微积分 第七版 课件 2.4 复合函数导数运算法则

第四节

复合函数导数运算法则本节学习目标010203能熟练进行复合函数求导计算掌握复合函数导数运算法则理解推广的导数基本公式一、复合函数导数运算法则已知函数y=f(u)对变量u可导,函数u=u(x)对变量x可导,考虑复合函数y=f(u(x))对自变量x的导数

为避免混淆,规定复合函数y=f(u(x))对自变量x的导数记作y'或(f(u(x)))',

复合函数y=f(u(x))对中间变量u的导数记作y'u或f'(u(x)),中间变量u=u(x)对自变量x的导数记作u'或u'(x)31.复合函数导数运算法则复合函数导数运算法则如果函数u=u(x)在点x处可导,函数y=f(u)在对应点u处可导,则复合函数y=f(u(x))在点x处可导,且导数y'=f'(u(x))u'(x)4证:对应于自变量改变量Δx≠0,中间变量u取得改变量Δu,复合函数y取得改变量Δy.

5复合函数导数运算法则

=f'(u(x))u'(x)所以导数6复合函数导数运算法则这个法则还可以表示为

它说明:复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.7二、导数基本公式推广对于导数基本公式,应用复合函数导数运算法则,得到推广的导数基本公式:公式1

(c)'=0

(c为常数)公式2

(uα)'=αuα-1u'

(α为常数)公式3

(au)'=aulna·u'

(a>0,a≠1)公式4

(eu)'=euu'

8导数基本公式推广

公式7

(sinu)'=cosu·u'公式8

(cosu)'=-sinu·u'公式9

(tanu)'=sec2u·u'公式10

(cotu)'=-csc2u·u'9导数基本公式推广

10三、复合函数导数计算步骤在求复合函数y的导数时,首先如§1.1那样引进中间变量u,将复合函数y分解为基本初等函数y=f(u)与函数u=u(x),然后根据复合函数导数运算法则计算导数y',其步骤如下:步骤1计算导数f'(u)的表达式,并表示为自变量x的函数,得到f'(u(x)).在这个过程中,并不急于计算导数u'(x)的表达式,仅在导数y'的表达式中将因式u'(x)乘在因式f'(u(x))的后面;11步骤2计算导数u'(x)的表达式:若函数u(x)为基本初等函数或简单函数,则立即求出导数u'(x)的表达式,因而得到导数y'的表达式;若函数u(x)仍为复合函数,则继续分解复合函数u=u(x),并重复上述步骤,直至最终得到导数y'的表达式.

这样就将复合函数的导数运算归结为基本初等函数或简单函数的导数运算,从而得到结果.在上述计算复合函数导数的两个步骤中,关键是第一个步骤.12例1求函数y=(3x+2)10的导数.解:将复合函数y=(3x+2)10分解为y=u10与u=3x+2根据复合函数导数运算法则,得到复合函数y对自变量x的导数y'=(u10)'u(3x+2)'=10u9(3x+2)'=10(3x+2)9(3x+2)'=30(3x+2)913例2

14例3

15例4求函数y=e-x的导数.解:y'=e-x(-x)'=-e-x16例5求函数y=log2(1+x2)的导数.

17例6求函数y=lnlnx的导数.

18例7求函数y=sinx3的导数.解:y'=cosx3·(x3)'=3x2cosx319例8求函数y=sin3x的导数.解:y'=3sin2x(sinx)'=3sin2xcosx20例9

21例10

22在例1至例10中,由于复合函数只需经过一次分解就达到分解的要求,从而一次应用复合函数导数运算法则就得到结果.若复合函数需两次甚至多次分解才能达到分解的要求,则两次甚至多次应用复合函数导数运算法则才能得到结果.23例11

在计算两个函数之和、差、积、商的导数时,若其中至少有一个为复合函数,则首先应用导数基本运算法则,然后应用复合函数导数运算法则得到结果.24例12

25例13

根据导数基本运算法则、导数基本公式及复合函数导数运算法则,求初等函数的导数问题已经得到解决.在导数运算中,应该注意化简导数表达式.26例14求函数y=ex(sin3x-3cos3x)的导数.解:y'=ex(sin3x-3cos3x)+ex[cos3x·(3x)'+3sin3x·(3x)']=ex(sin3x-3cos3x)+ex(3cos3x+9sin3x)=10exsin3x27必须特别强调的是:在复合函数导数运算中,导数记号“'”在不同位置表示对不同变量求导数,不可混淆.如导数f'(sinx)表示复合函数f(sinx)对中间变量u=sinx求导数,而导数(f(sinx))'表示复合函数f(sinx)对自变量x求导数,根据复合函数导数运算法则,它们之间的关系为(f(sinx))'=f'(sinx)(sinx)'=f'(sinx)cosx28例15已知函数f(x)可导,若函数y=sinf(x),则导数y'=

.

解:根据复合函数导数运算法则,得到导数y'=cosf(x)·f'(x)=f'(x)cosf(x)29若求初等函数f(x)在属于定义域的点x0处的导数值f'(x0),不必直接根据导数值的定义去计算相应比值的极限,而是根据§2.1给出的关系式计算导数值f'(x0).即首先求出导数f'(x),然后在导数f'(x)的表达式中,自变量x用数x0代入所得到的数值就是所求导数值f'(x0).30例16已知函数f(x)=xex,求导数值f'(0).解:计算导数f'(x)=ex+xex=(1+x)ex在导数f'(x)的表达式中,自变量x用数0代入,得到所求导数值