结构力学Ⅱ课件：荷载及内力计算

1非结点荷载处理刚度方程K△=F

反应结点力F和结点位移△之间的关系。结点力向量:结点力向量F：与结点位移对应的结点力，包括荷载和支座约束反力。荷载向量P：不考虑约束反力，只由外荷载引起的结点力。荷载向量:2§9.6非结点荷载处理非结点荷载:等效移置到结点上。

荷载结点荷载结点力、力矩非结点荷载单元内分布力

集中力温度作用

惯性力等荷载向量P=PD+PE直接结点荷载PD非结点荷载的等

效结点荷载PE1432Plh/2h/2qQ首先求出基本结构在非结点荷载作用下引起的固端力；然后将各固端力反向作用到单元的结点上去；最终借助荷载等效图确定荷载向量。荷载向量:2312画荷载等效图两端固定梁非结点荷载等效方法：yθxqP1432Q1432Plh/2h/2qQ例：计算图示结构的荷载向量。

荷载等效图

xy2420kN.m4615kN.m12120kN例：计算图示结构的荷载向量。

荷载等效图

原始荷载向量：

2.先处理法1.后处理法主元素置1法修正边界后荷载向量：

考虑轴向变形：

忽略轴向变形：

xy荷载向量：

例22：计算图示结构的荷载向量。

荷载等效图

原始荷载向量：

2.先处理法1.后处理法主元素置1法修正边界后荷载向量：

忽略轴向变形：

xy对应的刚度方程？

例22：写出图示结构先处理法的刚度方程。

1.位移向量：

3.总刚度矩阵：

2.

荷载向量：

荷载等效图

途径1：由每列元素的概念直接写出各元素值

(1,0,2)(1,0,3)(0,0,4)(1,0,5)xy例23：写出图示结构先处理法的刚度方程。

xy(1,0,2)(1,0,3)(0,0,4)(1,0,5)1.位移向量：

3.总刚度矩阵：

2.

荷载向量：

途径1：由每列元素的概念直接写出各元素值

（续）

3.总刚度矩阵：

xy途径2：由各单元整体坐标下刚度矩阵装配

(1,0,2)(1,0,3)(0,0,4)(1,0,5)1.位移向量：

121

2②①③

131

31451

45232

3353

5123451

23452.

荷载向量：

各单元元素按位移编码搬到总刚度矩阵中

去。

（续）

4.结构刚度方程:xy(1,0,2)(1,0,3)(0,0,4)(1,0,5)1.位移向量：

3.总刚度矩阵：

2.荷载向量：

即:例23：写出图示结构先处理法的刚度方程。

（续）

例24：用矩阵位移法求解，画出弯矩图。xy解：1)先处理法自由度编码及结构的位移向量：

2)各单元刚度矩阵：3)装配结构的刚度矩阵：4)结构的等效结点荷载：5)结构刚度方程：先处理法的刚度方程直接求解，或后处理法刚度方程引进支座条件后求解：求即可得到结点位移△。这就转化为大型线性方程组K△=P求解问题（数学问题）。线性方程式组的解法：直接法和迭代法。直接解法：如高斯消去法，及其派生的LU、LDLT三角分解法。迭代法：塞德尔迭代法等。§9.7刚度方程求解及内力计算一、刚度方程求解求单元坐标描述的结点位移向量

（坐标变换）13根据单元结点的自由度编码从结构位移向量△中取出该单元的结点位移（整体坐标系描述）。最后代入单元刚度方程，求各单元的杆端力如果梁单元内有非结点荷载，则要叠加非结点荷载引起的固端力，得到真正的杆端内力：二、单元杆端内力计算——单元坐标描述——单元坐标描述——也可以直接按几何关系写出单元杆端内力——即单元坐标下的杆端力向量。计算步骤：此时可以根据杆端内力确定单元刚度方程的阶数。

例25：计算图示结构的内力。

忽略轴向变形，已知求得结构的结点位移向量：1.单元坐标描述的杆端位移向量根据给定的结点位移（整体坐标）解：因为杆件只考虑弯曲变形，包括杆端结点的侧移和转角位移，对应的内力为杆端剪力和弯矩，根据内力，单元的刚度方程取四阶。

①②③④⑤单元信息xy参照单元坐标系可以直接写出2.单元坐标下各单元的刚度矩阵①②③④⑤xy单元信息3.单元固端力向量内力计算过程都针对两端固定梁，不考虑支座条件。12kN.m16kNxy4.单元杆端力向量xy①②③④⑤4.单元杆端力向量xy①②③④⑤184.单元杆端力向量xy①②③④⑤194.单元杆端力向量xy①②③④⑤204.单元杆端力向量xy①②③④⑤21弯矩图(kN.m)剪力图(kN)5.根据杆端力向量作内力图①②③④⑤轴力图如何确定？xy本章总结一、矩阵位移法的基本概念：未知量（自由度）判定——先处理法，后处理法单元刚度矩阵特点、元素物理意义坐标变换矩阵

