2022届江西省九大名校高三3月联考数学（理）试题（解析版）

2022届江西省九大名校高三3月联考数学(理)试题

一、单选题

1.若复数Z满足z(l+i)=l—21,则|z尸()

A.迎B.372C.叵D.710

22

【答案】C

【分析】先求得z,然后求得|z|.

…,八1-2>(l-2i)(l-i)-l-3i13.

卜…•-TTf-(1+i)(1_i)-^―

-H=f-

故选：c.

2.抛物线丫=以2的焦点到准线的距离为2,则非零实数a的值为()

A.-B.4C.+4D.士一

44

【答案】D

【分析】依据抛物线几何性质列出关于实数”的方程，即可求得实数〃的值.

【详解】抛物线>可化为则其焦点到准线的距离为;

a2〃

则2=4，解之得a=士;

故选D.

3.已知集合4={5€叶€可，B={X|X2-7X+10<0},则AQB=()

A.{x|2<x<5}B.{x|2<x<5|

C.{2,5}D.{2,3}

【答案】D

【分析】化简集合A,B,然后利用交集的定义运算即得.

【详解】「A={1,2,3,6},B={x|2<x<5},

贝i"cB={2,3}.

故选：D.

4.某班有100名学生，男女人数不相等.随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数

学测试成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法正确的是()

男生成绩女生成绩

4209333

86888

A.该班男生成绩的平均数等于女生成绩的平均数.

B.这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数.

C.这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差.

D.这种抽样方法是分层抽样.

【答案】C

【分析】A.不能通过样本计算得到平均数准确值判断；B.利用中位数的定义判断；C.

由标准差公式计算判断；D.由分层抽样的定义判断.

【详解】该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，但不能通过样本计算得到平均

数准确值，所以A错；

这5名男生成绩的中位数是90,5名女生成绩的中位数93,所以B错；

992+86+88

5名男生成绩的平均数为：O-^-=90>5名女生成绩的平均数为

93+93+^+88+88=9b这5名男生成绩的方差为1于+4?+2?+4?）=8,女生的方

差为1（2~3+32、2）=6,男生方差大于女生方差，所以男生标准差大于女生标准差，

所以C对；

若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，所以分别抽取的人数不等，所以D错.

故选：C.

3x+y-6>0

5.设实数x,y满足卜一丁+120,则z=|2x+H的最小值为（）

x-2y-2<0

23

A.4B.0C.—D.2

4

【答案】A

【分析】画出可行域，依据线性规划即可求得z=|2x+y|的最小值.

【详解】画出可行域如下图：可行域中x>O,yNO,贝ijz=|2x+y|可化为z=2x+y

3x+y-6=0Jx=2

x-2y-2=0^'[y=0则N(2,0)

z=2x+y的最小值的最优解为N（2,0）,则z=|2x+y|的最小值为4.

故选：A.

6.在正项等比数列｛%｝中，［=1,前三项的和为7,若存在〃?，使得向1=46,

14

则一+一的最小值为（）

inn

A.2B.3c.ED.U

3234

【答案】B

【分析】根据等比数列的通项公式列方程求解公比4,再由向1=4q求出“+〃=6,

利用均值不等式求最值即可.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为q,

•••前三项的和为7,则4+刈+“3=7,

即d+q_6=0,解得q=2或q=_3(舍去),

又由=4%,得。闻""16a；,即7+修二？）得,”+〃=6,

m,141c4、/\1心〃4吟、3

所以—+—=，—+-（w+n）=-5+—+—>-,

mnb\tnnJ6\mnJ2

当且仅当〃=2m=4时，等号成立，且加，neN",

故选：B

7.已知/，川是两条不同的直线，*尸为两个不同的平面，若///£,〃/加，则“加，。”

是“aJ"6”的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据空间中的平行关系与垂直关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得出

答案.

【详解】解：因为///夕，1/Im,

当加_La,贝I/J_a,

又因为///〃，则在平面夕内存在一条直线。使得a,a,

再根据面面垂直的判定定理可得a故”可以推出“a，/7”，

当。，/?时，加与a平行相交都有可能，故不一定可以推出

所以“m±a”是"”的充分不必要条件.

