2020-2021学年新人教A版（2019）高一数学暑假作业综合二十二（含解析）

综合二十二-【新教材】人教A版(2019)

高一数学暑假作业(含解析)

一、单选题

1.若集合4=(x||x-2|<l},B=(x\(x-l)(x-4)<0},则下列结论正确的是()

A.ACyB=0B.AU8=RC.AQBD.BQA

1021(3—x)m%<1

5''的值域为凡则m的取值范围为()

(x2—6%4->1

Q

A.(0网B.(0,邕

C.[j,8]D.(-0),-1]u(0)|]

3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,(a+c)(sinX-sinC')+bsinB=

asinB,b+2a=4,点力在边AB上，且力。=2CB,则线段CD长度的最小值为()

A.逗B.2C.3D.2

33

4,设向量五=(0,—1),K=(-i,i),则下列结论中正确的是()

A.a//bB.\a-b\=\b\C.(a+b)1bD.(a-b)1b

5,若复数z=-019+萼，则2的虚部为()

3—41

A.11B.|1C.1D.

6.函数y=+2a»2工一i(工€[-：,?)的值域为()

A.[―V2,1]B.[―1,V2]C.[—V2,V2]D.[—1,1]

7.某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排

队到购到车票所用的时间t(以下简称购票用时，单位：min).下面是这次抽样的频

率分布表和频率分布直方图，则旅客购票用时的平均数可能落在()

分组频数频率

一组0<t<500

二组5<t<1010

三组10<t<15100.10

四组15<t<20

〃组20<t<25300.30

合计1001.00

频率，

组距

0.1

0.06..............................——

°-02rrTn_____

510152025时间/min

A.第二组B.第三组C.第四组D.第五组

8.如图，正方体48。。一4/16。1的棱长为1,E,F,G分别为棱BC,CCr,的

中点.给出下列命题:

①叫1AF

②&G〃平面AEF

③平面AE/截正方体所得的截面面积为,

④点C、G到平面4EF的距离相等

其中正确命题的代号是（）

A.①②B.①③C.②③D.③④

二、多选题

9.以下函数在区间（0彳）上为单调增函数的有（）

A.y=sinx+cosxB.y=sinx-cosx

nsinx

Qy=sinxcosxD.y=-----

JJcosx

10.如图，在矩形A3CO中，己知48=24。=2,E为A5的中点，将△40E沿QE翻

折到的位置，4]£平面43。。，M为41c的中点，则在翻折过程中，下列结

第2页，共26页

论正确的是()

4

A.恒有BMH平面A1DE

B.B与M两点间距离恒为定值

C.三棱锥A.-DEM的体积的最大值为立

12

D.存在某个位置，使得平面A平面4］。

11.下列命题正确的()

A.若复数z=(1-i)(2-i)>则|z|=V10

B.若Z［=2-1,z2=1-31,则复数Z］-Z2的虚部是2i

C.若|z-l|=2,则|z-l-3i|的最小值为1

D.已知左eR,若关于x的方程/+(卜+2»汝+2+配=0有实数根，则实根必为

x—V2-

12.下列说法中错误的为()

A.已知w=(i,2),6=(1,1),且m与云+入日的夹角为锐角，则实数人的取值范围

是(一|,+8)

B.向量市=(2,-3),m=《,-》不能作为平面内所有向量的一组基底

C.若W〃W贝唬在U方向上的投影为叵|

D.非零向量时6满足同=|b|=|a-b|,则云与U的夹角为60。

三、填空题

13.已知正实数“，〃满足m+2〃+/+%=：,则m+2n的最小值是________.

zmn2

14.已知偶函数y=f(x)在区间［一1,0］上单调递增，且满足f(l-为+/(1+*)=0,给

出下列判断：①f(一3)=0；②f(x)在［1,2］上是增函数；③f(x)的图象关与直线x=

1对称；④函数/(x)在％=2处取得最小值；⑤函数y=/(x)没有最大值，其中判

断正确的序号是.

