金融计量学：分位数回归与金融计量

分位数回归与金融计量

学习目标

熟悉分位数回归的基本原理，明晰均值回归与分位数回归的差异，掌握分位数回归结果的经济解释；掌握分位数回归的建模过程及其在金融计量中的应用，学会使用分位数回归模型计算金融风险。均值回归模型描述的是自变量与“平均”因变量𝐸(𝑦│𝑥)之间的关系。然而，人们往往更加关注极端分位特征。例如，在风险研究时，更加关注破坏性较强的极端尾部风险。本章将详细介绍分位数回归模型，阐述分位数回归模型在金融风险领域的应用，并结合实际例子，计算我国金融机构的系统性风险水平，旨在使学生了解相关金融安全知识，树立金融安全意识。7.1分位数回归模型概述7.2分位数回归模型7.3分位数回归模型的估计方法7.4分位数回归估计值的解释7.5分位数回归模型的拓展7.6分位数回归与系统性风险专题7基于分位数回归的金融机构系统性风险测度研究目录CONTENTS分位数回归模型概述7.17.1分位数回归模型概述传统回归分析主要关注均值，即采用因变量条件均值的函数来描述自变量每一特定数值下的因变量均值，从而揭示自变量与因变量的关系。金融风险研究通常关注极端风险，这一领域要求深入分析因变量的分布特征。对分布特征的描述包括中心位置、数值范围、偏态和其他高阶特征，而不仅是中心位置。Koenker和Bassett在1978年提出了分位数回归模型（QuantileRegression），该模型是线性回归模型的自然拓展。随着自变量变化，线性回归模型描述因变量的条件均值变化，而分位数回归模型强调条件分位数变化。分位数回归模型7.27.2.1总体分位数

7.2.2样本分位数

分位数回归模型的估计方法7.37.3分位数回归模型的估计方法

由于分位数回归的目标函数带有绝对值，因此通常采用线性规划求解估计值。

7.3分位数回归模型的估计方法

在实际应用中，我们可以很容易地使用R语言的quantreg包进行分位数回归估计。分位数回归估计值的解释7.47.4.1参照与比较对于线性回归模型而言，拟合系数可解释为估计效应，即因变量分布变化的均值情况，而均值变化来源于一个连续型自变量的单位增量，或者虚拟变量从0到1的变化。每一种变化都可理解为参照组和比较组在均值上的估计差异。对分位数回归的解释与上述类似，即参照组和比较组在特定分位数上的估计差异，当控制变量保持不变时，这一估计差异来源于自变量的单位增量，或者来源于虚拟变量从0到1的变化。7.4.1条件均值与条件中位数中位数回归是分位数回归的一种，它用于表达在特定自变量下因变量的条件中位数，并且中位数回归可作为拟合条件均值的一种替代方法，两种模型可进行对比。表7.1展示了沪深300指数收益率对中国银行股票收益率的估计系数，括号内为t统计值。为便于比较，我们也展示了线性回归OLS估计结果。表7.1分位数回归系数估计值

OLS5%10%15%20%HS3000.5340.6440.5230.4880.469

(34.60)(19.39)(37.79)(42.71)(35.74)

50%80%85%90%95%HS3000.4470.4540.4650.4900.555

(41.80)(44.22)(85.77)(32.05)(13.74)7.4.1条件均值与条件中位数图7.1展示了不同分位点上沪深300指数收益率对中国银行股票收益率的估计系数（黑色实线），其中x轴为分位点，y轴为估计系数，中间黑色虚线为OLS估计结果。图7.1估计系数的分位数变化R代码>rm(list=ls())>library("openxlsx")>library("quantreg")>Data=read.xlsx("E:/jrjl/Chapter7/ex1_Data.xlsx",detectDates=TRUE)>y=Data$中国银行>x=Data$HS300>tau=c(0.05,0.1,0.15,0.2,0.5,0.8,0.85,0.9,0.95)>Res=rq(y~x,tau=tau)>plot(summary(Res))分位数回归模型的拓展7.57.5.1极值分位数回归模型传统分位数回归模型假设收益率满足正态分布，未考虑金融时间序列数据的“厚尾”特征，而极值分位数回归（ExtremalQuantileRegression，简称EQR）假设因变量的尾部分布具有帕累托（Pareto-type）行为，可更好拟合金融时间序列数据。假设存在如下条件分位数函数：