故选:A.

8.已知等差数列｛%｝,5“是数列｛%｝的前〃项和，对任意的〃wN*,均有成立,

则包的最小值为（）

6

35

A.-B.2C.-D.4

22

【答案】c

【分析】由$64S,成立，得到4<0,公差d>0,分4=0和4<0,%20,两种情况

讨论，求得出的范围，即可求解.

【详解】由题意，等差数列｛5｝,对任意的均有S64s“成立，

即$6是等差数列｛«,,｝的前八项和中的最小值，必有“<0,公差d>0,

当&=0,此时$5=56，S5、56是等差数列｛q｝的前〃项和中的最小值,

一、r…，的+10J5d5

止匕时&=4+54=0,即q=-5d,则一=——77=—=-.

a।1/dza.乙

当生<0,«7>0,此时S6是等差数列｛q｝的前〃项和中的最小值，

止匕时。6=4+5〃<0,%=q+6dN0,GR-6<—<-5,

qi_q+10d

则则有手之弓,

4%+7d62

综合可得n所以上的最小值%

故选：C.

x,0<x<1

9.已知〃x)是定义在R上周期为4的奇函数，且当()VxW2时，f(x)=］.心

sin—,1<x<2

I2

则下列判断正确的是()

A./(2022)=-1

B.VxeR均有：/(x)=/(-2-x)

c.函数y=/(x)的最大值为］

D.函数y=〃x)的图象关于点(8,0)对称

【答案】D

【分析】求得了(2022)的值判断选项A；举反例否定选项B；求得函数y=/(x)的最大

值判断选项C；求得函数y=.f(力的图象的对称中心判断选项D.

【详解】选项A：/(%)是定义在R上周期为4的函数，则/(2022)=/(2)=。，故A

错误；

选项&取a；,则《2一外巾|卜班考,

则卜故B错误；

选项C：当()4x41时，0</(x)<l；当l<x«2时，04/(x)<l.

则〃x)在［0,2］上的值域为［05，

由/(%)是奇函数，可知“X)在卜2,0］上的值域为［-1,0］,

由“X)是定义在R上周期为4的函数，可知“X)的值域为［-覃］

则/(『I，故C错误;

选项D：/(x)=/(x+16)=-/(-%),则〃T)+〃X+16)=(),

•・J(x)的图像关于(8,0)成中心对称，故D正确.

故选：D.

10.为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：(1)逐份

检测：(2)混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，

则这4份核酸全为阴性，因而这&份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为

了明确这上份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这&份核酸再逐份检测，此时，这

k份核酸的检测次数总共为Z+1次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果

是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若％=1(),

运用概率统计的知识判断下面哪个P值能使得混合检测方式优于逐份检测方式.(参考

数据：lg0.794=-0.1)()

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.5

【答案】A

【分析】计算混合检测方式，样本需要检测的总次数丫的期望EW),又逐份检测方式,

样本需要检测的总次数X,知E(X)=10,利用E(y)<E(X)求解可得p的范围，即可

得出选项.

【详解】设混合检测方式，样本需要检测的总次数丫可能取值为1,11.

p(y=l)=(l-p)10,p(y=ii)=i-(i-p)'0,

故丫的分布列为：

Y111

P("1-(1-/?)'°

E(y)=lx(l-p)'(，+llx[l-(l-p)'0]=ll-10x(l-p)'<，

设逐份检测方式，样本需要检测的总次数X,则E(X)=10

要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需E(y)<E(x)

gpn-iox(i-p)'°<io,Bp(i-p)'°>p,即i—p>i(r°i

Xlg0.794a-0.1,

.•.l-p>10lg0-794=0.794,

:.p<\-0.794=0.206,.-.0<p<0.206.

故选：A.

22

11.已知双曲线C:，-斗=l(a>0力>0),其左右焦点分别为耳卜五,o),乙(近,0),

点P是双曲线右支上的一点，点/为aPG心的内心(内切圆的圆心)，PI=xPF\+yPF\,

若N"PF?=60。,y=3x,则△尸耳心的内切圆的半径为()

A46°46-⑨

A.-----2DR.---------

3

C.D.2+空

33

【答案】B

【分析】依据题给条件列出关于丹巴的内切圆半径的方程，即可求得片名的内切

圆半径.