15.已知xe(0,)如也+。=一3,则2siu("1)+siu21=一

'414-CU6X

16.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形,S。_L底面ABC。,

则下列结论：

①4clsB；

②4B〃平面SCD；

③4B与SC所成的角等于0c与SA所成的角；

④二面角B-SD-C的大小为45。.

其中，正确结论的序号是.

四、解答题

17.设函数/（%）=2cos（x+；）cosx+2sin（x+芋）cosx+1.

(1)设方程f(x)-1=0在(0,兀)内有两个零点Xl，不，求与+叼的值;

(2)若把函数y=f(x)的图象向左平移今个单位，再向下平移2个单位，得函数g(x)

图象，g(x)在［-盟］上的最值.

18.如图，设A4BC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A。为BC边上的中线，已知c=1

且2csin4cosB=asinA-bsinB+-bsinC,cos/.BAD=

4

(1)求6边的长度；

(2)求△ABC的面积;

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19.某空调商家，对一次性购买两台空调的客户推出两种质保期两年内的保维修方案:

方案一：交纳质保金300元，在质保的两年内两条空调共可免费维修2次，超过2

次每次收取维修费200元.

方案二：交纳质保金400元，在质保的两年内两台空调共可免费维修3次，超过3

次每次收取维修费200元.

小李准备一次性购买两台这种空调，现需决策在购买时应购买哪种质保方案，为此

搜集并整理了100台这种空调质保期内两年内维修的次数，统计得下表：

维修次数0123

空调台数20303020

用以上100台空调维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率.

(1)求购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次的概率;

(2)请问小李选择哪种质保方案更合算.

20.已知幕函数/'(x)在(一8,0)上单调递减，且/'(/■(返))=8.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)判断函数/(X)的奇偶性，并说明理由;

(3)若函数g(x)=-ax(aeR)在口,2］上的最小值为一；，求实数a的值.

21.如图，三棱柱4/iCi-ABC中，BBi1平面ABC,4B1BC,AB=2,BC=l,BBr=3,

。是CCi的中点，E是AB的中点.

(I)证明：DE〃平面C1B4；

(H)F是线段CQ上一点，且直线AF与平面4BBi公所成角的正弦值为/求二面角

F-BAi-4的余弦值.

22.国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思

想、道德理念等，可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优

秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，在继承中发展，在发展中继承.仇章

算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两型

堵.斜解遭堵，其一为阳马，一为鳖襦”.刘徽注解为：“此术腌者，背节也，或

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日半阳马，其形有似鳖肘，故以名云”.鳖膈，是我国古代数学对四个面均为直角

三角形的四面体的统称.在四面体P-4CB中，P4,平面AC8.

⑴如图1,若D、E、尸分别是PA.PB、PC三边的中点，”在EF上,且EH=2HF,

求证：DH〃平面A8C；

(2)如图2,若BC14C,垂足为C,且NPB4=30。，4B=遍，AC=42,求直线

PB与平面APC所成角的大小；

(3)如图2,若平面4PC1平面BPC,求证：四面体P—4CB为鳖席.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查不等式的解法以及集合的交集与并集的运算，集合与集合之间的关系的判定,

属于基础题.

先解不等式化简集合A，B,再根据集合的交集与并集运算法则以及集合与集合之间的

关系进行运算和判定即可.

【解答】

解：:a={刈％-2|<1},B={x|(x-1)(%-4)<0},

:.A=[x|l<x<3},B={x|l<x<4},

对于选项A,AQB={x\l<x<3}^0,选项A错误；

对于选项8，AuB={x[l<x<4}#R,选项B错误；

对于选项C,AQB,选项C;

对于选项:4UB,.♦.选项。错误.

故选C.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的值域，考查分类讨论思想、函数思想，属于中档题.

讨论m>0,zn<0和m=0时函数的单调区间，得到mW0时不成立，zn>0时需满足

/(3)=171-9<mlogi(3-1)=-m,解出即可.