极值分位数回归的估计和推理方法较为复杂，在这里我们不做过多阐述，感兴趣的读者可以参考《HandbookofQuantileRegression》这本书。7.5.1极值分位数回归模型例7.1

沿用表7.1数据，图7.2展示了QR估计的置信区间和EQR估计的置信区间。中间部分两者无显著差异，但在两侧尾部QR置信区间要窄于EQR置信区间，这种差异表明QR估计低估了数据的尾部变化，可能对极端风险的刻画存在不足。图7.2QR置信区间和EQR置信区间比较R代码>rm(list=ls())>library(quantreg)>library(foreign)>library("openxlsx")>source("R-progs.R")>Data=read.xlsx("E:/jrjl/Chapter7/ex1_Data.xlsx",detectDates=TRUE)>Y=Data$中国银行>X=Data$HS300>s=c("Intercept","HS300")>p=length(s)>alpha=.10>subsample.size=floor(50+sqrt(length(Y)))>subsample.fraction=subsample.size/length(Y)>taus=(1:199)/200R代码>fit.central=as.data.frame(matrix(0,ncol=3,nrow=199))>fit.extreme=as.data.frame(matrix(0,ncol=3,nrow=199))>for(iin1:length(taus)){fit=rq(Y~X,tau=taus[i])central=summary.rq(fit,se="ker")fit.central[i,1]=central$coefficients[2,1]fit.central[i,2]=central$coefficients[2,1]+qnorm(alpha/2)*central$coefficients[2,2]fit.central[i,3]=central$coefficients[2,1]+qnorm(1-alpha/2)*central$coefficients[2,2]extreme =summary.rq.extreme(fit,subsample.fraction=subsample.fraction,R=500,method="br",alpha=alpha,spacing=5+p)fit.extreme[i,1]=extreme$coefficients[2,5]fit.extreme[i,2]=extreme$coefficients[2,3]fit.extreme[i,3]=extreme$coefficients[2,4]}R代码#Plotextremeregions>plot(c(0,1),xlim=c(0,1),type="n",xlab=expression(tau),ylab="Coefficient")lines(taus,smooth(fit.extreme$V2),col=4,lwd=1.5,lty=1)lines(taus,smooth(fit.extreme$V3),col=4,lwd=1.5,lty=1)abline(h=0)#Plotestimatesandcentralregionslines(taus,fit.central$V1,col=1,lwd=1.5,lty=1)lines(taus,smooth(fit.central$V2),col=2,lwd=1.5,lty=2)lines(taus,smooth(fit.central$V3),col=2,lwd=1.5,lty=2)7.5.2分位数向量自回归模型分位数向量自回归模型（QuantileVAR，简称QVAR）将分位数回归技术和VAR模型结合，可探讨解释变量对因变量不同分位数的影响效应。对下尾和上尾的影响效应在金融风险管理中极其重要。分位数向量自回归模型可用来研究经济变量和金融变量间的非线性和非对称关系，可解决传统VAR模型不能解释的问题。7.5.2分位数向量自回归模型一般地，n维p阶分位数向量自回归模型具体框架如下：

分位数向量自回归模型强调如下事实：每个方程中的参数估计都从属于方程左边因变量条件分布的不同分位数水平，即该模型可同时考虑在不同分位数下，各方程中因变量间的相互关系。在宏观经济分析中，通过设置不同的分位数水平，可研究经济市场中宏观变量的不同情形。7.5.2分位数向量自回归模型例7.2假定沪深300指数日对数收益率和中国银行日对数收益率构成的二元序列服从VAR(1)模型，利用quantreg包估计5%分位点下的QVAR模型，估计结果见表7.2，括号内为标准误，L1.中国银行代表中国银行日对数收益率滞后1期。仅做展示作用，具体的滞后期选择、序列平稳性和变量选择等，根据实际问题考虑。表7.2QVAR（1）估计结果常数项L1.中国银行L1.HS300VAR（1）中国银行-0.0021-0.0052-0.0027

