3.4 圆周角和圆心角的关系 北师大版数学九年级下册导学课件

4圆周角和圆心角的关系第三章圆逐点学练课堂小结作业提升学习目标本节要点1学习流程2圆周角圆周角定理的推论圆内接四边形知识点感悟新知1圆周角1.圆周角的定义顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角.特征圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.感悟新知特别提醒圆心角与圆周角的区别与联系：名称圆心角圆周角区别顶点在圆心顶点在圆上在同圆中，一条弧所对的圆心角唯一在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个联系两边都与圆相交感悟新知2.圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.如图3-4-1，∠ACB=∠AOB.特别警示：定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条弧联系在一起的，故不能把同一条弧这个前提省略.感悟新知如图3-4-2，AB是⊙O

的直径，弦BC=BD，若∠BOD=50°，求∠A

的度数.例1解题秘方：连接OC，将求BC所对的圆周角的度数转化为求BC所对的圆心角的度数来解.︵︵感悟新知解：连接OC，如图3-4-2.∵BC=BD，∴∠BOC=∠BOD=50°.∴∠A=∠BOC=×50°=25°.感悟新知1-1.［中考·滨州］如图，在⊙O

中，弦AB，CD

相交于点P.若∠A=48°，∠APD=80°，则∠B

的大小为()A.32°B.45°C.52°D.62°A知识点圆周角定理的推论感悟新知21.推论1同弧或等弧所对的圆周角相等.特别提醒“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.感悟新知2.推论2(1)直径所对的圆周角是直角；(2)90°的圆周角所对的弦是直径.3.“五量关系”定理(拓展归纳)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对(或所含)的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.感悟新知如图3-4-3，A，P，B，C

是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．求证：△ABC

是等边三角形.例2解题秘方：紧扣“同弧所对的圆周角相等”解决.感悟新知证明：∵

A，P，B，C

是圆上的四个点，∴∠

ABC=∠APC，∠CPB=∠BAC.又∵∠

APC=∠CPB=60°，∴∠

ABC=∠BAC=60°.∴△ABC

是等边三角形.感悟新知2-1.如图，以△ABC的一边AB

为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且DE=BE，试判断△ABC

的形状，并说明理由.︵︵感悟新知解：△ABC为等腰三角形．理由如下：如图，连接AE.∵DE＝BE，∴∠CAE＝∠BAE.∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝∠AEC＝90°.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ACE(ASA)．∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．︵︵感悟新知如图3-4-4，AB

是⊙O

的直径，BD

是⊙O

的弦，延长BD到点C，使AC=AB.求证：BD=CD.解题秘方：紧扣“直径所对的圆周角是直角”，结合等腰三角形“三线合一”的性质求解.例3感悟新知证明：如图3-4-4，连接AD.∵AB是⊙O

的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.又∵AC=AB，∴BD=CD.感悟新知3-1.如图，AB

是⊙O的直径，∠C=25°，求∠BAD

的度数.感悟新知解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵∠C＝25°，∴∠B＝∠C＝25°.∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.感悟新知如图3-4-5，已知经过原点的⊙P

与x

轴、y轴分别交于A，B

两点，点C是弧AB

上一点，则∠

ACB的度数是()A.80°B.90°C.100°D.无法确定例4B感悟新知解题秘方：利用“直角所对的弦是直径”，结合“直径所对的圆周角是直角”求解.解：连接AB，如图3-4-5.∵∠AOB=90°，∴AB

是⊙

P的直径.∴∠ACB=90°.感悟新知4-1.如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损的圆玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是________

.5cm知识点圆内接四边形感悟新知31.圆内接四边形四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.特别解读每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.感悟新知2.圆周角定理的推论3圆内接四边形的对角互补.感悟新知[中考·常德]如图3-4-6，四边形ABCD

为⊙O

的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD

的度数为()A.50°B.80°C.100°D.130°D例5感悟新知解题秘方：将所求角的度数转化为求圆内接四边形对角的度数.解：∵∠

BAD与∠

BOD是同弧所对的圆周角和圆心角，∴∠BAD=∠BOD=×100°=50°.又∵四边形ABCD

为⊙

O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°.∴∠BCD=180°－∠BAD=180°－50°=130°.感悟新知5-1.［中考·镇江］如图，四边形ABCD

是半圆的内接四边形，