)

y2炉

标准方程「一.=l(a>0,*>0)5-R=l(a>0,/>>0)

图形

焦点网(―c,0),尸2(c.O)尸l(o,-C),&(0,C)

焦距吗户?|=2c

范围xW一。或yW-a或

对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原直

性顶点4(一〃,0),4伍,())A|(0,一〃)，42(0，〃)

质实轴：线段皿，长：2a；虚轴：线段班殳，长：2b;

轴

半实轴长：a,半虚轴长：b

离心率e=~€(l>+0°)

ba

渐近线产土后

求渐近线：把1换成0

3、抛物线（看谁是一次，那焦点就在那条轴上）

类型y2=2px[p>0)y2=—2px[p>Q)x2=2py[p>0)x2=—2py(p>0)

4Kw

图形yfr

9。）©q

焦点

准线x--—x=2y=—

2222

范围x20,y£RxWO,yGRx£R,y-0

对称轴X轴y轴

性

顶点

质0(0,0)

离心率e=1

开口方向向右向左向上向下

4、直线与圆锥曲线

（1）位置关系：

联立方程，写成一元二次方程的形式，判断

△>0,直线与圆锥曲线相交（有两个交点）

△=6°-4ao△=（）,直线与圆锥曲线相切（只有-一个交点）

A<0,直线与圆锥曲线相离，（无交点）

（2）弦长公式：

联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理求出玉和玉马

利用弦长公式IAB|=41+公加|+々）2-4g（k为直线的斜率）

——空间几何

1、圆锥母线长（/）和底面半径⑺和高㈤的关系：尸=/+〃2

球的任何截面的圆心和球心的连线必定与截面垂直

R2=r2+00：

2、扇形与圆锥

77H77

扇形r=-R；扇形的弧长——271R,面积为——KR1（或者是扇形半径乘于扇形弧长

360360360

的一半一/・2万r）

2

3,立体几何（平行与垂直）

(2)柱、锥、台和球的表面积和体积

表面积体积

v=

柱体(棱柱和圆柱)S表面枳=S侧+2S底

—Sh-

锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底

v=1,

台体(棱台和

上+下+、/上

s表面锐==s杷+s上+S下v=/(SSsST)77

圆台)

球为/?3

s=4兀心y=3

4平行

(1)“三线八角”一同位角相等、内错角相等、同旁内角互补

(2)中位线：(三角形的中立线、梯形的中位线)遇中点allb

两组对边分别相等

对边平行且相等<bua=>alia

(3)平行四边形”

对角线”相平分acza

两组对角相等

(4)在同一平面中，