（-0.08）（-0.22）（-0.12）HS3000.01610.00320.0231

（0.56）（0.13）（0.99）QVAR（1）中国银行-1.70530.08570.0992

（-20.11）（-1.37）（1.60）HS300-2.1204-0.00820.1463

（-21.13）（-0.09）（1.73）R代码>library("openxlsx")>library("quantreg")>library("vars")>y=read.xlsx("E:/jrjl/Chapter7/ex1_Data.xlsx",detectDates=TRUE)>y=as.matrix(y)>nlag=1>Res_VAR=VAR(y,p=nlag)>summary(Res_VAR)>k=ncol(y)>x=embed(y,nlag+1)>tau=0.05>for(iin1:k){Res_QVAR=summary(rq(y[-c(1:nlag),i]~x[,-c(1:k)],tau=tau))print(Res_QVAR$coefficients)}分位数回归与系统性风险7.67.6分位数回归与系统性风险

7.6分位数回归与系统性风险在给定分位数的情形下，我们可得到金融机构i的在险价值VaR和条件在险价值CoVaR：

进一步可计算金融机构i的条件在险价值差ΔCoVaR：

7.6分位数回归与系统性风险

图7.3中国银行ΔCoVaRR代码>rm(list=ls())>library("openxlsx")>library("quantreg")>Data=read.xlsx("E:/jrjl/Chapter7/ex4_Data.xlsx",detectDates=TRUE)>Ins_y=Data$中国银行>Market_y=Data$HS300>State=Data[,4:8]>State=as.matrix(State)>Res_Ins_50=rq(Ins_y~State,tau=0.5)>Res_Ins_5=rq(Ins_y~State,tau=0.05)>Res_Market_5=rq(Market_y~Ins_y+State,tau=0.05)>dcovar=Res_Market_5$coefficients[2]*(Res_Ins_5$fitted.values-Res_Ins_50$fitted.values)>plot(abs(dcovar),type="l")基于分位数回归的金融机构系统性风险测度研究专题专题1.数据描述和变量选取我们选取31家上市金融机构的股票数据，其中包括16家银行机构，3家保险机构，12家证券机构，时间区间为2011年1月4日到2021年12月31日，具体金融机构见表7.3。机构机构机构机构机构平安银行兴业银行中国银行国金证券中国平安宁波银行北京银行中信银行海通证券中国太保浦发银行农业银行东北证券招商证券中国人寿华夏银行交通银行国元证券太平洋证券民生银行工商银行广发证券兴业证券招商银行光大银行长江证券华泰证券南京银行建设银行中信证券光大证券表7.3样本机构专题1.数据描述和变量选取

图7.4金融系统对数收益率序列专题1.数据描述和变量选取

专题1.数据描述和变量选取

专题1.数据描述和变量选取

专题2.实证分析表7.4为31家金融机构的算术平均ΔCoVaR及其标准差，ΔCoVaR绝对值越大，表明该机构风险程度较高。表7.4金融机构ΔCoVaR均值及其标准差机构ΔCoVaR均值ΔCoVaR标准差机构ΔCoVaR均值ΔCoVaR标准差机构ΔCoVaR均值ΔCoVaR标准差中国平安0.4000.140北京银行0.4440.201广发证券0.4840.162中国太保0.4890.117农业银行0.4740.218长江证券0.4850.214中国人寿0.3870.102交通银行0.5340.312中信证券0.5300.236平安银行0.4120.122工商银行0.5520.259国金证券0.3500.124宁波银行0.4900.101光大证券0.4350.189海通证券0.5740.251浦发银行0.4620.209光大银行0.4600.192招商证券0.5210.185华夏银行0.5730.253建设银行0.4910.242太平洋证券0.3710.145民生银行0.4420.238中国银行0.4550.251兴业证券0.4650.171招商银行0.4270.147中信银行0.3760.150南京银行0.5040.177东北证券0.4800.206兴业银行0.4890.170国元证券0.4190.181专题2.实证分析图7.5