24章勾股定理全章教案

年4周8年级班第3节课时教案新科题目17.1勾股定理〔1〕教学目标知识目标:让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．能力目标:1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，开展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索上述结论的过程中，开展学生归纳、概括和有条件地表达活动的过程和结论．感情、态度与价值观目标:1．培养学生积极参与、合作交流的意识．2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．重点探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论，从而开展勾股定理．难点以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．教具多媒体，三角尺教学方式实验课演示课电教课多媒体课√提前测评及导入新课一、创设问题情境，引入新课．问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书?周髀算经?记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗？问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取出6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火？问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么意义？为什么选定它作为2024年在北京召开的国际数学大会的会徽？教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计二、实际操作，探索直角三角形的三边关系活动1问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大哲学家有同样的发现呢？问题2：你能发现以以下列图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗？问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗？活动2问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗？如以以下列图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出以以下列图中正方形A、B、C，A′、B′、C′的面积，看看能得出什么结论．〔提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗？生：从图中不难观察出A、B两个正方形分别含有4个小方格和9个小方格；A′、B′两个正方形分别含有9个小方格和25个小方格．师生共析：如果将虚线标出的正方形C和C′周围的四个直角三角形分别沿斜边折叠进去，你会得出什么结论呢？正方形C的面积就等于1+4××2×3=13．正方形C′的面积就等于4+4××3×5=34．和前面的结论一样．师：很正确．我们通过对A、B、C，A′、B′、C′几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方．一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论？我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0.5，1.2的直角三角形来进行验证．生：也有上述结论．师：这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理〞，而在中国那么叫做“勾股定理〞．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五〞正是直角三角形三边关系的重要表达．勾股定理到底是谁最先发现的呢？我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是?周髀算经?，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2024年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他快乐地杀了整整一百头牛来庆贺．三、例题剖析问题1：小明的妈妈买了一部29英寸〔74厘米〕的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？问题2：〔1〕如右图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高？〔2〕求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．问题1：我们通常所说的29英寸和74厘米的电视机，是指其荧屏的对角线的长度，而不是其荧屏的长和宽，同时，荧屏的边框遮盖了一局部，所以实际测量存在一些误差．问题2：〔1〕解：由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：=15〔m〕；15+9=24〔m〕．所以旗杆折断之前高为24m．〔2〕解：另一直角边的长为=8〔cm〕，所以此直角三角形的面积为×8×15=60〔cm2〕．师：你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．四、课时小结1．掌握勾股定理及其应用；2．会构造直角三角形，利用勾股定理理解简单应用题．能力测评题作业24页练习〔1〕课后反思备课评价优良合格不合格教研组长意见年月日年4周年级8班第4节课时教案新科题目17.1勾股定理〔2〕教学目标知识目标:1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．2．运用勾股定理解决一些实际问题．能力目标:1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．感情、态度与价值观目标:1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大奉献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．重点经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．难点经历用不同的拼图方法证明勾股定理．教具多媒体，三角尺教学方式实验课演示课电教课多媒体课√提前测评及导入新课问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2；完全平方公式〔a±b〕2=a2±2ab+b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？师：你能类似的方法证明上一节猜想出的命题吗？