2

【解答】

解：①若?n>0,

则当x<1时，/(%)=2。史(3-x)7n单调递增，

2

当x>1时，/(%)=x2—6%4-m=(%—3)2+m—9在(3,+8)上单调递增，在[1,3)上

单调递减，

若函数值域为R,则需〃3)=m-9Wm/ogJ3-l)=m,解得0cmW*

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②若m<0,

则当久<1时，f。)=/og式3-刀尸1单调递减,

当x21时，f(x)=/―6x+m=(x—3/+m—9在(3,+8)上单调递增，在［1,3)上

单调递减，

不满足函数值域为R,不符合题意，舍；

③若m=0,易知此时不满足题意；

综上：力的取值范围为(0,刍，

故选：B.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理、余弦定理及基本不等式的应用，涉及向量的模，加法与数量积的

运算，属于较难题.

由正弦定理与余弦定理可求得C,由于而=2而，二而=：出+|方，两边平方，结

合基本不等式可得而2》+2a产=I，从而求得线段CD长度的最小值.

【解答】

解：由(a+c)(sin/-sinC)+bsinB=as讥B及正弦定理，

得(a+c)(a-c)+b2=ab,即M+fe2-c2=afe,

由余弦定理得，cosC=:+丁=工,...CG(0,7r),7.

2ab2J

由于AD=2DBf*'•CD=qCA+1CB,

两边平方，WCD2=-b2+-a2+-abcosC

999

14212

=-bo2+-a204--ah=-(64-2a)02--ab

9999，79

>-(b+2a)2--(—)2,

当且仅当b=2a=2时取等号，即而之>A(Z)+2a)2=£

二线段CQ长度的最小值为2.

3

故选A.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量数量积运算性质，考查了推理能力

与计算能力，属于基础题.

A.利用向量共线定理即可判断出正误；

B.a-b=(i,-|),利用数量积运算性质即可得出|五一石I，\b\.

C.计算0+石).另是否为0,即可判断出正误；

D计算0-尤)7是否为0,即可判断出正误；

【解答】

解：4：0x1—(-1)x}=—[H0,因此云〃。不成立；

B.a-—&+=1Q—b»=11

•.\a-b\=J(》2+(一|)2=票।石।=+(1)2=y-\a-b\\b\.

C.(a+b)-b=(-p-1)-=Z-J=0,"(a+b)lK>

Z).(a—£>)-b=(1,—|)•(—1,1)=-|—10,.­.(a—b)1可不成立.

故选：C.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

利用虚数单位i的性质及复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得3得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

【解答】

=,2019+邑巴1=,504x4+3+1

3-413-4(

+(3-4l)(3+4t)

-3,1.

Z=-+-I

・••复数W的虚部为"

故选:B.

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6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查函数的值域及三角恒等变换，属于中档题.

由三角恒等变换化简可得y=V2sin（2x+：）,结合x的取值范围即可求得函数的值域.

【解答】

2sinx

解=如，:_|_2cos2%—1=—？攵号一+COS2x

）1+tan2x1[SJMx

1+cos2x

2sinxcosx

=---己-----'---Fcos2x=sin2x4-cos2x

cos2x+sinzx

=V2sin（2x+：）.

又xe[—则（2x+》e[一%尊,

所以sin（2x+36[―^,1],

所以所求函数的值域为[-1,夜].

故选B.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平均数、频率的求法及应用，考查频率分布表和频率分布直方图等基础知识,

考查运算求解能力，是基础题.

由频率分布表和频率分布直方图得第四组的频率为0.5,从而求得旅客购票用时的平均

数，由此得到旅客购票用时的平均数落在第四小组.

【解答】

解：由频率分布表和频率分布直方图得第四组的频率为：

1-0.1-0.1-0.3=0.5,

由频率分布表和频率分布直方图得旅客购票用时的平均数为：

7.5x0.10+12.5x0.10+17.5x0.50

+22.5X0.3=17.5,

•••旅客购票用时的平均数落在第四小组.

故选：C.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系与判定，考查逻辑推理能力和空间想象能

力，属于中档题.

①④易于判断，②可以作平面，使平面4MG〃平面AE凡由面面平行的性质定理即

可，③分析出：截面是梯形至关重要.

