2022届高考数学考前必做题及答案解析

2022年高考数学考前必做题

1.如图，在四棱锥P-4BCO中，底面4BCD为矩形，以1.平面488,PA=AB=2AD,E

为PC中点.

(I)证明：孙〃平面8£>E；

(II)求用与平面PCD所成角的正弦值.

【分析】(I)连接EF,证明B4〃EF,然后证明以〃平面8OE.

(II)说明以与平面PC。所成角为/4PD,然后求解三角形推出结果即可.

【解答】(I)证明：ACnBD=F,连接E凡因为E,尸分别为PC,AC中点,

所以fi4〃EF,B4U平面BOE,EFu平面B£>E,所以B4〃平面BQE.

(H)解：因为以_L平面ABC。，所以勿_LC£>,又因为CZ)_LA£>,PAQAD=A,

所以C£>_L平面布£>,即平面PCD_L平面%。，交线为PD,

1_V5

所以以与平面PCD所成角为NAP。，sin^APD=店=于

【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面是所成角的求法，考

查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

2.如图，在长方体A8C£>-AiBiCiDi中，AB=BC=2AAi，Oi是底面AiBiGOi的中心.

(I)求证：。4〃平面AS；

(II)求二面角Di-AC-D的平面角的余弦值.

【分析】(I)连接BQ交AC于点0,连接Di。，连接81Q”可得。iB〃O|O.即可证

明OiB〃平面ACDi.

(11)可得/。10。是二面角-AC-。的平面角.在直角三角形。中，求

的余弦值即可.

【解答】解：(I)证明：连接交AC于点0,连接。1。，连接BiCi，

由长方体的性质知8O=Oi£>i，且80〃01。1，

故四边形801010是平行四边形，

所以0\B//D\0.

又因为。lOu平面ACCi，。|8仁平面AC。，

所以018〃平面ACDi.

(II)：设AB=BC=244i=2,由长方体底面A8CD是正方形，得。0_L4c.

因为。IA=OIC,。是AC的中点，所以。iO_LAC,

所以是二面角Di-AC-D的平面角.

在直角三角形OiOO中，/。1。0=90°,OiO=AAi=l,。0=寺。8=VL所以必。=V3,

得COSNDI。。=措4=*，

U-yUJ

V6

所以二面角。1-AC-。的平面角的余弦值为三.

B

【点评】本题考查了空间线面平行的判定，考查了二面角，考查了空间想象能力，属于

中档题.

3.如图，在四面体ABC。中，△4BC是直角三角形，且有4B=AC,ZXAC。为正三角形,

且有CD±AB.

(1)证明：平面ACC_L平面ABC；

(2)延长3。到点E,使用得Vc-AED=VCA8D，求二面角A-EC-3的余弦值.

【分析】(1)△ABC是直角三角形，且有A8=4C,可得A8J_AC.又C£>_LAB,利用线

面、面面垂直的判定与性质定理即可证明结论.

(2)不妨取AB=2.利用VCAED=VCABD，可得点。为线段BE的中点，设平面ACE

的法向量为般=(x,z),利用？=?i，CE=0,可得：n.同理可得：平面8CE的

法向量藐，利用向量夹角公式即可得出.

【解答】(1)证明：；△ABC是直角三角形，且有AB=AC,...ABLAC.

又C£>_LAB,ACQCD=C.

平面ACO,

又ABu平面ABC,

.•.平面AC。_L平面ABC.

(2)解：不妨取AB=2.•."C-AED=VC-ABD，.,.点。为线段BE的中点.

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,1,V3),E(-2,2,2遍)，

AC=(0,2,0),CE=(-2,0,2V3),CB=(2,-2,0),

设平面ACE的法向量为£=(x,y,z),则〉信1=/&=(),

可得：2y=0,-2x+2V3z=0,

取1=(V3,0,1),

同理可得：平面BCE的法向量六=