教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计一、探索研究活动1我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成以下问题：〔1〕在一张纸上画4个与图〔4〕全等的直角三角形，并把它们剪下来．〔2〕用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗？(4)(5)〔3〕有人利用图〔4〕这4个直角三角形拼出了图〔5〕，你能用两种方法表示大正方形的面积吗？大正方形的面积可以表示为：__________，又可以表示为__________．比照两种表示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗？教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，用计算面积的方法比较得出直角三角形的三边关系．在本次活动中，教师应关注：①能否通过拼图计算面积的方法得到直角三角形的三边关系．②学生能否积极主动地参与拼图活动．生：我也拼出了图〔5〕，而且图〔5〕用两种方法表示大正方形的面积分别为〔a+b〕2或4×ab+c2，由此可得〔a+b〕2=4×ab+c2．化简得：a2+b2=c2．由于图〔4〕的直角三角形是任意的，因此a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．生：我拼出了和这个同学不一样的图，如图〔6〕大正方形的边长是c，小正方形的边长为a-b，利用这个图形也可以说明勾股定理．因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为c2，又可以表示为ab×4+〔b-a〕2．比照两种表示方法可得c2=ab×4+〔b-a〕2．化简得c2=a2+b2，(6)同样得到了直角三角形的三边关系．师：这样就通过推理证实了命题1的正确性，我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理．命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它为了弘扬我国古人赵爽的证法，大家从中一定会领略到我国古代数学家的智慧．活动2图〔6〕这个图案和3世纪我国汉代的赵爽在注解?周髀算经?时给出的图案一模一样，人们称它为“赵爽弦图〞，赵爽利用弦图证明命题1〔即勾股定理〕的根本思路如下，如图〔7〕．把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a2+b2，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成．把图〔7〕中左、右两个三角形移到图〔9〕所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形．因为图〔7〕与图〔9〕都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等．因此a2+b2=c2．二、课时小结你对本节内容有哪些认识？会构造直角三角形，并理解构造原理，深刻理解勾股定理的意义．能力测评题作业28页习题〔1〕课后反思备课评价优良合格不合格教研组长意见年月日年周年级8班第5节课时教案新科题目17.1勾股定理〔3〕教学目标知识目标:能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．能力目标:1．经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题，开展学生的应用意识．2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，开展学生的实践能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．感情、态度与价值观目标:1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．重点将实际问题转化为直角三角形模型．难点如何用解直角三角形的知识和勾股定理解决实际问题．教具多媒体，三角尺教学方式实验课演示课电教课多媒体课√提前测评及导入新课问题：欲登12米高的建筑物，为完全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？由勾股定理可知，两直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2=c2-b2或b2=c2-a2，由此可知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边，也就是说，在直角三角形中，两边就可求出第三边的长．教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计一、讲授新课活动1问题：一个门框的尺寸如以下列图，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？生：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．生：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否通过．师生共析：解：在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2=AB2+BC2=12+22=52．因此AC≈≈2.236．因为AC>木板的宽，所以木板可以从门框内通过．活动2问题：如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？生：梯子底端B随着梯子顶端A沿墙下滑而外移到D，即BD的长度就是梯子外移的距离．观察图形，可以看到BD=OD-OB，求BD可以先求出OB，OD．师：OB，OD如何求呢？生：根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB=3m，OA=2.5m，所以OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.752．OB≈1.658m〔精确到0.001m〕在Rt△OCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，所以OD2=CD2-OC2=32-22=5．OD≈2.336m〔精确到0.001〕BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m〔精确到0.01m〕，所以梯子顶端沿墙下滑0.5m，梯子底端外移0.58m．活动3问题：“执竿进屋〞：笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角．笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．──当代数学教育家清华大学教授许莼舫著作?古算题味?生：解：设竿长为x尺，门框的宽度为〔x-4〕尺，高度为〔x-2〕尺，根据题意和勾股定理，得x2=〔x-4〕2+〔x-2〕2．化简，得x2-12x+20=0，〔x-10〕〔x-2〕=0，x1=10，x2=2〔不合题意，舍去〕．所以竿长为10尺．