《5.1.1变化率问题》教案、导学案与同步练习

《5.1.1变化率问题》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习变化率问题。本节内容通过分析高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.B.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.C.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．1.数学抽象：函数的变化率2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系3.数学运算：求解瞬时速度与切线斜率4.数学建模：函数的变化率【教学重点和难点】重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念【教学过程】教学过程教学设计意图一、导语在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。二、新知探究问题1高台跳水运动员的速度高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.如何描述用运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v近似的描述它的运动状态。例如,在0≤t≤0.5这段时间里，v在1≤t≤2这段时间里，v一般地，在t1≤t≤tv探究1：计算运动员在0≤t≤4849为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？1．平均变化率对于函数y＝f(x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝_______.(2)函数值的改变量：Δy＝_____________．(3)平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝＝.x2－x1；f(x2)－f(x1)；eq\f(fx2－fx1,x2－x1)；eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝.某一时刻；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)问题2.抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x2探究3.你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点与研究瞬时速度类似为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近取一点Px,探究4.我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)从上述切线的定义可见，抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0记∆x=x-1,点P的坐标(1+∆x,

(1+∆x)2)

，于是割线k=f利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当无限趋近于0时，割线P0从几何图形上看，当横坐标间隔∆x无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线3．曲线的切线斜率(1)设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同两点，则平均变化率eq\f(fx－fx0,x－x0)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为割线P0P的_____．(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f(x)在x0处的____的斜率即k＝.斜率；切线；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx趋近于零时表示Δx＝0． ()(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等． ()(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． ()(4)函数y＝f(x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)D[Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是()A．4B．4.1C．0.41D．－1.1B[eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2.1－s2,2.1－2)＝eq\f(2.12－22,0.1)＝4.1，故选B.]三、典例解析例1．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．[思路探究]eq\x(计算物体在[1，1＋Δt]内的平均速度\f(Δs,Δt))eq\o(――――→,\s\up18(令Δt→0))eq\x(计算\o(lim,\s\do14(Δt→0))\f(Δs,Δt))―→eq\x(得t＝1s时的瞬时速度)[解]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(3＋Δt)＝3.∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝st，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：1写出时间改变量Δt，位移改变量ΔsΔs＝st0＋Δt－st0.2求平均速度：eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).3求瞬时速度v：当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)→v常数.跟踪训练1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．[解]求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(1＋Δt)＝1.∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.跟踪训练2．在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.[解]设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝(2t0＋1)＋Δt.eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.例2.已知函数y＝x－eq\f(1,x)，则该函数在点x＝1处的切线斜率为?解析：∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋1－eq\f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴斜率k＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝1＋1＝2.通过导语，通过对函数学习的回顾，帮助学生发现和感受不同函数变化快慢的问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出平均速度与瞬时速度的概念。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过物体运动问题，抽象出函数平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率的概念。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养。通过曲线上某点出割线与切线斜率的问题，加深学生对函数平均变化率与瞬时变化率的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握平均速度与瞬时速度的算法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1．物体自由落体的运动方程为s(t)＝eq\f(1,2)gt2，g＝9.8m/s2，若v＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝9.8m/s，那么下列说法中正确的是()A．9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速率B．9.8m/s是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速率C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率D．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率C[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则eq\f(Δy,Δx)等于________．4＋2Δx[Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.]3．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[解](1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为eq\f(3×0.22＋5－3×0.12－5,0.2－0.1)＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3xeq\o\al(\s\up5(2),\s\do5(0))＋5)=3xeq\o\al(\s\up5(2),\s\do5(0))＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3xeq\o\al(\s\up5(2),\s\do5(0))－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq\f(6x0Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.4．求函数y＝eq\f(4,x2)在x＝2处的切线的斜率．[解]∵Δy＝eq\f(4,Δx＋22)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,Δx＋22)－1＝－eq\f(Δx2＋4Δx,Δx＋22)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,Δx＋22)，∴k＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(－Δx－4,Δx＋22)＝eq\f(－4,4)＝－1.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1.瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法；2.函数的平均变化率，瞬时变化率的概念；通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】从学生熟悉的背景出发，激发学生深入探究的兴趣,让学生进行思考、讨论，探索解决问题的方法和步骤,挖掘出以直代曲的思想方法，从而构建平均变化率这个数学模型来解决有关问题，使得平均变化率的概念及瞬时变化率的引入显得自然流畅。再例举学生熟悉的数学问题，让学生巩固对平均变化率的概念的理解。《5.1.1变化率问题》导学案【学习目标】1.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．【重点和难点】重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念【知识梳理】1．平均变化率对于函数y＝f(x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx＝_______.(2)函数值的改变量：Δy＝_____________．(3)平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝＝.x2－x1；f(x2)－f(x1)；eq\f(fx2－fx1,x2－x1)；eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝.某一时刻；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)3．曲线的切线斜率(1)设P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲线y＝f(x)上任意不同两点，则平均变化率eq\f(fx－fx0,x－x0)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为割线P0P的_____．(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f(x)在x0处的____的斜率即k＝.斜率；切线；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx趋近于零时表示Δx＝0． ()(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等． ()(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． ()(4)函数y＝f(x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)． ()2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是()A．4B．4.1C．0.41D．－1.1【学习过程】一、学习导引在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。二、新知探究问题1高台跳水运动员的速度高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.如何描述用运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v近似的描述它的运动状态。例如,在0≤t≤0.5这段时间里，v在1≤t≤2这段时间里，v一般地，在t1≤t≤tv探究1：计算运动员在0≤t≤4849为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？问题2.抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x2探究3.你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点与研究瞬时速度类似为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近取一点Px,探究4.我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)从上述切线的定义可见，抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0记∆x=x-1,点P的坐标(1+∆x,