【解答】

解：对于①，■.-D1D//CC1,显然AF与CCi不垂直，故①错误；

对于②，取8停［的中点M,连接GM,4M,

则E尸〃GM,

GMu平面4MG,EFC平面&MG,

故EF〃平面&MG,

同理可得4E〃平面&MG,

又ZEnEF=E.AE.EFu平面AEF,

••・平面&MG〃平面AEF,&Gu平面&MG,

•••直线41G与平面AEF平行，故②正确；

对于③，•••平面AEF截正方体所得的截面为4EF%,

截面面积为*鱼+条J1+：_（V）2=乎X矗.故③正确；

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对于④，因为E为BC中点，所以B,C到平面4M的距离相等，

而8,G到平面AEF的距离不相等，

所以点C与点G到平面AEF的距离不相等，故④错误.

故正确命题的代号是@（3）.

故选C.

9.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象与性质，属中档题.

对于A8选项，由两角和与差的正弦函数公式将函数化为y=4sin（3x+a）形式，再由

函数y=Asin（a）x+卬）的图象与性质求解即可判定；对于C选项，由二倍角公式可得y=

|sin2%,再由正弦函数的性质即可判定；对于。选项，由同角三角函数基本关系可得

y=tanx,再由正切函数的性质即可判定.

【解答】解：对于A选项，y=sinx+cosx=V2sin（x+^）,

当xe（。,卵寸一+浮&学，

所以，函数y=sinx+cosx在区间（0（）上不单调；

对于8选项，y=sin%—cosx=V2sin（%一9，

当xe（o卷）时，

所以，函数y=sinx-cosx在区间（0《）上单调递增；

对于C选项，y=sinxcosx=^sin2x,

当x6时，2xe（0,兀），

所以，函数y=sinxcos%在区间（o1）上不单调;

对于。选项，当其6（0,1）时，y—=tanx,

所以，函数、=鬻在区间（05）上单调递增.

故选：BD.

10.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题主要考查了线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和性质，以及线面垂直和面

面垂直的性质，涉及余弦定理，同时考查了空间中的距离，三棱锥的体积，属于较难题.

根据空间中线面，面面间的位置关系，结合选项依次分析求解即可.

【解答】

解：对于A,取C£＞的中点F,连接MF,BF,

易知FB//ED,

•：MFC平面&DE,ArDu平面&DE,

•••MF〃平面4DE,

同理可得FB〃平面&OE,

又MFCFB=F,MF,FBu平面MBF,

•••平面MBF〃平面4DE,

又BMu平面MBF,

二恒有BM〃平面力1DE,故A正确；

对于B,在矩形ABCO中，AB=2AD=2,

E为AB的中点，所以AE=AO=1,DE=y[2,

则MF〃人D,且MF=g&D=：,

BF//DE,BF=DE=y[2,

"iDE=Z.ADE=乙MFB=45°,

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在三角形MBF中，由余弦定理得MB=y/BF2+MF2-2BF-A/FcosZA/FB=1，

故B正确：

对于C,因为BM〃平面&DE,

所以M到平面40E的距离等于B到平面&DE的距离，

BE=1为定值，SA4ME=：为定值，

当平面4DE1平面ABCZ)时，

8到平面4DE的距离最大，三棱锥&一DEM的体积取最大值，

此时,以「DEM=%-0EB=[WX9故C正确；

对于。，取CD的中点F,连接EEA^F,

假设存在某个位置，使得平面&OE_L平面&CD,

平面AiDEn平面&CD=&D,ArEl.ArD,&Eu平面&DE,

•••AXE1平面4CD,

&Cu平面&C0,ArE1A^,

ArE=1,CE=V2.ArC=1,

而&D=1,CD=2,此时&与尸重合，不符合题意，故假设错误，故。错误.

故选ABC.

11.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的模长，复数的概念，复数的四则运算，属于基础题.

由复数的基本概念和四则运算，逐个判断即可.