二、稳固提高活动4练习：1．有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少多长〔结果保存整数〕．2．如以以下列图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，你能求出A、B两点间的距离吗？生：1．解：设圆的直径为xdm，根据勾股定理，得502+502=x2，解得x≈71．所以圆的直径改为71dm．2．解：如右图，在Rt△ABC中，AC=20m，BC=60m，根据勾股定理，得AB2=BC2-AC2=602-202=3200，AB=40．所以A，B两点间的距离为40m．三、课时小结问题：谈谈你这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单应用题；学会构造直角三角形．能力测评题1．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度．作业26页练习课后反思备课评价优良合格不合格教研组长意见年月日年5周年级8班第1节课时教案新科题目17.1勾股定理〔4〕教学目标知识目标:1.利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．2.进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．能力目标:1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，开展学生灵巧勾股定理解决问题的能力．2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，开展学生的动手操作能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．感情、态度与价值观目标:1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．重点在数轴上寻找表示，，，，……这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．教具多媒体，三角尺教学方式实验课演示课电教课多媒体课√提前测评及导入新课【例1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？【例2】如右图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，物体A到平面镜的距离为6米，向B点到物体A的像A′的距离是多少？教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计一、讲授新课活动1问题：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出的点吗？的点呢？设计意图：上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象，，……这样的无理数的数点却找不到，学习了勾股定理后，我们把，，……可以当直角三角形的斜边，只要找到长为，的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用．此活动，教师应重点关注：①学生能否找到含长为，这样的线段所在的直角三角形；②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；③学生能否积极主动地交流合作．师：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可．我们不妨先来画出长为的线段．生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边．师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？生：设c=，两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．假设a，b为正整数，那么13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a2=4，b2=9，那么a=2，b=3．所以长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点．生：步骤如下：1．在数轴上找到点A，使OA=3；2．作直线L垂直于OA，在L上取一点B，使AB=2；3．以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，那么点C即为表示的点．活动2练习：在数轴上作出表示的点．此活动中，教师应重点关注：①学生能否积极主动地思考问题；②能否找到斜边为，另外两个角直边为整数的直角三角形．生：是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点如右图：三、稳固提高活动3问题：〔1〕根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理数的线段呢？〔2〕欣赏以以下列图，你会得到什么启示？本活动教师应重点关注：①能否将无理数转化为某个直角三角形的斜边长．②能否积极参与，欣赏数学美．生：在上述方程找到了长度为，、、、，……的线段，因此在数轴上便可以表示出来，．教学时可以先画出，，……之后，再画，画法不唯一，如以以下列图：四、课时小结问题：你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．能力测评题【例1】如右图所示，△ABC中，AB=15cm，AC=24cm，∠A=60°，求BC的长．分析：△ABC是一般三角形，假设要求出BC的长，只能将BC置于一个直角三角形中．作业27页练习课后反思备课评价优良合格不合格教研组长意见年月日年5周年级8班第2,3节课时教案新科题目习题17.1教学目标知识目标:能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．能力目标:1．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，开展学生的实践能力和创新精神．2．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．感情、态度与价值观目标:1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．重点理解勾股定理难点运用勾股定理教具多媒体，三角尺教学方式实验课演示课电教课多媒体课√提前测评及导入新课教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计习题17．11．解：AC==17．2．解：设旗杆折断之前有xm，根据勾股定理，得〔x-6〕2=62+82，〔x-6〕2=100．因为x-6>0，所以x-6=10，∴x=16．所以旗杆折断之前的高度为16m．3．解：根据勾股定理，得：AB==2.5，即AB的长为2.5cm．4．解：AC=40-21=19cm，BC=60-21=39〔cm〕．根据勾股定理，得：AB=≈43.4〔mm〕．即两孔中心距离为43.4mm．5．解：根据勾股定理，得：=2〔m〕．