(1+∆x)2)

，于是割线k=f利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当无限趋近于0时，割线P0从几何图形上看，当横坐标间隔∆x无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线三、典例解析例1．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝st，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：1写出时间改变量Δt，位移改变量ΔsΔs＝st0＋Δt－st0.2求平均速度：eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).3求瞬时速度v：当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)→v常数.跟踪训练1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．跟踪训练2．在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.例2.已知函数y＝x－eq\f(1,x)，则该函数在点x＝1处的切线斜率为?【达标检测】1．物体自由落体的运动方程为s(t)＝eq\f(1,2)gt2，g＝9.8m/s2，若v＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝9.8m/s，那么下列说法中正确的是()A．9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速率B．9.8m/s是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速率C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率D．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则eq\f(Δy,Δx)等于________．3．已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．4．求函数y＝eq\f(4,x2)在x＝2处的切线的斜率．【课堂小结】1.瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法2.函数的平均变化率，瞬时变化率的概念【参考答案】知识梳理1．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√()2．D[Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]3．B[eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2.1－s2,2.1－2)＝eq\f(2.12－22,0.1)＝4.1，故选B.]学习过程二、典例解析例1．[思路探究]eq\x(计算物体在[1，1＋Δt]内的平均速度\f(Δs,Δt))eq\o(――――→,\s\up18(令Δt→0))eq\x(计算\o(lim,\s\do14(Δt→0))\f(Δs,Δt))―→eq\x(得t＝1s时的瞬时速度)[解]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(3＋Δt)＝3.∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.跟踪训练1．[解]求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(1＋Δt)＝1.∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.跟踪训练2．[解]设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝(2t0＋1)＋Δt.eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.例2.解析：∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋1－eq\f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴斜率k＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝1＋1＝2.达标检测1．C[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]2．4＋2Δx[Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.]3．[解](1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为eq\f(3×0.22＋5－3×0.12－5,0.2－0.1)＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3xeq\o\al(\s\up5(2),\s\do5(0))＋5)=3xeq\o\al(\s\up5(2),\s\do5(0))＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3xeq\o\al(\s\up5(2),\s\do5(0))－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq\f(6x0Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.4．[解]∵Δy＝eq\f(4,Δx＋22)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,Δx＋22)－1＝－eq\f(Δx2＋4Δx,Δx＋22)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,Δx＋22)，∴k＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(－Δx－4,Δx＋22)＝eq\f(－4,4)＝－1.《5.1.1变化率问题》基础同步练习一、选择题1．一质点的运动方程是，则在时间内相应的平均速度为（）A．B．C．D．2．函数在区间上的平均变化率等于（）A．B．C．D．83．甲、乙两厂污水的排放量W与时间的关系如图所示，则治污效果较好的是（）A．甲厂B．乙厂C．两厂一样D．不确定4．已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（）A．B．C．D．5．若函数在区间上的平均变化率为4，则m等于（）A．B．3C．5D．166．（多选题）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示.现有下列四种说法正确的有（）A.前四年该产品产量增长速度越来越快B.前四年该产品产量增长速度越来越慢C.第四年后该产品停止生产D.第四年后该产品年产量保持不变.二、填空题7．函数y＝x+在[x，x＋Δx]上的平均变化率_____.8．函数的图象如下图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是_____.9．一质点M按运动方程做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）．