的特点结构刚度矩阵K的特点、元素物理意义固端力等效结点荷载考虑支座约束条件后——对称、带状稀疏、非奇异原始刚度矩阵——对称、带状稀疏、奇异——正交矩阵——基本结构在单元内部荷载作用下引起的固定端支座反力。本章总结二、矩阵位移法的求解步骤：结构离散化——划分单元、结点，确定单元、整体坐标系及计算的未知量（自由度）计算各单元刚度矩阵单元坐标描述整体坐标描述计算结构总刚度矩阵K先处理法——元素搬家，对号入座后处理法——子块搬家，对号入座——直接刚度法（单刚装配）——手算亦可根据刚度矩阵元素的物理意义直接写出本章总结二、矩阵位移法的求解步骤：计算结构荷载向量

P——与未知量一一对应；所有荷载均等效到结点上，最终按自由度叠加。支座约束条件的引进常用方法：主元素置1法、主元素置大数解刚度方程KΔ=P求位移Δ先处理法——确定未知量时考虑，无需再处理后处理法——需要修正结构刚度方程KΔ=P——数学问题——消除刚体位移本章总结二、矩阵位移法的求解步骤：计算各单元内力特别说明：单元内部有非结点荷载：画内力图仅有结点荷载作用：根据单元独立的杆端力数目确定刚度方程的阶数所有各量正负号和顺序都参照单元坐标系；所有计算都针对基本结构，不考虑支座条件。——借助单元受力图和内力图规律——单元坐标下的杆端力向量26建立整个结构的刚度方程（装配总刚矩阵K、荷载向量P），求解基本未知量Δ。本章总结三、矩阵位移法的求解要点：单元分析整体分析位移未知时——根据位移数确定单元刚度矩阵，

从单元坐标——整体坐标；位移已知时——根据杆端力数确定刚度矩阵、固端力，求杆端力向量，即内力——单元坐标。——单元层面——结构层面例26：用矩阵位移法求解，画出弯矩图。xy解：1)先处理法自由度编码及结构的位移向量：

2)各单元刚度矩阵：3)装配结构的刚度矩阵：4)结构的等效结点荷载：5)结构刚度方程：6）求解刚度方程得位移：

7）在单元坐标下计算各单元的杆端内力：xy画弯矩图只需求每个杆端的弯矩，故单元刚度方程只需取2阶7）在单元坐标下计算各单元的杆端内力：(2)(3)20kN.m(1)150kN.m单元固端力:xy将单元刚度矩阵、位移向量和固端力代入：7）在单元坐标下计算各单元的杆端内力：8）根据杆端内力及规律画弯矩图：将单元刚度矩阵、位移向量和固端力代入：xy例27.先处理法求桁架内力。EA=常量。

1.结构离散如图所示2.单元坐标描述的各单元刚度矩阵3.整体坐标描述的各单元刚度矩阵单元（1）的单元坐标和整体坐标一致,不需要变换单元（2）需要坐标变换，a=300第2步也可以跳过，直接按概念写出整体坐标描述的单元刚度矩阵4.装配结构总刚度矩阵，建立结构的刚度方程总刚度矩阵：荷载向量：结构刚度方程：位移向量：5.求解结构的刚度方程可得：6.单元坐标下各单元的杆端位移向量：整体坐标下：单元坐标下：(方法1)5.求解结构的刚度方程可得：6.单元坐标下各单元的杆端位移向量：整体坐标下：单元坐标下：也可以跳过整体坐标描述，直接按单元坐标分解写出：(方法1)7.单元坐标下各单元的杆端力向量(方法1)单元内力：单元两端只有轴力，故单元刚度方程只需取两阶。单元内力：7.单元坐标下各单元的杆端力向量

(方法2)作业题计算各杆端的内力，画出结构的弯矩图。已知各杆刚度EA=4×105KN，EI=1.6×104KN.m2,杆长均为4m。已求得图示结构的结点位移向量:xy，作业题已知各杆刚度EA=1KN，EI=1KN.m2。要求：列出先处理法的结构刚度方程；若已求得结点位移向量:

计算单元杆端的内力，画出结构的内力图。xy作业题用矩阵位移法分析图示刚架。已知各杆EI、EA均为常量xy写出结构后处理法分块形式的原始刚度