第7章数字逻辑电路基础

第7章数字逻辑电路基础7.1模拟信号与数字信号7.2数制与数制转换

7.5逻辑函数的代数变换及化减

7.4逻辑代数7.3二进制代码1.了解模拟信号与数字信号，掌握二进制数与十进制数的相互转换以及二进制数的运算。本章要求：第7章数字逻辑电路基础了解二进制代码，掌握8421BCD码与十进制数的相互转换。3.掌握逻辑代数的基本运算法则，会用逻辑代数的基本运算法则化简逻辑函数。4.会用卡诺图法化简逻辑函数。模拟信号：随时间连续变化的信号7.1

模拟信号与数字信号1.模拟信号模拟信号数字信号电子电路中的信号正弦波信号t三角波信号t

在电子技术领域中，为了便于存储、分析和传输，常将模拟信号进行编码，即把它转换为数字信号，利用数字逻辑这一强用力的工具来分析和设计复杂的数字电路或数字系统，为信号的存储、分析和传输创造硬件环境。

处理模拟信号的电路称为模拟电路。如整流电路、放大电路等，注重研究的是输入和输出信号间的大小、相位及失真关系。

在模拟电路中，晶体管三极管通常工作在放大区。

2.脉冲信号

是一种跃变信号，并且持续时间短暂。尖顶波t矩形波t

处理数字信号的电路称为数字电路，它注重研究的是输入、输出信号之间的逻辑关系。

在数字电路中，晶体管一般工作在截止区和饱和区，起开关的作用。脉冲信号正脉冲：脉冲跃变后的值比初始值高负脉冲：脉冲跃变后的值比初始值低如：0+3V0-3V正脉冲0+3V0-3V负脉冲因此，基本单元电路、分析方法及研究的范围均不同。非理想脉冲波形几个主要参数:占空比Q-----表示脉冲宽度占整个周期的百分比上升时间tr

和下降时间tf----从脉冲幅值的10%到90%上升

下降所经历的时间(典型值ns)脉冲宽度(tw)----脉冲幅值的50%的两个时间所跨越的时间周期(T)----表示两个相邻脉冲之间的时间间隔

tr脉冲宽度

tw

0.5V

4.5V

2.5V

幅值=5.0V

0.0V

5.0V

tf0.5V

2.5V

4.5V

脉冲幅度A

脉冲信号变化的最大值。7.2.1数制数制:多位数码中的每一位数的构成及低位向高位进位的规则7.2数制与数制转换二进制数的一般表达式为:例如：1+1=10=1×21

+0×20位权系数二进制数只有0、1两个数码，进位规律是：“逢二进一”1、二进制数各位的权都是2的幂。

2十进制数十进制采用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数码，其进位的规则是“逢十进一”。4587.29=4

103+5102+8101+7100+210

1+910

2一般表达式:系数位权任意进制数的一般表达式为:各位的权都是10的幂。

7.2.2二进制数的计算

1、二进制加法0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10。例1计算两个二进制数1010和0101的和。解：

2、二进制乘法0·0=0，0·1=0，1·0=0，1·1=1。

从数字电路的角度看，十进制数每一位对应十个状态，这十个状态就需要有十个不同且能严格区分开的状态与之对应。若采用二进制，每一位用两种状态与之对应：有-无；真-假；通-断等，总结为0、1

所以，二进制的数字装置简单可靠；基本运算规则简单，运算操作简便；有存储数据功能。

但是二进制数位数长，使用起来不方便；不符合人们使用十进制的习惯。选择什么样的数制来表示信息对数字系统的成本和性能影响很大，在数字电路中多使用二进制十进制二进制十进制二进制十进制二进制00000401008100010001501019100120010601101010103001170111111011十进制和二进制的关系转换：二进制→十进制：按权展开相加 十进制→二进制：除2取余逆序排列二进制数与十进制之间的转换…余1=K0…余1=K1…余1=K2…余0=K3…余1=K4…余0=K5…余1=K6…余1=K7

所以(215)D=(11010111)B(215)D=(?)B例：2215

2107

253

226

213

26

23

21

207.3.二进制代码二进制代码的位数(n),与需要编码的事件（或信息）的个数(N)之间应满足以下关系：2n-1≤N≤2n码制:编制代码所要遵循的规则

代码：指特定的二进制数码。这些数码不表示数量的大小，仅区别不同的事物。

编码：指以一定的规则编制代码，用以表示十进制数值、字母、符号等的过程。

一个代码的好坏在很大程度上取决于编码手段的优劣。1.二—十进制码(数值编码)(BCD码-----BinaryCodeDecimal）用4位二进制数来表示一位十进制数中的0~9十个数码。

从4位二进制数16种代码中,选择10种来表示0~9个数码的方案有很多种。每种方案产生一种BCD码。BCD码十进制数码8421码2421码5421码余3码000000000000000111000100010001010020010001000100101300110011001101104010001000100011150101101110001000601101100100110017011111011010101081000111010111011910011111110011002.几种常用的BCD代码输入：十进制的10个数码输出：二进制代码需要4位二进制码16个状态中选出10个