所以地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是2m．6．解：根据勾股定理可知：两直角边的长分别为4，2时，斜边的长为，如以以下列图所示：7．解：〔1〕∠A=30°，AB=10，所以BC=5，因为∠C=90°，根据勾股定理，得AC==5≈8.66．〔2〕∠A=45°，所以△ABC为等腰直角三角形，即BC=AC．根据勾股定理，得2BC2=2AC2=100，所以BC=AC=5≈7.07．8．解：在△ABC中，∠C=90°．〔1〕△ABC的面积=×2.1×2.8=2.94〔cm2〕；〔2〕根据勾股定理：AB==3.5〔cm〕；〔3〕因为CD×AB=AC×BC，所以CD==1.68〔cm〕．即高CD为1.68cm．9．解：根据题意，得L=≈82〔mm〕．10．解：设水的深度为x尺，这根芦苇的长度为〔x+1〕尺，根据题意，设：〔x+1〕2=x2+〔10÷2〕2．解这个方程得x=12．x+1=13．所以水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺．11．解；以AB为直径的半圆的面积为××〔〕2=AB2；以BC为直径的半圆的面积为××〔〕2=BC2；以AC为直径的半圆的面积为×〔〕2=AC2．因为∠C=90°，所以AB2=BC2+AC2AB2=BC2+AC2即以直角三角形斜边为直径的半圆的面积等于两直角边为直径的半圆的面积和．12．解：阴影局部的面积=以AC为直径的半圆的面积+以BC为直径的半圆的面积+Rt△ABC的面积-以AB为直径的半圆的面积，根据11题的结论可知：阴影局部的面积=Rt△ABC的面积=20cm2．13．解：根据题意，可知：OB=1.6÷2=0.8m，OA=2÷2=1m，在Rt△OAB中，AB==0.6〔m〕，1-0.6=0.4≥0.2，所以这辆卡车能通过厂门．能力测评题【例1】如右图所示，△ABC中，AB=15cm，AC=24cm，∠A=60°，求BC的长．分析：△ABC是一般三角形，假设要求出BC的长，只能将BC置于一个直角三角形中．作业练习册课后反思备课评价优良合格不合格教研组长意见年月日年5周年级8班第4节课时教案新科题目17.2勾股定理的逆定理〔1〕教学目标知识目标:1．掌握直角三角形的判别条件．2．熟记一些勾股数．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．能力目标:1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．感情、态度与价值观目标:1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．2．通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生学习数学的兴趣和创新精神．重点探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．难点归纳、猜想出命题2的结论．教具多媒体，三角尺教学方式实验课演示课电教课多媒体课√提前测评及导入新课一、创设问题情境，引入新课活动1〔1〕总结直角三角形有哪些性质．〔2〕一个三角形，满足什么条件是直角三角形？前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b，斜边c具有一定的数量关系即a2+b2=c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人如何做？教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计二、讲授新课活动2问题：据说古埃及人用以以下列图的方法画直角；把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，有下面的关系“32+42=52画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm、6cm、6.5cm，有下面的关系，“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm，再试一试．生：我们不难发现上图中，第〔1〕个结到第〔4〕个结是3个单位长度即AC=3；同理BC=4，AB=5，因为32+42=52．我们围成的三角形是直角三角形．生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm，我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52+62=6.52．再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42+7.52=8.52．是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？活动3下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c．5，12，13；7，24，25；8，15，17．〔1〕这三组数都满足a2+b2=c2吗？〔2〕分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？生：〔1〕这三组数都满足a+b=c．〔2〕以每组数为边作出的三角形都是直角三角形．师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论．命题2如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么，这个三角形是直角三角形．同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理．实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角．直至科技兴旺的今天──人类已跨入21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法〞．“三四五放线法〞是一种古老的归方操作．所谓“归方〞就是“做成直角〞譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢？如右图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点，再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结BC，就是MN的垂线．建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？生：可以，例如7，24，25；8，15，17等．据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角．活动4问题：命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．命题2如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．它们的题设和结论各有何关系？生：我们可以看到命题2与命题1的题设．结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．