【解答】

解：选项A若复数z=(l-i)(2-i)=l-3i,则|z|="U，故A正确；

选项B.若Z]=2-i,z2=1-31,则复数Zi-Z2=1+2i,虚部为2,故B错误；

选项C若|z-l|=2,则z在复平面内对应的点在圆心为(1,0),半径为2的圆上，则忆-

1-3i|表示圆上的动点z到定点(1,3)的距离，•••点(1,0)到(1,3)的距离为3,则|z-l-3i|

的最小值为3-2=1,故C正确；

选项D设x=和是方程的实数根，代入方程并整理得(就+kx0+2)+(2%0+k)i=0,

由复数相等的条件可得[产+，：°+;=°,解得卜。=四厂或卜o=[3,故。错误.

(2xo+k=0[k=-2V2Ifc=2V2

故选AC.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度

要求比较高，属于中档题.

由向量的数量积、向量的投影、基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.

【解答】

解：对于A,♦.•)=(1,2),1=(1,1)。与2+4〃的夹角为锐角,

五•(3+砌=(1,2)-(14-2,2+2)

=1+a+4+2a=3a+5>o,

且；l*0(/1=0时方与五+的夹角为0)，

所以4>一|且;1于0,故4错误;

对于B.••・向量瓦(=(2,-3)=4宅，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底,

故B正确;

对于C.若苍〃石，贝何在方方向上的投影向量的长度为巨投影是一个过程，故C错误;

对于D.因为|不=|己一行|,两边平方得，

\b\2=2a-b=同2,

则方•(a+fo)=|a|2+a-K=11a|2,

\a+b\=(a+b)=\a\2+2a-b+\b\2=V3|a|>

HQ+b)_；|a|2

故cos<a,a+b>=----,

|a||a+6|一|a|-V3|a|2

而向量的夹角范围为［0°,180。］,

得五与方+方的夹角为30。，故。项错误.

故错误的选项为ACD.

故选ACD.

13.【答案】|

【解析】

第16页，共26页

【分析】

本题考查基本不等式应用，考查利用基本不等式求最值，涉及一元二次不等式求解，难

度较大.

依题意，+；=1—(M+2九),>两边同时乘以a+2九得(高'+：)(加+2n)=

|(m+2n)—(m+2n)2,

根据基本不等式求解(看+；)(m+2n)的最小值，即可得/m+2n)-(m+2n)2>

解不等式即可.

【解答】

解：依题意，*+：=T-(m+2n),两边同时乘以m+2n得(素+；)(zn+2n)=

+2n)—(m+2n)2,

•••f—+-)(m+2n)=-+-+->-+2=-,

\2mnJK2mn22

当m=n时取等号，

所以g(zn+2n)—(m+2n)2>|<得|<m+2n<3,

所以“i+2u的最小值为I，

故答案为|.

14.【答案】①④

【解析】

【分析】

本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性和周期性，属于较难题.

根据偶函数的性质，得出函数的周期为4,结合函数单调性，模拟函数图象，判断结论

即可.

【解析】

解：由f(1-x)+/(I+x)=0得到f(1+x)=-/(I-x),

再结合函数/(x)为偶函数，.••/(I-X)=f(x-1),

.-./(x+l)=-/(x-l),将x换做久+1得：/(2+%)=-/(%),

/-(X+4)=-/(x+2)=f(x),所以函数的周期是4.

在/(I-％)+/(I+X)=0中，

令x=0时，得/(1)+，(1)=0,所以/(1)=0,

又,••周期为4,3)=/(l)=0,所以①正确；

•••y=/(x)(xeR)在区间上单调递增，

•・•/(x)是偶函数，.•.图像关于y轴对称，

又/(I-x)=-/(I+x),•••函数〃x)图象关于点(1,0)对称,

••・函数在区间［-1,0］上单调递增，在［0,2］上减，在［2,3］上增，

函数f(x)的大致图象可模拟如下：

故函数f(x)在x=2处可取得最小值，函数/(x)在x=0处可取得最大值,

y轴和x=2都是函数f(x)的对称轴，而％=1不是对称轴，

所以②错误，③错误，④正确，⑤错误；

故答案为①④.

