数学-专项34 利用相似解决四边形问题-几何综合（原版）

专题34利用相似解决四边形问题——几何综合（原卷版）专题诠释：几何综合题是中考必考题型。试题一般以全等或相似为中心,以四边形为重点,常常是三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.解题策略：解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决计算问题。另外还用结合数学思想和方法。第一部分专题典例剖析类型一利用相似解决平行四边形问题1．（2022•贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC=34，求四边形2．（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC（1）若AB＝8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．

3．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE=13AD，连结BE交AC于点（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为．类型二利用相似解决矩形问题4．（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．5．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．

6．（2022秋•苏州期末）如图，矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上向右运动，运动时间为t秒，连接DP交AC于点Q．（1）求证：△DCQ∽△PAQ；（2）若△ADQ是以AD为腰的等腰三角形，求运动时间t的值．类型三利用相似解决菱形问题7．（2022•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BEEC=14，则tan∠BCF8．（2022秋•海淀区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，经过点C的直线分别与AB，AD的延长线相交于点P，Q，QB，PD相交于点O．（Ⅰ）求证：BD2＝PB•DQ；（Ⅱ）求证：BD2＝OD•PD．

9．（2022秋•汝州市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝43时，直接写出EA的长．10．（2022秋•白塔区月考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．（1）求证：AF2＝EF•GF；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．类型一利用相似解决正方形问题11．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，四边形DEFC是边长为4的正方形，且D、E、F分别在边AC、AB、BC上．把三角形ADE绕点E逆时针旋转一定的角度．（1）当点D与点F重合时，点A的对应点G落在边BC上，此时四边形ACGE的面积为；（2）当点D的对应点D1落在线段BE上时，点A的对应点为点A1，在旋转过程中点A经过的路程为l1，点D经过的路程为l2，且l1：l2＝3：2，求线段AD1的长．

12．（2022秋•成华区期末）如图，点E是正方形ABCD的对角线CA延长线上一点，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转90°至BF，连接EF，EF交AD于点G．（1）求证：△ABE∽△AEG；（2）若正方形ABCD的边长为4，点G为AD的中点，求AE的长．13．（2022秋•洛阳期末）如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0°＜n＜90°）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M，若BQ：AQ＝4：1，求AM的值．14．（2022秋•邹平市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．

第二部分专题提优训练1．（2023•偃师市一模）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC（1）若AB＝12，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．2．（2022秋•济南期末）如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2，AE=2，S△AEF=①求AB的长；②求△EBC的面积．4．（2022秋•惠济区校级期末）如图1，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E为BD上的一个动点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE，连接AF．（1）若点E与点B重合（如图2），判断AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）若以A，F，B，E为顶点的四边形是平行四边形，BD＝3，请直接写出线段BE的长度．

5．（2022秋•路南区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒2个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC？8．（2022秋•运城期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，连接AE交BD于点G，交CD于点H．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）求证：DG2＝FG•BG；（3）若AB＝14，BC＝24，求线段GH的长度．9．（2021秋•三原县期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD．（1）求DE的长；（结果保留根号）（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF．①求证：△AGE∽△DGF；②求DF的长．（提示：过点E作EH⊥CD于点H．）

10．（2022•江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．11．（2021秋•宝塔区校级期末）如图，在菱形ABOC中，对角线AO，BC相交于点D，BE⊥AC于点E，A0与BE交于点H．（1）求证：△BAD∽△HBD；（2）延长OC交BE的延长线于点F．求证：HB2＝HE•HF．

12．（2022秋•未央区校级期末）已知有一块三角形材料∠ABC，其中BC＝120cm，高AD＝80cm，现需要在三角形ABC上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形