高考数学人教B版一轮复习测评9-1基本公式直线的斜率与直线方程

核心素养测评四十六基本公式、直线的斜率与直线方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a,b满足()A.a+b=1 B.ab=1C.a+b=0 D.ab=0【解析】选D.因为sinα+cosα=0,所以tanα=1.又因为α为倾斜角,所以斜率k=1.而直线ax+by+c=0的斜率k=QUOTE,所以QUOTE=1,即ab=0.2.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,1)和Q(2,2),若直线l:mx+y+1=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是 ()A.QUOTEB.(∞,2]∪QUOTEC.QUOTED.QUOTE∪[2,+∞)【解析】选D.l:mx+y+1=0可写成y=mx1,即l过定点R(0,1),直线PR的斜率k1=QUOTE=2,直线QR的斜率k2=QUOTE=QUOTE.因为直线l与线段PQ有交点,所以斜率k≥QUOTE或k≤2.又因为k=m,所以m≤QUOTE或m≥2.3.过点A(1,3),斜率是直线y=3x的斜率的QUOTE的直线方程为 ()A.3x+4y+15=0 B.3x+4y+6=0C.3x+y+6=0 D.3x4y+10=0【解析】选A.设所求直线的斜率为k,依题意k=QUOTE,又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y+3=QUOTE(x+1),即3x+4y+15=0.4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(3,3),则其斜率的取值范围是 ()A.1<k<QUOTE B.k>1或k<QUOTEC.k>1或k<QUOTE D.k>QUOTE或k<1【解析】选D.设直线的斜率为k,则直线方程为y2=k(x1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1QUOTE,则3<1QUOTE<3,解得k>QUOTE或k<1.5.如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.由题意知,A,B同号,所以直线Ax+By+C=0的斜率k=QUOTE<0,在y轴上的截距为QUOTE>0,所以,直线不通过第三象限.6.(多选)(2020·青岛模拟)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为 ()A.xy+1=0 B.x+y3=0C.2xy=0 D.xy1=0【解析】选ABC.当直线经过原点时,斜率为k=QUOTE=2,所求的直线方程为y=2x,即2xy=0;当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得12=k,或1+2=k,求得k=1,或k=3,故所求的直线方程为xy+1=0,或x+y3=0;综上知,所求的直线方程为2xy=0,xy+1=0或x+y3=0.7.直线l经过点A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为 导学号()A.QUOTE∪QUOTEB.QUOTE∪QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选B.设直线的倾斜角为α,则tanα=QUOTE=1+m2≥1,又因为0≤α<π,所以0≤α<QUOTE或QUOTE≤α<π.二、填空题(每小题5分,共15分)8.将直线y=x+QUOTE1绕它上面一点(1,QUOTE)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线方程是________.

【解析】由y=x+QUOTE1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°,角变为60°,所以所求直线的斜率为QUOTE.又因为直线过点(1,QUOTE),所以直线方程为yQUOTE=QUOTE(x1),即y=QUOTEx.答案:y=QUOTEx9.(2020·金华模拟)若直线l的方程为:x+QUOTEy3=0,则其倾斜角为________,直线l在y轴上的截距为________.

【解析】直线l的方程为:x+QUOTEy3=0,设其倾斜角为θ,θ∈[0,π).则tanθ=QUOTE,解得θ=QUOTE.令x=0,解得y=QUOTE.所以直线l在y轴上的截距为QUOTE.答案:QUOTEQUOTE10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为__________________. 导学号

【解析】由题意,线段AB的中点为M(1,2),kAB=2,所以线段AB的垂直平分线为y2=QUOTE(x1),即x2y+3=0,因为AC=BC,所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,因此△ABC的欧拉线方程为x2y+3=0.答案:x2y+3=0(15分钟35分)1.(5分)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是 ()A.[0,π) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪QUOTE【解析】选C.当cosθ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为QUOTE;当cosθ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=QUOTE.因为cosθ∈[1,1]且cosθ≠0,所以k∈(∞,1]∪[1,+∞),即tanα∈(∞,1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),所以α∈QUOTE∪QUOTE,综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是QUOTE.2.(5分)(2020·西安模拟)已知直线x+a2ya=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是 ()A.0 B.2 C.QUOTE D.1【解析】选D.直线x+a2ya=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和QUOTE,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+QUOTE≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2ya=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.3.(5分)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y=ax+QUOTE表示的直线是()【解析】选C.因为f(x)=ax,且x<0时,f(x)>1,所以0<a<1,QUOTE>1.又因为y=ax+QUOTE在x轴、y轴上的截距分别为QUOTE和QUOTE,且|QUOTE|>QUOTE,故C项图符合要求.4.(10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2a=0(a∈R). 导学号(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,所以a=2,方程即为3x+y=0.当直线不经过原点时,截距存在且均不为0.所以QUOTE=a2,即a+1=1.所以a=0,方程即为x+y+2=0.综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.(2)将l的方程化为y=(a+1)x+a2,所以QUOTE或QUOTE所以a≤1.综上可知a的取值范围是(∞,1].5.(10分)(2020·成都模拟)已知直线l1:y=2x+4,直线l2经过点(2,1).(1)若l1⊥l2,求直线l2的方程.(2)若l2与两坐标轴的正半轴分别交于P,Q两点,求△OPQ面积的最小值(其中O为坐标原点).【解析】(1)由题意,可设直线l2的方程为y=QUOTEx+b,由直线l2经过(2,1)点,可得b=2,即直线l2的方程为y=QUOTEx+2(或写成:x+2y4=0).(2)方法一:由题意可知,直线l2的斜率存在且小于0,设为k(k<0),即l2:y1=k(x2).令x=0,可得l2与y轴的交点为Q(0,2k+1),令y=0,可得l2与x轴的交点为PQUOTE,其中k<0,故△OPQ的面积S=QUOTE(2k+1)·QUOTE=2+(2k)+QUOTE≥2+2QUOTE=4(当且仅当k=QUOTE时等号成立),即△OPQ面积的最小值为4.方法二:由题意可知,直线l2在两个坐标轴上的