【详解】由可=xM+y西结合点/是耳用的内切圆的圆心可知卜对卜卜中同，

又有y=3x,所以附卜3|尸司,

又|崩卜3|喝卜2a,可得阀卜3〃，|西|=a,

再根据N±Pg=60。，由余弦定理可得（2⑺丫=（3a）2+/_2.3Gacos60,

解之得0=2,则S=［归耳归用sinZF,PF2=g（尸片+也+月人儿

即;x6x2x当=g（6+2+2币）也，解之得知=.

故选：B.

12.已知实数”，［满足。=1呜3+1呜6,5“+12"=13〃，则下列判断正确的是（）

A.a>2>bB.b>2>a

C.b>a>2D.a>b>2

【答案】D

【分析】首先判断出〃涉的范围，再构造函数利用单调性去判断〃/的大小.

［详解】a=log23+logs6=log23+^log2（2x3）

414/T14317.-

=-log,3+->-log,2V2+-=-x-+-=->2,所以。>2；

33333233

由5"+12"=13"且。>2,所以5"+12">25+144=169,所以匕>2,

令.f（x）=5'+12'—13",x>2,令，=x-2>0,则x=f+2,

则”x)=5、+12'—13',x>2等价于g(r)=25x5'+144xl2'—169x13',r>0；

又g(f)=25>5'+144x12’-169x13’<169x12’—169x13'<0,

所以当x>2时，/(x)=5v+12r-13r<(),故5"+12"=13,<13",所以a>6>2.

故选：D.

二、填空题

13.若(x-gJ的展开式中二项式系数的和为512,则展开式中x项的系数为.

【答案】36

【分析】由二项展开式的二项式系数的和为2"，可得〃=9,进而利用二项展开式的通

项公式可得r=2,将/*=2代入通项公式即可得解.

【详解】因为二项式（X-的展开式中二项式系数的和为2"，故2"=512,解得"=9,

卜的展开式的通项为：&=7•产&wN/49）,

由9-4r=l,解得:/*=2,故展开式中含x的项为第三项.即£=（-l「C；・x=36x,所以

展开式中含x的项的系数36.

故答案为：36.

14.已知非零向量£,B满足同=2,5=（1,2）,向量B在向量£方向上的投影为2,则

忸.

【答案】A/5

【分析】先利用向量分在向量£方向上的投影为2计算出75,再平方求模长即可.

【详解】问=2,W=石，存5=|明COS（£,5）=2X2=4,则

悭一行卜J（2£_5）=$4苏一4£石+52=石.

故答案为：石.

15.已知函数/（x）.（e为自然对数的底数），过点（0力）作曲线“X）的切线有且只

有两条，则实数人=.

【答案】44

e-

【分析】设切点为得到切线方程为：=再由切线过点

（0力），得到人-今=匕券（-/），b=J由题意，转化为y=b与g（x）=1图象有两

eeee

个交点求解.

【详解】设切点为（々，£）,由〃x）=3■可得r（x）=e：?x=9,

所以在点（%,套］处的切线的斜率为左=尸（与）=詈，

所以切线为：J_A=-^（x-x0）,

e°e°

因为切线过点（0力），所以。-鼻=上券（-玉））,

即6=日，

设g(x)=］，/(力=言刍，

由8'(%)>0可得0<工<2,由g'(x)<0可得：不<0或工>2,

所以8(力=［在(->,0)和(2,+8)上单调递减，在(0,2)上单调增,

/42

g(0)=0,g(2)=r，当X趋近于+<»时，g(x)r=L趋近于0,

e-e

r2

若只能作两条切线，则y=6与g(x)=亍图象有两个交点，

在同一坐标系中作出y=6与g(x)=J■的图象，如图所示：

4

故答案为：—

e

16.已知三棱锥尸-ABC三条侧棱~4、PB、PC两两互相垂直，&PA=PB=PC=4,

M、N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M、N两点间距离的最小值为

【答案】述一4

3

【分析】将三棱锥P-A3C补成正方体APBO-AC与。，计算出内切球的半径以及点产

到平面A8C的距离，即可求得M、N两点间距离的最小值.