15.【答案】延

5

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的化简求值，由两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本

关系可得cosx=更，sinx=越，再化简2包+啊2'代入数值可得答案

5*5X

【解答】

解：：xe(0(),tan(x+§=YZS=-3，

・•・tanx=2,EPsinx=2cosx,

•••sin2x+cos2x=(2cos%)2+cos2x=5cos2x=1,

角军得cosx=F，sinx=管，

.2sin(n-x)+sin2x_2sinx+sin2x_2x等+2x差_4而

1+cosx1+cosx1+咨5'

故答案为：述.

5

16•【答案】①②④

第18页，共26页

【解析】

【分析】

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题.

逐项判断每个结论的正误即可.

【解答】

解：四棱锥S—4BCD的底面为正方形，SDABCD,

在①中，「SD1底面ABC。，ACu底面4BC。，底面ABC£>为正方形,

•••BD1AC,SDLAC,又BDCSD=D,BD,SDBDS,

■■AC1平面BDS,SBu平面BDS,AC1SB,故①正确；

在②中，•••AB〃CD,ABtt平面SCO,CDu平面SC£>,

•••48〃平面SC£»,故②正确；

在③中，,:AB][CD,SD1平面48Q9,

•••4B与SC所成的角为NSCO<90°,

­••DC1AD,DCLSD,ADC\SD=D,AD,SOu平面4£>S,

DC1平面ADS,•••SAu平面ADS,

：.DCISA,即DC与SA所成的角为90。，

•••AB与SC所成的角小于DC与SA所成的角，故③错误；

在④中，「SD1平面ABC。，A8C。是正方形，

•••二面角B-SD—C的大小为45。，故④正确.

故答案为①②④.

17.【答案】解：（1）/（工）=2c（»（工十；+2sin（i+£）cosz+1

=-2sinj*（x）sx++1

=co«2工—sin2>r+2

伍（呻工+：）+2,

由于/（%）-1=0,

所以6<:<»（2工+；）+2=1,

4

即CO«(2JT+j)=一，

所以2x+-=2kn+把或2/+"2A'?r+')”(k€Z),

4444

所以x=kn+3或x=/CTT+(fc£Z),

由于%e(0,7r),

故X1=^,X2=p

所以+%2=牛.

(2)y=/(x)图象向左平移讼单位，

得y=v/2cos(2x+[+1)+2=-v/2sin(2x+-^)+2,

再向下平移2个单位得：9(工)=一vesin(2E+%),

当“€[一辅时,2x+.[3吊

所以sin(21+前€[—1,1],

所以g(x)在[兰币上的最大值为注，最小值为-加.

【解析】本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考

查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型.

(1)直接利用三角函数关系式的变换，再利用函数的图象求出结果.

(2)利用平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值域，最后

求出最值.

18.【答案】解：(1)由条件2csin4cosB=asinA—bsinB+QsinC,

可得：2cacosB=a2—b2+-be,

4

即2ca•"+‘=a2—b24--he,

2ac4

化简可得：4c=b,

因为c=1,所以b=4；

(2)因为。为中点，

所以同=*荏+前)，

设由，前)=0,则两=四詈以

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又而•而=荏./荏+旅)=节则

J21.4B-At)1+4eo«0

所以*=86/3.4。

|丽•加―，17+8cos0

化简可得：28cos2。+8cos8-11=0,

解得cos。=1或cos。=—"，

又1+4cos8>0,

所以cos。=I，则sin。=V1—cos20=叵,

22

所以△ABC的面积为工bcsinA=-xlx4x-=V3.

222

【解析】本题考查函数的最值、正弦定理、三角形面积公式、向量的数量积、平面向量

的基本定理及其应用，难度一般

(1)利用正余弦定理化简已知式子为2cacosB=a2—b2+；bc,化简可得b=4c,即可

求出结果；

/、、儿—>―>x.曰/c4n425•14-4co«04.

(2)设〈48,4。)=8,利用—z-=cos/B.4。=-==—==-='z=,求出cos。,

、/iiAB-，17+8CO«。

再求出sin。，利用三角形的面积公式，即可求出结果.

