中考数学总复习《三角形》专题训练(附带答案)

第=page11页，共=sectionpages11页中考数学总复习《三角形》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、解答题：1.如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：AF=CE．2.如图，CD是五边形ABCDE的一边，若AM垂直平分CD，垂足为M，且______，______，则______．

给出下列信息：①AM平分∠BAE；②AB=AE；③BC=DE.请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．3.如图，B是AC的中点，点D、E在AC同侧，AE=BD，BE=CD．

(1)求证：△ABE≌△BCD；

(2)连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形．4.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．

(1)求证：∠A=∠C；

(2)求证：AB/​/CD．5.如图，A、D、B、F在一条直线上，DE/​/CB，BC=DE，AD=BF．

(1)求证：△ABC≌△FDE；

(2)连接AE、CF，求证四边形AEFC为平行四边形．6.如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．

求证：(1)△ABE≌△CDF；

(2)四边形AECF是平行四边形．7.已知：如图，点D为线段BC上一点，BD=AC，∠E=∠ABC，DE // AC.求证：DE=BC．

8.已知：如图，点D为线段BC上一点，BD=AC，∠E=∠ABC，DE/​/AC.求证：DE=BC．9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．

(1)尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D(请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法)；

(2)在(1)的条件下，若∠ABC=60°，AB=4，求⊙O与△ABC重叠部分的面积．10.如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，OB=OC．

求证：∠1=∠2．

小虎同学的证明过程如下：证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，

∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°．

∵∠DOB=∠EOC，

∴∠B=∠C.……第一步

又OA=OA，OB=OC，

∴△ABO≌△ACO.……第二步

∴∠1=∠2.……第三步(1)小虎同学的证明过程中，第______步出现错误；

(2)请写出正确的证明过程．11.如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G．

(1)求证：BE//DG，BE=DG；

(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若▱ABCD的周长为56，EF=6，求△ABC的面积．

12.在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．

(1)正方形______“等形点”(填“存在”或“不存在”)；

(2)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”.已知CD=42，OA=5，BC=12，连接AC，求AC的长；

(3)在四边形EFGH中，EH//FG.若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求OFOG的值．

13.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F．

(1)求证：△DAF≌△ECF；

(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．14.在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，AH是△ABC边BC上的高，且∠ACB=70°，∠ADC=80°，求：

(1)直接写出∠BAC=______．

(2)求∠BAH的度数．15.如图，点A在射线OX上，OA=a.如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0<n≤360)到OA′，那么点A′的位置可以用(a,n°)表示．

(1)按上述表示方法，若a=3，n=37，则点A′的位置可以表示为______；

(2)在(1)的条件下，已知点B的位置用(3,74°)表示，连接A′A、A′B.求证：A′A=A′B．

16.如图，在△ABC中，AB=2，∠ACB=60°，DC⊥BC，DC=BC，则AD的长的最大值为

．

17.如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AB=DE，AC=DF，BE=CF．

(1)求证：△ABC≌△DEF；

(2)点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心．

①用直尺和圆规作出点Q(保留作图痕迹，不要求写作法)；

②连接PQ，则PQ与BE的关系是______．18.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE.过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．

(1)∠EDC的度数为______°；

(2)连接PG，求△APG的面积的最大值；

(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；

(4)求CHCE的最大值．19.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，且BE⊥DC．

(1)求证：四边形DBCE为菱形；

(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．

20.(1)如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE/​/AC，交BC于点E．

①若DE=1，BD=32，求BC的长；

②试探究ABAD−BEDE是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

(2)如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE/​/AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3.答案和解析1.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB/​/CD，

∴∠BAE=∠DCF．

又BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠AEB=∠CFD=90°．

在△ABE与△CDF中，

∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，

∴AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

即AF=CE【解析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，可得AE=CF，即可解决问题．

本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．2.【答案】②，③，①

证明：根据题意补全图形如图所示：连接AC、AD，

∵AM垂直平分CD，

∴CM=DM，AC=AD(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)，

在△ACM与△ADM中，

AM=AMAC=ADCM=DM，

∴△ACM≌△ADM(SSS)，

∴∠CAM=∠DAM，

在△ABC与△AED中，

AB=AEAC=ADBC=ED，

∴△ABC≌△AED(SSS)，

∴∠BAC=∠EAD，

又∵∠CAM=∠DAM，

∴∠BAC+∠CAM=∠EAD+∠DAM，

即∠BAM=∠EAM=12∠BAE，【解析】根据题意补全图形，连接AC、AD，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得出AC=AD，再求证三角形全等得出角相等，求得∠BAM=∠EAM，进而得出结论AM平分∠BAE．