8421BCD码(8421分别表示4个位的权值)1001：1x

8

+0x

4

+0x

2

+1x

1

=93.8421编码8421码编码表输入输出十进制数Y3Y2Y1Y000000100012001030011401005010160110701118100091001十进制数：286用8421码表示：001010000110286(10011010010111)8421=(?)10(5729)10=(?)84217.4逻辑代数

逻辑代数（又称布尔代数），它是分析设计逻辑电路的数学工具。虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种，分别称为逻辑“0”和逻辑“1”。这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。

逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是数量关系。这是它与普通代数的本质区别。数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数。1.常量与变量的关系7.4.2逻辑代数运算法则2.逻辑代数的基本运算法则自等律0-1律重叠律还原律互补律交换律2.逻辑代数的基本运算法则普通代数不适用！证:结合律分配律A+1=1

AA=A.110011111100反演律列状态表证明：AB00011011111001000000吸收律(1)A+AB=A(2)A(A+B)=A证明：A+AB=A（3）（4）（5）（6）吸收律AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+ACAB+AC+BC=AB+AC证明:3基本定理

a.代入定理

：在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。例：B(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B[(A+D)+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（•）换成或（+），或（+）换成与（•）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。b.反演定理：例：

试求

的非函数解：按照反演规则，得

1、保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表达式中，AB之间先运算，再和其它变量进行运算，那么非函数的表达式中，仍然是AB之间先运算。2、对于反变量以外的非号应保留不变。应用反演规则应注意2点应用反演规则能够将一些问题简化证明：由反演规则：设：则：对于任何逻辑函数式，若将其中的与（•）换成或（+），或（+）换成与（•）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作。

例:逻辑函数的对偶式为c.对偶定理：当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律

注意：在对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。反变量以外的非号保留不变。7.5逻辑函数的代数变化及化简

由逻辑状态表直接写出的逻辑式及由此画出的逻辑图，一般比较复杂；若经过简化，则可使用较少的逻辑门实现同样的逻辑功能。从而可节省器件，降低成本，提高电路工作的可靠性。

利用逻辑代数变换，可用不同的门电路实现相同的逻辑功能。化简方法公式法卡诺图法1.用“与非”门构成基本门电路(2)应用“与非”门构成“或”门电路(1)应用“与非”门构成“与”门电路AY&B&BAY&&&由逻辑代数运算法则：由逻辑代数运算法则：逻辑代数变换&YA(3)应用“与非”门构成“非”门电路(4)用“与非”门构成“或非”门YBA&&&&由逻辑代数运算法则：其中第一种表达式是基本形式，其它式子都可由它变换而来。用“与–或”门实现的“与或”表达式用“或–与”门实现的“或与”表达式用“与非”门实现的“与非–与非”表达式用“与或非”门实现的“与或非”表达式用“或非”门实现的“或非–或非”表达式例：同一个逻辑函数有多种形式的表示

一个逻辑函数的化简就是指对“与–或”表达式的化简，并要求把它化成最简的“与–或”表达式。

对复杂的逻辑表达式，要依据逻辑代数法则，常用公式和运算规则进行，通过并项、配项、加项、吸收等方法进行化简。

最简的“与–或”表达式，是指表达式中的“与”项项数最少，而每一个“与”项中所含的

变量数也应最少。7.5.1代数化简法例1：化简1.应用逻辑代数运算法则化简（1）并项法例2：化简（2）配项法例3：化简（3）加项法（4）吸收法吸收例4：化简例5：化简吸收吸收吸收吸收

代数法化简无固定步骤可遵循，具有一定的试探性。对最后的化简结果，有时难以肯定是合理的，它在很大程度上取决于设计者对逻辑代数的熟悉程度。7.5.2卡诺图化简卡诺图:是与变量的最小项对应的按一定规则排列的方格图，每一小方格填入一个最小项。（1）最小项：对于n输入变量有2n种组合,其相应的乘积项也有2n个，则每一个乘积项就称为一个最小项。其特点是每个输入变量均在其中以原变量和反变量形式出现一次，且仅一次。(b)A、B、C三个变量或者以原变量或者以反变量的形式在“与”项中出现一次。(a)每个“与”项都包含三个输入变量A、B、C。可见，最小项特征为（以三变量逻辑函数为例）：三个变量，有8种组合，最小项就是8个，卡诺图也相应有8个小方格。在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。最小项二进制数000001010011100101110111十进制数01234567编号m0m1m2m3m4m5m6m7任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为最小项表达式。对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式。(2)卡诺图BA0101二变量BCA0010011110三变量二进制数对应的十进制数编号AB00011110CD00011110四变量任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变(2)卡诺图（a)根据状态表画出卡诺图如:ABC00100111101111将输出变量为“1”的填入对应的小方格,为“0”的可不填。

0000

A

B

C

Y001101010110100110