生：我们前面学过平行线的性质和判定．其中“两直线平行，同位角相等〞和“同位角相等，两直线平行〞是互逆命题，“两直线平行，内错角相等〞和“内错角相等，两直线平行〞也是互逆命题．生：“两直线平行，同旁内角互补〞和“同旁内角互补，两直线平行〞也是互逆命题．……三、课时小结问题：你对本节内容有哪些认识？能力测评题作业33页练习〔1,2〕课后反思备课评价优良合格不合格教研组长意见年月日年5周年级8班第5节课时教案新科题目17.2勾股定理的逆定理〔2〕教学目标知识目标:一、知识与技能1．了解证明勾股定理逆定理的方法．2．理解逆定理，互逆定理的概念．能力目标:1．经历证明勾股定理逆定理的过程，开展学生的逻辑思维能力和空间想象能力．2．经历互为逆定理的讨论，培养学生严谨的治学态度和实事求是求学精神．感情、态度与价值观目标:1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志．2．培养学生与人合作、交流的团队意识．重点勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念．难点互逆定理的概念．教具多媒体，三角尺教学方式实验课演示课电教课多媒体课√提前测评及导入新课一、创设问题情境，引入新课活动1以以下各组线段为边长，能构成三角形的是_______〔填序号〕，能构成直角三角形的是______．3，4，5②1，3，4③4，4，6④6，8，10⑤5，7，2⑥13，5，12⑦7，25，24能构成直角三角形的是：①④⑥⑦．教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计二、讲授新课活动2问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？师：△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°〔如以以下列图〕把画好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它们重合吗？生：我们所画的Rt△A′B′C′，A′B′2=a2+b2，又因为c2=a2+b2，所以A′B′2=C2，即A′B′=C．△ABC和△A′B′C′三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C=∠C′=90°．△ABC为直角三角形．即命题2是正确的．师：很好，当我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理．师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗？生：不一定，如命题“对顶角相等〞成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角〞不成立．师：你还能举出类似的例子吗？生：例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．显示原命题成立，而逆命题不成立．活动3练习：1．如果三条线段长a，b，c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2．说出以下命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗？〔1〕两条直线平行，内错角相等．〔2〕如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．〔3〕全等三角形的对应角相等．〔4〕在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．师：我们先来完成练习第1题．生：a2=c2-b2，移项得a2+b2=c2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形．生：2．〔1〕逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立．〔2〕逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立．〔3〕逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立．〔4〕逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，此逆命题成立．三、稳固提高活动4【例1】一个零件的形状如以以下列图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．因此这个零件符合要求．四、课时小结问题：你对本节的内容有哪些认识？掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．能力测评题【例1】〔1〕判断以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形．〔2〕：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．求证：AB=AC．作业预习课后反思备课评价优良合格不合格教研组长意见年月日年6周年级8班第1节课时教案新科题目17.2勾股定理的逆定理〔3〕教学目标知识目标:能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题．能力目标:1．经历将实际问题转化为数学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，开展学生的应用意识．2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，开展学生的实践能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．感情、态度与价值观目标:1．在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心．2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问题的习惯．重点运用勾股定理的逆定理解决实际问题．难点将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．教具多媒体，三角尺教学方式实验课演示课电教课多媒体课√提前测评及导入新课一、创设问题情境，引入新课活动1问题1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗？问题2：如以以下列图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．〔1〕你能替他想想方法完成任务吗？〔2〕李叔叔量得AD的的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD的长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？〔3〕小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有方法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题．