本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键．3.【答案】证明：(1)∵B是AC的中点，

∴AB=BC，

在△ABE与△BCD中，

AE=BDBE=CDAB=BC,

∴△ABE≌△BCD(SSS)；

(2)∵△ABE≌△BCD，

∴∠ABE=∠BCD，

∴BE/​/CD，

∵BE=CD，

∴四边形【解析】(1)根据线段中点的定义得到AB=BC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

(2)根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠BCD，根据平行线的判定定理得到BE/​/CD，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．

本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．4.【答案】证明：(1)在△AOB和△COD中，

OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD,

∴△AOB≌△COD(SAS)，

∴∠A=∠C；

(2)由(1)得∠A=∠C，

【解析】此题主要考查学生对全等三角形的判定和性质及平行线的判定的理解及运用．

(1)由已知利用SAS判定△AOB≌△COD(SAS)，全等三角形的对应角相等即∠A=∠C，

(2)利用内错角相等两直线平行即可推出AB/​/CD．5.【答案】证明：(1)∵AD=BF，

∴AD+DB=DB+BF，

∴AB=FD，

∵DE/​/CB，

∴∠ABC=∠FDE，

∵BC=DE，

∴△ABC≌△FDE(SAS)，

(2)如图：

由(1)知△ABC≌△FDE，

∴∠CAB=∠EFD，AC=EF，

∴AC/​/EF，

∴四边形ABCD为平行四边形．

【解析】(1)由SAS可证△ABC≌△FDE；

(2)结合(1)，用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答．

本题考查全等三角形判定与性质和平行四边形判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和平行四边形判定定理．6.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD，AB/​/CD，

∴∠ABD=∠CDB，

在△ABE和△CDF中，

AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，

∴△ABE≌△CDF(SAS)；

(2)由(1)可知，△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，

∴∠AEF=∠CFE，

∴AE//CF，

∵AE=CF，AE/​/CF，

∴四边形AECF【解析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．

(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB/​/CD，根据平行线的性质得到∠ABD=∠CDB，利用SAS证明△ABE≌△CDF；

(2)根据全等三角形的性质得到AE=CF，∠AEB=∠CFD，推出∠AEF=∠CFE，根据平行线的判定定理证明AE/​/CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．7.【答案】证明：∵DE/​/AC，

∴∠EDB=∠C，

在△BDE和△ACB中，

∠E=∠ABC∠EDB=∠CBD=AC，

∴△BDE≌△ACB(AAS)，

∴DE=BC【解析】由平行线的性质得∠EDB=∠C，再证△BDE≌△ACB(AAS)，即可得出结论．

本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．8.【答案】证明：∵DE/​/AC，

∴∠EDB=∠C，

在△BDE和△ACB中，

∠E=∠ABC∠EDB=∠CBD=AC，

∴△BDE≌△ACB(AAS)，

∴DE=BC【解析】由平行线的性质得∠EDB=∠C，再证△BDE≌△ACB(AAS)，即可得出结论．

本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9.【答案】解：(1)如图，先作∠ABC的平分线交AC于点D，再过D点作AC的垂线交AB于O点，然后以O点为圆心，OB为半径作⊙O，

则⊙O为所作；

(2)⊙O交BC于E点，交AB于F点，连接OE，如图，

设⊙O的半径为r，则OB=r，

∵AC为⊙O的切线，

∴OD⊥AC，OD=r，

∵∠C=90°.∠ABC=60°，

∴∠A=30°，

∴OA=2r，

∵AB=4，

∴2r+r=4，

解得r=43，

∵OB=OE，∠OBE=60°，

∴△OBE为等边三角形，

∴∠BOE=60°，

∴∠EOF=120°，

∴⊙O与△ABC重叠部分的面积=S【解析】(1)如图，先作∠ABC的平分线交AC于点D，再作DO⊥AC交AB于O点，则以O点为圆心，OB为半径的圆满足条件；

(2)⊙O交BC于E点，交AB于F点，连接OE，如图，设⊙O的半径为r，则OB=r，根据切线的性质得到OD⊥AC，再利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OA=2r，接着求出r=43，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O与△ABC重叠部分的面积=S扇形EOF+10.【答案】(1)二；