【详解】由已知可将该三棱锥补成正方体AP8D-,连接p。，如图所示.

设三棱锥P-ABC的内切球球心为。|,外接球球心为。2，内切球与平面45c的切点为

G,

易知。1、。2、G三点均在尸。上，

在正方体APBO-ACgR中，力。，平面AP8O,平面AP8O,，A8_LQA，

因为四边形AP8/）为正方形，则/W_LP£）,

•.♦O，nPO=P,.'AB，平面「。。，

•.•PRu平面，贝IJPCJAB,同理可证尸AC,

•.■ABr>AC=A,，PRJ■平面ABC,

设内切球的半径为，外接球的半径为R,则R=g"2+42+42=26.

r=

由等体积法可得)(S&ACP+S.BCP+ShABp+S^ABC)2S-ABP'PC,

8x422百

8x3+fx(4及『3

『

由等体积法可得gS^ABC•PG=gS.ABPC,得PG=孚,

M，N两点间距离的最小值为尸6-2/=竽竿-4

故答案为：国5-4.

3

三、解答题

17.在AA8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足J办sinA=acos8+a.

⑴求角8的值；

⑵若c=8,AABC的面积为20万，求8c边上中线AO的长.

【答案】（呜

（2）7

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合三角恒等变换即可得出答案；

（2）根据三角形的面积求得。，再利用余弦定理即可求出答案.

【详解】（1）解：由正弦定理得GsinBsinA=sinAcosB+sinA，Ae（0,?r）,

sinAwO

y/3sinB=cosB+l,则sin5,BG(O,7T),

由余弦定理A£>2=C2+(£)-2xlaccosB=64+25-40=49,

WAD2=49,:.AD=1,

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABC。为菱形，点E为棱PD的中点，O

为边AB的中点.

⑴求证：AE//平面POC；

TT

（2）若侧面E4B_L底面ABCD,且ZABC=NPAB=§,A8=2E4=4,求PD与平面POC

所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵¥

【分析】（1）依据线面平行判定定理去证明AE〃平面POC即可；

（2）建立空间直角坐标系，以向量法去求与平面POC所成角的正弦值即可.

【详解】（1）取线段PC的中点F,连OF,EF

在APCD中，E,F分别为尸£>,PC的中点.•.EF//CD且EF=QCD

又••・底面A8CO是菱形，且。为A3的中点

/.AO〃C£>且AO=-CO，AO〃E尸且AO=EF

2

，四边形为平行四边形二。尸〃AE

又•.・OFu平面尸OC,AE<x平面POC

AE〃平面POC

(2)在平面P84内过点。作Oz^AB,又侧面2钻，底面A8C£>,则Oz_L平面ABC。,

TT

由NA5C=§,OB=OA,可得OC_LAB

故分别以。8、OC、。所在直线为x,y,Z轴建立空间坐标系。-DZ,

则P卜1,0词,C(0,273,0),D(-4,2x/3,0),

则2=(1,0,-@,正=(1,2"-⑹，丽=(-3,26-⑹

设平面POC的一个法向量”=(x,y,z),

x=3

POn=0x-6z=0

则即<令x=3,则，y=0

PCn=0,x+V3z=0

z=>/3

即3=9,0,店)，设直线尸。与平面POC所成的角为，，则

sin0=Icos(n,=—=^^~==—

I'〃V12xV242

所以直线尸。与平面POC所成角的正弦值为正

2

19.2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重

举行.北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生

与女生的人数之比是2:1,按性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥

会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优秀学员”，累计获2次或2

次以上者可获2022冬奥会吉祥物"冰墩墩'’或“雪容融”一个.

(1)若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有

一位是女生的概率.

(2)设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为1,记同学甲获得“优

秀学员”的次数为X,试求X的分布列及其数学期望E(X),并以获得“优秀学员”的次数

期望为参考，试预测该同学甲能否获得冬奥会吉祥物？

【答案】(唠

Q

⑵分布列见解析，E(X)=§,能获得吉祥物

【分析】(1)依据古典概型即可求得选出的3人中至少有一位是女生的概率；

(2)依据二项分布即可得到X的分布列及其数学期望E(X),再与获得2022冬奥会吉

祥物的条件进行比较即可预测甲能否获得冬奥会吉祥物.