二、讲授新课 活动2问题：【例1】判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．〔1〕a=15，b=8，c=17；〔2〕a=13，b=14，c=15；〔3〕求证：m2-n2，m2+n2，2mn〔m>n，m，n是正整数〕是直角三角形的三条边长．生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．解：〔1〕因为152+82=225+64=289，172=289，所以152+82=172，这个三角形是直角三角形．〔2〕因为132+142=169+196=365，152=365所以132+142≠152，这个三角形不是直角三角形．生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长．〔3〕证明：m>n，m，n是正整数〔m2-n2〕+〔m2+n2〕=2m2即〔m2-n2〕+〔m2+n2〕>2mn．又因为〔m2-n2〕+2mn=m2+n〔2m-n〕，而2m-n=m+〔m-n〕>0，所以〔m2-n2〕+2mn>m2+n2这三条线段能组成三角形．又因为〔m2-n2〕2=m4+n4-2m2n〔m2+n2〕2=m4+n4+2m2n〔2mn〕2=4m2n2所以〔m2-n2〕2+〔2mn〕2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=〔m2+n所以，此三角形是直角三角形，m2-n2，2mn，m2+n2〔m>n，m，n是正整数〕这三边是直角三角形的三边．师：我们把像15、8、7这样，能够成为三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．而且我们不难发现m2-n2，m2+n2，2mn也是一组勾股数，而且这组勾股数由于m，n取值的不同会得到不同的勾股数．例如m=2，n=1时，m2-n2=22-12=3，m2+n2=22+12=5，2mn=2×2×1=4，而3，4，5就是一组勾股数．你还能找到不同的勾股数吗？生：当m=3，n=2时，m2-n2=32-22=5，m2+n2=13，2mn=2×3×2=12，所以5，12，13也是一组勾股数．当m=4，n=2时，m2-n2=42-22=12，m2+n2=20，2mn=2×4×2=16，所以12，16，20也是一组勾股数．……师：由此我们发现，勾股数组有无数个，而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种方法．17世纪，法国数学家费尔马也研究了勾股数组的问题，并且在这个问题的启发下，想到了一个更一般的问题，1637年，他提出了数学史上的一个著名猜想──费马大定理，即当n>2时，找不到任何的正整数组，使等式xn+yn=zn成立，费马大定理公布以后，引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图来证明它．1995年，英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜．活动3问题：【例2】“远航〞号，“海天〞号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航〞号每小时航行16海里，“海天〞号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航〞号沿东北方向航行，能知道“海天〞号沿哪个方向航行吗？生：我们根据题意画出图形，〔如以以下列图〕，可以看到，由于“远航〞号的航向，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天〞号的航向了．解：根据题意画出右图PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30．因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2．所以∠QPR=90°由“远航〞号沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，所以∠RPS=45°，即“海天〞号沿西北或东南方向航行．三、课时小结问题：谈谈这节课的收获有哪些？掌握勾股定理及逆定理，来解决简单的应用题，会判断一个三角形是直角三角形．能力测评题问题：A、B、C三地两两距离如以以下列图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？作业34页习题〔1,2〕课后反思备课评价优良合格不合格教研组长意见年月日年6周年级8班第2,3节课时教案新科题目习题17.2教学目标知识目标:1．了解证明勾股定理逆定理的方法．2．理解逆定理，互逆定理的概念，能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题．能力目标:1．经历将实际问题转化为数学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，开展学生的应用意识．2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，开展学生的实践能力和创新精神．感情、态度与价值观目标:1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志．2．培养学生与人合作、交流的团队意识．重点勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念．难点互逆定理的概念．教具多媒体教学方式实验课演示课电教课多媒体课√提前测评及导入新课什么叫原命题？什么叫逆命题？说一说勾股定理的逆定理？说一说命题2？教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计习题18．21.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形？〔1〕a2=49，b2=576，c2=625〔2〕a2=2.25，b2=4，c2=6.25，〔3〕a2=，b2=1，c2=，b2+c2=1+=〔4〕a2=1600，b2=2500，c2=3600．解：〔1〕a2=49，b2=576，c2=625a2+b2=49+576=625，c2=625所以，a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，得由线段a=7，b=24，c=25能组成直角三角形．〔2〕a2=2.25，b2=4，c2=6.25，而a2+b2=2.25+4=6.25，所以，a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，得由线段a=1.5，b=2，c=2.5可组成直角三角形．〔3〕a2=，b2=1，c2=，b2+c2=1+=．即a2=b2+c2，所以，以a=，b=，c=为边可组成直角三角形．〔4〕a2=1600，b2=2500，c2=3600．而a2+b2=4100≠3600，即a2+b2≠c2，不能构成直角三角形．2．以下各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？