(2)证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，

∴∠BDC=∠CEB=90°，

在△DOB和△EOC中，

∠BDO=∠CEO∠DOB=∠EOCOB=OC，

∴△DOB≌△EOC(AAS)，

∴OD=OE，

在Rt△ADO和Rt△AEO中，

OD=OEOA=OA，

∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，

【解析】(1)解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，

故答案为：二；

(1)根据全等三角形的判定定理判断；

(2)证明△DOB≌△EOC，根据全等三角形的性质得到OD=OE，再证明Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠1=∠2．

本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．11.【答案】(1)证明：在▱ABCD中，AD//BC，∠ABC=∠ADC，

∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，

∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，

∴∠ADG=∠CBE，

∵∠DGE=∠DAC+∠ADG，∠BEG=∠BCA+∠CBE，

∴∠DGE=∠BEG，

∴BE//DG；

在△ADG和△CBE中，

∠DAG=∠BCEAD=CB∠ADG=∠CBE,

∴△ADG≌△CBE(ASA)，

∴BE=DG；

(2)解：过E点作EH⊥BC于H，

∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，

∴EH=EF=6，

∵▱ABCD的周长为56，

∴AB+BC=28，

∴S△ABC=12AB⋅EF+【解析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

(1)根据平行四边形的性质可得∠DAC=∠BCA，AD=BC，由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠DGE=∠BEG，进而可证明BE//DG；利用ASA证明△ADG≌△CBE可得BE=DG；

(2)过E点作EH⊥BC于H，由角平分线的性质可求解EH=EF=6，根据平行四边形的性质可求解AB+BC=28，再利用三角形的面积公式计算可求解．12.【答案】解：(1)不存在；

(2)作AH⊥BO于H，

∵边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”，

∴△OAB≌△OCD，

∴AB=CD=42，OA=OC=5，

∵BC=12，

∴BO=7，

设OH=x，则BH=7−x，

由勾股定理得，(42)2−(7−x)2=52−x2，解得，x=3，

∴OH=3，

∴AH=4，

∴CH=8，

在Rt△CHA中，AC=AH2+CH2=42+82=45；

(3)如图，∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，

∴△OEF≌△OGH，

【解析】本题是新定义题，主要考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识，理解新定义，并能熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

(1)根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD，则∠OAB=∠C=90°，而O是边BC上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”；

(2)作AH⊥BO于H，由△OAB≌△OCD，得AB=CD=42，OA=OC=5，设OH=x，则BH=7−x，由勾股定理得，(42)2−(7−x)2=52−x2，求出x的值，再利用勾股定理求出AC的长即可；

(3)13.【答案】解：(1)证明：已知矩形ABCD沿对角线AC折叠，

则AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，

在△DAF和△ECF中，

∠DFA=∠EFC∠D=∠EDA=EC，

∴△DAF≌△ECF(AAS)；

(2)∵△DAF≌△ECF，

∴∠DAF=∠ECF=40°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，

∴∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50°，

∵∠EAC=∠CAB，

∴∠CAB=25°【解析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

(1)根据AAS证明三角形全等即可；

(2)利用全等三角形的性质求解即可．14.【答案】解：(1)65°；

(2)由(1)知，∠BAC=65°，

∵AH⊥BC，

∴∠AHC=90°，

∴∠HAC=90°−∠ACB=90°−70°=20°，

∴∠BAH=∠BAC−∠HAC=65°−20°=45°．

【解析】解：(1)∵CD平分∠ACB，∠ACB=70°，

∴∠ACD=12∠ACB=35°，

∵∠ADC=80°，

∴∠BAC=180°−∠ACD−∠ADC=180°−35°−80°=65°，

故答案为：65°；

(2)见答案．

(1)根据角平分线的性质可得∠ACD=35°，再根据三角形的内角和是180°即可求解；

(2)由直角三角形的两锐角互余即可求解∠HAC，根据∠BAH=∠BAC−∠HAC15.【答案】解：(1)(3,37°)；

(2)证明：如图：

∵A′(3,37°)，B(3,74°)，

∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA=OB=3，

∴∠A′OB=∠AOB−∠AOA′=74°−37°=37°=∠AOA′，

在△AOA′和△BOA′中，

OA=OB∠AOA′=∠BOA′OA′=OA′

∴△AOA′≌△BOA′(SAS)，

∴A′A=A′B．【解析】【分析】

本题考查全等三角形的判定与性质，新定义题目，旋转的性质，理解题意，理解新定义是解题的关键．

(1)根据点的位置定义，即可得出答案；

(2)画出图形，证明△AOA′≌△BOA′(SAS)，即可由全等三角形的性质，得出结论．

【解答】

(1)根据题意可得：

若a=3，n=37，则点A′的位置可以表示为(3,37°)；

故答案为：(3,37°)；

16.【答案】6【解析】【分析】

此题主要考查等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，和非负数的性质，作DG⊥AC交AC的延长线于G，构造含30°角的直角三角形，设DC=BC=x，AC=y(x>0,y>0)则DG=12x，CG=32x，根据勾股定理表示出AD2，再利用x−y2⩾0得到xy⩽x2+y22，代入，根据当x=y时，AD2有最大值求解

