浙江省名校协作体2023-2024学年高二下学期2月月考数学试题（含答案）

学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．2．数列1，，，，…的通项公式可能是（）A． B． C． D．3．已知直线：，：，若，则m的值为（）A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或34．已知两条直线m，n，两个平面，，则下列命题正确的是（）A．若且，则 B．若且，则C．若且，则 D．若且，则5．已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（）A． B． C． D．6．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（）A．米 B．米 C．米 D．30米7．在正三棱台中，，，则异面直线OC与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．8．如图，是由一系列直角三角形拼接而成的几何图形，已知，记，，…，的长度构成的数列为，则的整数部分是（）A．87 B．88 C．89 D．90二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错和不选的得0分．9．已知向量，，则下列正确的是（）A． B．C． D．在方向上的投影向量为10．若正项数列为等比数列，公比为q，其前n项和为，则下列正确的是（）A．数列是等比数列 B．数列是等差数列C．若是递减数列，则 D．若，则11．如图所示，抛物线的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为，，则（）A．A，B两点的纵坐标之和为常数 B．在直线l上存在点P，使C．A，O，三点共线 D．在直线l上存在点P，使得的重心在抛物线上12．在正三棱锥中，SA，SB，SC两两垂直，，点M是侧棱SC的中点，AC在平面内，记直线BM与平面所成角为，则当该三棱锥绕AC旋转时的取值可能是（）A．53° B．60° C．75° D．89°非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．经过，两点的直线的方向向量为，则______．14．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时，______．15．已知某圆锥底面直径与母线长之比为，其内切球半径为1，则此圆锥的体积等于______．16．已知双曲线C的渐近线方程为，两顶点为A，B，双曲线C上一点P满足，则______．四、解答题：共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列的前n项和为，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若、、成等比数列，求k的值．18．已知圆C的圆心在直线上，且过，两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知l：，若直线l与圆C相切，求实数m的值．19．如图，已知斜三棱柱，底面是正三角形，，，点N是棱的中点，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面ANB的夹角的余弦值．20．已知点F为抛物线C：的焦点，点在抛物线C上，且．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点．21．已知数列满足，．（Ⅰ）若，求数列的前n项和；（Ⅱ）若，设数列的前n项和为，求证：．22．已知离心率为的双曲线：过椭圆：的左，右顶点A，B．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）是双曲线上一点，直线AP，BP与椭圆分别交于D，E，设直线DE与x轴交于，且，记与的外接圆的面积分别为，，求的取值范围．2023学年第二学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：柯桥中学次命题兼审校：丽水中学审核：瑞安中学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．C2．A3．B4．C5．D6．D7．B8．B8．解析：由题意知，且，，…，都是直角三角形，所以，且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，∵，∵，即，所以所求整数部分都是88，故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．ACD10．ABC11．CD12．AB12．当BM与平面平行时，；由最小角定理，直线与平面所成的角是直线与平面内的线所成角中最小的角，所以小于等于BM与AC所成的角，分别取SC，SA的中点M，N，连接MN，BM，BN．在中，，，得，故．因为，，而，所以．故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．615．16．16．解析：不妨设双曲线C的方程为，A，B为左右顶点．设，因为，所以，化简得：，则，解得，所以，作轴于D．．四、解答题（共6大题，共70分，其中第17题10分，第18题~第22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解析：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为d，由，，所以，解得，所以，则．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，又、、成等比数列，所以，即，解得或（舍去）．18．解析：（Ⅰ）方法一：设圆心C的坐标为，则，又，则即，得，，所以圆C的半径，所以圆C的方程是（或）．方法二：AB的中点坐标为，，则AB的中垂线方程为．则，解得，所以圆心C的坐标为，所以圆C的半径，所以圆C的方程是（或）．（Ⅱ）设圆心C到直线的距离为d，由题意可得，平方整理后可得，解得或．19．解析：（Ⅰ）取BC的中点M，连接AM，，，，∵三棱柱中，，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴面，∴．（Ⅱ）方法一：连接MN，在中，，，，即，即．如图建系，，，，有，，设面ABN的法向量为，则，解得面ABN的一个法向量，面的一个法向量，∴，所以平面与平面ANB的夹角的余弦值为．（Ⅱ）方法二：连接MN，在中，，，，即，即．作于F，连BF．因为平面AMN，平面AMN，所以，又，所以平面BMF，平面BMF，所以，所以为二面角的平面角．在中，，得．则，所以．所以平面与平面ANB的夹角的余弦值为．20．解析：（Ⅰ）由题意得：，解得，或（舍去），所以抛物线C的方程为．（Ⅱ）方法一：（1）当直线l斜率存时，设直线l：，，，则，消去x，整理得，则，，，而，整理得，所以，所以直线l：，所以直线l过定点．（2）当直线l斜率不存时，设直线l：，则，，则，得，所以直线l：，则点在直线l上．综上：直线l过定点．（Ⅱ）方法二：设，，则，则，直线l的方程为，则，所以直线l过定点．21．解析：（1）当时，则，得，所以，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列．所以，则，所以，，两式相减得，所以．（Ⅱ）当时，由，得，所以，所以数列单调递增，因为，所以，又由，可得，所以，即，则，所以，易知为递增数列，且，所以，即：．22．解析：（Ⅰ）由题意得：，解得，所以双曲线的方程为．（Ⅱ）方法一：设直线AP：，，则，消y得：，得：，又因为在双曲线上，满足，即，所以，即．同理设直线BP：，，可得，所以．因为，所以，因为，所以．把代入双曲线方程得，解得，则点．设与的外接圆的半径分别