〔1〕同旁内角互补，两条直线平行；〔2〕如果两个角是直角，那么它们相等；〔3〕全等三角形的对应边相等；〔4〕如果两个实数相等，那么它们的平方相等；解：〔1〕逆命题：两直线平行，同旁内角互补．此逆命题成立．〔2〕逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角，此逆命题不成立．〔3〕逆命题：如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等，此逆命题成立．〔4〕逆命题：两个数，如果它们的平方相等，那么这两个数也相等，此逆命题不成立．3．解：根据题意，如以以下列图所示AB=80m，BC=60m，CA=100m．因为，802+602=1002，即AB2+BC2=AC2，所以△ABC为Rt△，即小明向东走了80m后又向北或向南走了60m，最后回到原地〔A点〕．4．解：AD是BC边上的中线，且BC=10cm，所以BD=DC=BC=5cm，AB=13cm，AD=12cm132=122+52，所以AB2=AD2+BD2．△ABD为Rt△且∠ADB=90°，所以∠ADC=90°，AC==13．7.3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k〔k是正整数〕也是一组勾股数，因为〔3k〕2+〔4k〕2=〔5k〕2；同样a，b，c是一组勾股数，那么a2+b2=c2，而〔ak〕2=a2k2，〔bk〕2=b2k2，〔ck〕2=c2k2，所以a2k2+b2k2=c2k2，那么ak，bk，ck，〔k为正整数〕也是一组勾股数．能力测评题1．a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC的形状．作业练习册课后反思备课评价优良合格不合格教研组长意见年月日年6周年级8班第4，5节课时教案新科题目17章小结教学目标知识目标:1．对直角三角形的特殊性质全面地进行总结．2．让学生回忆本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程；体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．3．了解勾股定理的历史．能力目标:1．体会在结论获得和验证过程中的数形结合的思想方法．2．在回忆与思考的过程中，提高学生解决问题，反思问题的能力，鼓励学生具有创新精神．感情、态度与价值观目标:1．在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．2．通过对勾股定理历史的了解，培养学生的爱国主义精神，体验科学给人类带来的力量．重点1．回忆并思考勾股定理及其逆定理获得和验证的过程；总结直角三角形边、角之间分别存在的关系．2．体会勾股定理及其逆定理在生活中的广泛应用．难点1．勾股定理及其逆定理的广泛应用．2．建立本章的知识框架图．教具多媒体教学方式实验课演示课电教课多媒体课√提前测评及导入新课一、引入新课勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验．勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的珍贵的财富，这节课，我们将通过回忆与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．问题1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．问题3：请你举生活中的一个实例，并运用勾股定理解决它．教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计〔教学内容，方法，根底知识归纳能力测评〕教学过程设计二、回忆与思考问题1：直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？师：在上一学期我们已对直角三角形有所涉及，而这一章我们又重点研究了直角三角形的性质．现在我们来答复以下问题1，从直角三角形的边、角的特殊性角度全面地进行总结．生：从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余．生：我认为直角三角形作为一个特殊的三角形，如果又有一个锐角是30°，那么30°的角所对的直角边是斜边的一半．师：很好．我们的学习就应该是一个不断总结、概括、创新的过程．随着以后的学习，你会发现，直角三角形还有它更吸引人的地方．下面我们来看第2个问题．问题2：举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．生：判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．例如：①在△ABC中，∠B=75°，∠C=15°，根据三角形的内角和定理，可得∠A=90°．根据定义可判断△ABC是直角三角形．②在△ABC中，∠A=∠B=∠C，由三角形的内角和定理可知∠A+2∠A+3∠A=180°，所以∠A=30°，∠B=2∠A=60°，∠C=3∠A=90°，△ABC是直角三角形．上面两个例子都是从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．生：我来说一下从边如何去判断一个三角形是直角三角形吧．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件〔即勾股定理的逆定理〕．例如：①△ABC的三条边分别为a=7，b=25，c=24，而a2+c2=72+242=625=252=b2，即a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．但这里要注意的是b所对的角∠B=90°．②△ABC三条边的比为a：b：c=5：12：13，那么可设a=5k，b=12k，c=13k，a2+b2=25k2+144k2=169k2，c2=〔13k〕2=169k2，所以，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形．师：同学们对我们所学知识能很灵巧地运用．在谈到应用这些知识的同时，我们不妨重温一下勾股定理的获得和验证的，体会验证过程中的数形结合的思想和方法，对于我们将来学习和研究数学会大有益处．生：勾股定理获得是从一些特例猜想得到的．我们在方格纸上任意画出一个直角三角形，使它的每个顶点都在方格纸的交点上，然后以它的每个边为边长在外部长出三个正方形，我们通过讨论、计算、数格子的方法得到了三个正方形的面积，并且发现以斜边为边长的正方形的面积等于那两个以直角边为边长的正方形的面积和，我们设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，大正方形的面积是c2，两个小正方形的面积为a2、b2，由上面的关系，我们猜想，是不是所有的直角三角形都有a2+b2=c2这个结论呢？师：这位同学的思路很好．勾股定理又是如何验证的呢？师：在我们的数学史上，好多结论的发现都是这样一个过程，都是从几个或大量的特例中发现规律，大胆猜想出结论，然后以前面的理论作为根底，证明猜想，一个伟大的成果就诞生了．掌握这种研究数学的方法，大胆创新，刻苦钻研，就不一定你就是未来的商高，第二个赵爽．问题3：请你举生活中的一个实例，并运用勾股定理解决它．〔这个问题可让学生在小组内交流讨论，实