【解答】

解：如图，作DG⊥AC交AC的延长线于G，则∠G=90°

∵DC⊥BC，

∴∠BCD=90°

∵∠ACB=60°

∴∠DCG=30°

设DC=BC=x，AC=y(x>0,y>0)，则DG=12x，CG=32x

在Rt△ADG中，

AD2=AG17.【答案】(1)证明：∵BE=CF，

∴BE+EC=CF+EC，

∴BC=EF，

在△ABC和△DEF中，

AB=DEBC=EFAC=DF，

∴△ABC≌△DEF(SSS)；

(2)解：①如图，点Q即为所求；

②PQ//BE，PQ=BE【解析】(2)②PQ与BE的关系是：PQ//BE，PQ=BE，理由如下：

∵△ABC≌△DEF，

∴∠ABC=∠DEF，

∵点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心，

∴BP平分∠ABC，EQ平分∠DEF，

∴∠PBE=12∠ABC，∠QEF=12∠DEF，

∴∠PBE=∠QEF，

∴PB//QE，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠A=∠D，

在△ABG和△DEH中，

∠ABG=∠DEHAB=DE∠A=∠D,

∴△ABG≌△DEH(ASA)，

∴BG=EH，

∵点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心，

∴BP=EQ，

∴四边形PQEB是平行四边形，

∴PQ//BE，PQ=BE．

故答案为：PQ//BE，PQ=BE．

(1)利用SSS即可证明△ABC≌△DEF；

(2)①根据三角形的内心定义和角平分线的画法即可解决问题；

18.【答案】解：(1)45;

(2)如图，连接PG，

∵∠BAC=90°，AB=AC=12，

∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=122，

设AP=x，则BP=12−x，

∵DE=12BP，

∴DE=6− x2，

∵GF⊥BC，∠EDC=45°，

∴∠EDC=∠DEF=45°，

∴DF=EF=22DE=32−24x，

∵点D是BC的中点，

∴BD=CD=62，

∴CF=CD−DF=32+24x，

∵GF⊥BC，∠ACB=45°，

∴∠ACB=∠CGF=45°，

∴GF=FC，

∴GC=2FC=6+ x2，

∴AG=AC−CG=6−x2，

∴S△APG=12·AP·AG=12x·(6−x2)=−14(x−6)2+9，

∴当x=6时，△APG的面积的最大值为9；

(3)PE⊥DG，DG=PE，理由如下：

在△CEF和△GDF中，

EF=DF∠CFE=∠GFD=90°CF=GF,

∴△CEF≌△GDF(SAS)，

∴CE=GD，∠DGF=∠ECF，

∵∠DGF+∠GDF=90°，

∴∠GDF+∠ECF=90°，

∴∠DHC=90°，

∴DG⊥PE，

∵点E是PC的中点，

∴PE=EC，

∴DG=PE；

(4)如图，以DG为斜边，构造等腰直角△DOG，作OJ⊥DG于J．【解析】【分析】

本题主要考查了等腰直角三角形，圆的构造，三角形的中位线定理，全等三角形的性质及判定方法，

(1)由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由三角形中位线定理可得DE/​/AB，可求解；

(2)设AP=x，由等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理可求AG的长，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解；

(3)由“SAS”可证△CEF≌△GDF，可得CE=DG，∠DGF=∠ECF，可求解；

(4)以DG为斜边，构造等腰直角△DOG，可得点C、D、G均在圆上，然后利用全等三角形的性质得出CE=DG，利用“垂线段最短”得出CH≤CO+OJ，然后分别求出各线段长度，最终得到CHCE的最大值．

【解答】

解：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC=12，

∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=122，

∵D、E分别为BC、PC的中点，

∴DE/​/AB，DE=12BP，

19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AD=BC，

∵DE=AD，

∴DE=BC，

∵E在AD的延长线上，

∴DE/​/BC，

∴四边形DBCE是平行四