高等数学-多元函数积分学

第四节二重积分的概念和性质第五节直角坐标系下二重积分的计算第九节格林公式〔曲线积分和面积分的桥梁〕第八节曲线积分〔对弧长，对坐标〕二重积分的计算为必考题，出现在解答题中。第七节二重积分的应用第六节极坐标系下二重积分的计算〔按积分区域分类〕积分区域定积分二重积分D曲线积分一型：对弧长二型：对坐标格林公式多元函数积分学概况推广推广1二重积分的概念和性质回忆定积分.设一元函数y=f(x)在[a,b]可积.那么如图0xyabxixi+1

iy=f(x)f(

i)其中

i[xi,xi+1],xi=xi+1

xi,表小区间[xi,xi+1]的长,f(

i)xi表示小矩形的面积.设有一立体.其底面是xy

面上的区域D,其侧面为母线平行于z轴的柱面,其顶是曲面z=f(x,y)0,连续.称为曲顶柱体.假设立体的顶是平行于xy面的平面.那么平顶柱体的体积=底面积×高.0yzxz=f(x,y)D如图一、二重积分几何由来〔2种理解〕1.求曲顶柱体的体积V.(i)用曲线将D分成

n个小区域D1,D2,…,Dn,

每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.(

i,

i)Di.小平顶柱体的高=f(

i,

i).假设记i=Di的面积.那么小平顶柱体的体积=f(i,i)i小曲顶柱体体积f(

i,

i)

(

i,

i)Diz=f(x,y)(iii)因此,大曲顶柱体的体积分割得越细,那么右端的近似值越接近于精确值V,假设分割得"无限细",那么右端近似值会无限接近于精确值V.也就是(iv)其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.其中

(

i,

i)Di,

i=Di的面积.xyDi如图(1)平面薄板的质量M.当平面薄板的质量是均匀分布时,有,平面薄板的质量=面密度×面积.假设平面薄板的质量不是均匀分布的.这时,薄板的质量不能用上述公式算,应如何算该薄板的质量M?2.非均匀分布物体的质量用曲线将D分成

n个小区域D1,D2,…,Dn,设一平面薄板,所占区域为D,面密度

(x,y)0连续.(x,y)D.求该平面薄板的质量M.(i)如图0xyDDiDi的面积记作

i.0xyDDi由于

(x,y)0连续,从而当Di很小时,

(x,y)在Di上的变化不大,可近似看作

(x,y)在Di上是不变的.从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.(ii)即,(

i,

i)Di,以

(

i,

i)作为Di这一小片薄板的面密度.从而,第i

片薄板的质量mi

(

i,

i)

i(iii)故,平面薄板的质量(iv)

1.定义设z=f(x,y)是定义在有界闭区域D

R2上的有界函数.将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1,2,…,n),其面积记为

i.(

i,

i)Di,作积f(

i,

i)

i,

二、二重积分的概念与性质假设对任意的分法和任意的取法,当0时,和式的极限存在且极限值都为I,那么称f(x,y)在D上可积,记为f(x,y)

R(D),并称此极限值I为f(x,y)在D上的二重积分.记作即其中“

”称为二重积分符号,D称为积分区域,f(x,y)称为被积函数,d

称为面积元素,x,y称为积分变量.和式注1.

定积分二重积分区别在将小区间的长度

xi换成小区域的面积

i,将一元函数f(x)在数轴上点

i

处的函数值f(

i)换成二元函数f(x,y)在平面上点(

i,

i)处的函数值f(

i,

i).可见,二重积分是定积分的推广.注2.假设将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)DiD那么除边界上区域外,Di的面积i=xiyi,故也将二重积分写成注3.可以证明假设f(x,y)在D上连续,那么f(x,y)在D上可积,假设f(x,y)在D上有界,且在D内只有有限个不连续点,或只在有限条曲线上不连续,那么f(x,y)可积.2.二重积分的性质.设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.性质1.性质2.性质3.性质4.假设在D上有f(x,y)g(x,y),那么特别:(i)假设在D上f(x,y)0,那么(ii)这是因为

|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|积分后即得.性质5.假设在D上mf(x,y)M,那么设f(x,y)C(D),那么(,)D,使得性质6.性质7.3.二重积分的几何意义设x,y在D上可积,那么(i)当z=f(x,y)0时,(ii)当z=f(x,y)<0时,(iii)=(D1上曲顶柱体体积)(D2上曲顶柱体体积)1.直角坐标系下二重积分的计算.由二重积分的几何意义知,当f(x,y)0时,如图假设点x处截面面积为A(x),那么体积xy0axA(x)三、二重积分的计算(1)设积分区域D是由两条平行于y轴的直线x=a,x=b

及两条曲线y=y1(x),y=y2(x)围成.如图即,D:y1(x)

y

y2(x),a

x

b称为x—型区域.特别情形是A、B退缩成一点,E、F退缩成一点.xy0ABEFDy=y1(x)y=y2(x)ab由几何意义知,以D为底的曲顶柱体体积V.如图.过点x0作平面x=x0,截面是平面x=x0上的,以z=f

(x0,y)为曲边的曲边梯形.由定积分的几何意义,zx0yy2(x0)y1(x0)Dy=y2(x)y=y1(x)z=f

(x,y)z=f

(x0,y)x0ab从而,故右端称为先对y,再对x的二次积分(累次积分).计算原那么:由里到外.