若质点M在时的瞬时速度为8m/s，则常数的值为________________．10．已知函数在区间，上的平均变化率分别为，，那么，的大小关系为_______.三、解答题11．航天飞机升空后一段时间内，第时的高度为，其中h的单位为m，t的单位为s.（1）分别表示什么？（2）求第内的平均速度；（3）求第末的瞬时速度.12．已知函数图象上两点、.（1）若割线的斜率不大于，求的范围；（2）求函数的图象在点处切线的斜率.《5.1.1变化率问题》答案解析一、选择题1．一质点的运动方程是，则在时间内相应的平均速度为（）A．B．C．D．D【详解】.2．函数在区间上的平均变化率等于（）A．B．C．D．8B【详解】由题：.3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间的关系如图所示，则治污效果较好的是（）A．甲厂B．乙厂C．两厂一样D．不确定B【详解】在处，虽然有，但，所以在相同时间内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好．4．已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（）A．B．C．D．C【详解】，.5．若函数在区间上的平均变化率为4，则m等于（）A．B．3C．5D．16B【详解】因为，所以.6．（多选题）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示.现有下列四种说法正确的有（）A.前四年该产品产量增长速度越来越快B.前四年该产品产量增长速度越来越慢C.第四年后该产品停止生产D.第四年后该产品年产量保持不变.BD【详解】设产量与时间的关系为，由题图可知，则前三年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确，由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且，故C错误，D正确，故说法正确的有BD.二、填空题7．函数y＝x+在[x，x＋Δx]上的平均变化率_____.【答案】【详解】因为函数y＝x+，所以在[x，x＋Δx]上的平均变化率.8．函数的图象如下图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是_____.【答案】【详解】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，即函数在区间上的平均变化率小于0；在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大.所以函数在区间上的平均变化率最大.9．一质点M按运动方程做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）．若质点M在时的瞬时速度为8m/s，则常数的值为________________．【答案】【详解】∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt，当Δt趋于0时，趋于4a，即4a＝8，解得a＝2.10．已知函数在区间，上的平均变化率分别为，，那么，的大小关系为_______.【答案】.【详解】当，时，平均变化率，当，时，平均变化率，三、解答题11．航天飞机升空后一段时间内，第时的高度为，其中h的单位为m，t的单位为s.（1）分别表示什么？（2）求第内的平均速度；（3）求第末的瞬时速度.【详解】（1）表示航天飞机发射前的高度；表示航天飞机升空后第时的高度；表示航天飞机升空后第时的高度.（2）航天飞机升空后第内的平均速度为.（3）第末的瞬时速度为.因此，第末的瞬时速度为.12．已知函数图象上两点、.（1）若割线的斜率不大于，求的范围；（2）求函数的图象在点处切线的斜率.【详解】（1）由题意得，割线的斜率为，由，得，又因为，所以的取值范围是.（2）由（1）知函数的图象在点处切线的斜率为，又.《5.1.1变化率问题》提高同步练习一、选择题1．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（）A．2.1B．0.21C．1.21D．0.1212．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（）A．B．C．D．3．某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于（）A．B．C．D．4．两个学校、开展节能活动，活动开始后两学校的用电量、与时间（天）的关系如图所示，则一定有（）A．比节能效果好B．的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率大C．两学校节能效果一样好D．与自节能以来用电量总是一样大5．某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为.那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）.A．B．C．D．6.（多选题）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．给出下列四个结论正确的是()A.在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B.在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；C.在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D.在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.二、填空题7．函数在区间上的平均变化率为_________.8．已知曲线上两点，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________.9．某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图像如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么，，，中，瞬时融化速度等于的时刻是图中的__________．10．函数与在区间上增长较快的是________．三、解答题11．（1）计算函数从到的平均变化率，其中的值为：①2；②1；0.1；④0.01（2）思考：当越来越小时，函数在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？12．巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,登泰山在当地有用“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.《5.1.1变化率问题》答案解析一、选择题1．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（）A．2.1B．0.21C．1.21D．0.121A【详解】，所以函数在区间上的平均变化率为.2．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（）A．B．C．D．C【详解】由题意得，，由题图易知，∴.3．某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于（）A．B．C．D．A【详解】位移增量.4．两个学校、开展节能活动，活动开始后两学校的用电量、与时间（天）的关系如图所示，则