19.【答案】解：(1)设“购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数超过2次”为

事件4

购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为X,

则P(X=3)=2x-X—+2xixi=­,P(X=4)=—x—+2x—xi=—,

')10105550v71010105100

PCX=5)=2x—x-=—,P(X=6)=-xi=—,

'J10525V75525

P(4)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=总

答：买这样的两台空调在质保期的两年内推使次数提过2次的概率为芸.

(2)选择方案一，小李可能交纳的维修费为300+200xP(X>3)=300+200x盖=

426；

②选择方案二，小车可能交纳的维修费为400+200xP(X>4),

其中P(X>4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=盖一卷=言，

所以400+200XP(X>4)=474.

因为474>426,所以小李选择质保方案一更合算,①

方案一的维修费用期望为：200x苫+400x言+600x£+800x表=240元

维修总费用为：300+240=540元，

方案二的维修费用期望为：200x盖+400x£+600x表=114元

维修总费用为：114+400=514元，

故方案二更合算.

【解析】本题考查互斥事件的概率以及相互独立事件同时发生的概率，考查决策问题，

属于中档题.

(1)购买这样的两台空调在质保期的两年内维修次数为X,则X>2时X的可能值为

3,4,5,6,分别求出相应概率，然后利用互斥事件的概率的加法公式即可求解；

(2)分别计算两种方案下维修费用，然后比较可作出正确决策.

20.【答案】解：⑴设/(x)=—则人冠)=(尤尸=2f,烟)=(2沙=2J

/(/(V2))=8....2T=23,"T=3,即a=±3-

当a=3时，/(X)=/在(—8,0)上单调递增，不满足题意，舍去；当戊=一3时，/(x)=

x-3在(_8,o)上单调递减，满足题意.

二函数/(%)的解析式为/(%)=X-3.

(2)函数/(%)为奇函数.理由如下：由(1),知/(%)=久-3,其定义域是(—8,0)U(0,+8),

关于原点对称.

又J(T)=(一工厂3=一%一3=一/(%)，・•.函数/(%)=是奇函数.

(3)由(1),得g(%)=(X-3)""3—ax=x2—ax=(%—^)2—

，函数y=Q—|)2一£的图象的对称轴为直线％=今

①当IV汴2,即2VQV4时，•”(%)在上单调递减，在(会2］上单调递增，

g(%)min==一亍=一?解得Q=±1，不满足2<QV4;

②当B<1,即Q<2时，•・•g(x)在［1,2］上单调递增，・•.g(x)min=9(D=1-a=一［，

即Q=J,满足QW2,・•.a=：；

③当即a工4时，••・g(x)在［1,2］上单调递减，g(x)min=9(2)=4-2a=-%

即不满足aN4.

O

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综上所述，a/

【解析】本题考查了基函数的定义与应用问题，也考查了函数的奇偶性和单调性、最值

的应用问题，是中档题.

(1)用待定系数法求得事函数f(x)的解析式；

(2)根据奇偶性的定义判断函数f(x)是定义域上的奇函数；

(3)求出函数g(x)的解析式，讨论a的取值范围，利用g(x)在区间［1,2］上的最小值求出。

的值.

21.【答案】解：(I)连结AB1交于0,连结E0,0G，

0A=0B,AE=EB,

•••OE

又。6=2881，DC\"BB\,

OE=0G，

•••0C1c面C\AB,ED0面C\AB,

•••OE〃平面CiB4；

（口）建立空间直角坐标系B—xyz,如图

过尸作1，连结A”，

,/BBil.mABC.ABC面.ABC,

：AB±BC,BCC\BBi=B.BC.BB\C平面CBBiG，

ABlmCBBiCi；

vABu面BAAR,

面RAAiBiJ•面CBBCi,

•••FHu面CBB\C”FH1BB”

而BAARn而CBBG=BB],FH1而BAA、B\,

即NP.4II为直线AF与平面4BB14所成角，记为。,

贝JisinS=2=1，

AF3

••・AF=3,

在RiZUCF