即先将x看作常数,以y

为积分变量,求里层积分.得到的结果是只含x,不含y

的函数式,再求外层积分(以x为积分变量).注1.

公式虽是在条件f(x,y)0下得到的,但对一般的f(x,y)都成立,只须D是x—型区域即可.注2.

习惯上常将右端的二次积分记作即(2)类似,假设D:x1(y)xx2(y),cyd,称为y—型区域,那么二重积分可化为先对x,再对y的二次积分.即xy0dcEFx=x2(y)x=x1(y)D(3)假设D既是x—型区域,又是y—型区域.比方x0yx0yx0y那么既可先对x积分,又可先对y积分.等等,当用某次序算二重积分不好算时,可改换积分次序,可能好算.此时,(4)假设D的形状较复杂,既不是x—型区域,也不是y—型区域.xy0D1D2D3D那么可用一些平行于x轴和平行于y轴的直线将其分成假设干块,使每一块或为x—型,或为y—型,分块积.如图(5)设D:y1(x)

y

y2(x),a

x

b,为x—型区域.其中y2(x)为分段函数.如图那么由于y2(x)是分段函数,里层积分上限无法确定用哪一个表达式.

故应将D分成D1,D2,分块积分.xy0D1D2y=

1(x)y=

2(x)ab(6)不管是先对x积分还是先对y

积分里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式,而外层积分的上、下限是点的坐标.且上限

下限.称为从里到外、线—线;点—点.例1.xy0y=xy=x2x为确定累次积分的上、下限.作与y轴同向的射线,从下至上穿过D.那么y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.解:

先画区域D的图形.法1.先对y积分.里层积分的下限为x2,上限为x.由于该射线变化范围是[0,1].因此,外层积分下限为0,上限为1.即xy0y=xy=x211法2.

先对x

积分.作与x轴同向射线,从左至右穿过D.y那么x是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2.即故里层对x

积分的下限为y,上限为而该射线的变化范围是[0,1].故外层对y的积分下限为0,上限为1.例2.

解:

先画D的图形.先对x积分.作与x轴同向的射线穿过D.易知,x

从左方曲线y=x2即右方曲线y=

x+2即x=2

y.而y[0,1].xy0y=

x+2y=x2112故所以,原式=问,假设先对y积分,情形怎样?xy0y=

x+2y=x2112例3.

求解：由于是“积不出”的，怎么办？要改换积分次序.先画积分区域D的图形.由积分表达式知，D：y

x1,0

y1画曲线x=y

和x=1，直线y=0,y=1.如图：故原式=yx0Dy

=x由例2，例3知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。例4.

改换解：写出D的表达式，画D的图形改为先对x再对y的积分yx0D24例5.

关于分块函数在D上的积分.其中D：0

x1,0

y1解：积分区域如图记f(x,y)=|y–x|=y–x,当y

x时,x–y,当y<x时,且区域D1:y

x和D2:y<x分处在直线y=x的上，下方.故，原式=yx011DD2y

=xD1注：分块函数的积分要分块(区域)来积.另外，带绝对值的函数是分块函数。yx0D211y

=xD1D在将二重积分化为二次积分的公式右边的二次积分不是两个定积分之积，计算时必须由里至外、.关于利用对称性积分的问题(1)假设D的图形关于x轴对称.(i)假设f(x,–y)=f(x,y),其中点(x,–y)与(x,y)关于x轴对称，即函数也关于x轴对称.yx0D2D1(ii)假设f(x,–y)=–f(x,y),(2)假设D的图形关于y轴对称.yx0D2D1(i)假设f(–x,y)=f(x,y).其中(–x,y)是(x,y)的关于y轴的对称点.(ii)f(–x,y)=–f(x,y)，那么2.用极坐标变换计算二重积分变换x=rcos

,y=rsin

称为极坐标变换.其中0

r<+,0

2

(或

-

)D经极坐标变换后变成极坐标系下的区域D*.因：xy

r(x,y)0极坐标系下的面积元素

O

x

s

d

q

d

r

r

d

q

d

q

称为“曲边三角形”或“曲边扇形”曲边的极坐标方程为r=r(

).D的最小极角为

，最大极角为

.此时，D*:0

r

r(

),

.从而：xy

Dr=r(

)0特别：y