【详解】(1)由题可知，抽取的9名大学生中，6名男生，3名女生；

盘=更

则选出的3名学生中至少有一名女生的概率P=l-

C；21

(2)由题可知*~8(4,|p(x=o)=c：(；I/

所以X的分布列

X01234

18243216

P

818?81If8?

9Q

所以E(X)=〃0=4x§=]>2即能获得吉祥物.

20.如图，椭圆M：，+J=l(a>6>0)的两顶点A(-2,0),B(2,0),离心率e考,

过y轴上的点F(0#(M<4J*0)的直线/与椭圆交于C,。两点，并与x轴交于点P,

直线AC与直线20交于点Q.

⑴当仁26且8=4时，求直线/的方程;

（2）当点尸异于A,8两点时，设点P与点。横坐标分别为/，x0,是否存在常数义使

4•4=义成立，若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴夜x-y+2君=0或夜x+y-26=（）

（2）存在，A=4

【分析】（1）先求得椭圆用的方程，再以设而不求的方法即可求得直线/的方程；

（2）先以设而不求的方法得到/、%的解析式，再去计算巧•%是否为定值即可解决.

22

【详解】⑴椭圆的方程与+a=1（〃＞匕＞。），由题可得。=2；

由6=£=且，结合〃2=〃2+02,得。=4,

a2

椭圆的标准方程：^+―=1;

164

当直线/的斜率不存在时，8=8,与题意不符，

故设直线I的方程为y=依+2百，代入椭圆方程/+4/=16

整理得（公+4*+4瓜-4=0,设C（%,yJ,。色,％），

T辰_-4

-4+k

.-.|CZ）|=Jl+/,（西+工2）2-4%々=J1+/

F+4

解得k=土&.则直线/的方程为岳一丫+26=0或应》+丫-2百=0.

（2）当直线/的斜率不存在时，直线/与y轴重合，

由桶圆的对称性可知直线AC与直线8。平行，不符合题意；

•••由题意可设直线的方程：户冲+〃（加工0,〃工0）代入椭圆方程,

得（1+4/）y2+8/?w?y+4"2-16=0；设C（%,y）,D（x2,y2）,

-Smn4n2-16

y+%=:~，y•%=-----r；

1+4"广-1+4nr

•w・必=--(y+必)①

in

直线AC的方程为y=-%(x+2)②

Xj+2

则直线BD的方程为y=/有(x-2)③

x7-z

由②③得平二义=*9=如吐士二义

x+2%(为+2)%(利+〃+2)my\y2+y2(n+2)

由小梓入俎x—2（2-喷（〃+2）%+（2-〃）加（2-〃）

田①代人’侍x+2-胃+扰（〃+2发+（2-〃）y丁（2+〃）'

444

解得无=一，即迎=一；且知％=〃；:.4•XQ="-=4（吊数）

nnn

即点P与点。横坐标之积为定值4.故存在常数4=4

21.设函数〃%)=-mlnx+In2MzM。R)

⑴当m=-1时，讨论了（%）的单调性;

2

⑵若对于任意多,当€：,e,W|/（x,）-/（x2）|<e-2,求m的取值范围.

【答案】⑴"X）在（（H）上单调递减，在（1,m）上单调递增

(2)me[-2,2]

【分析】（1）求导，分析导函数正负，即得解;

（2）转化|/（X）T（三）|以2-2为〃为皿-f（x）1nhi4标-2,求导分

〃?=0,m>0,m<0讨论，研究函数单调性，求解最值，即得解

21nx

【详解】⑴当机=-1时，/(x)=x"'+lnx+ln2xr(x)=+

-H4)x

当xe(0,1)时，--H—<0,Inx<0,r(x)v0；

当xw(l,+oo)时，—■*—>0,Inx>0,

所以/（九）在（0,1）上单调递减，在（1,包）上单调递增.

\m-\m2\nxtn(.\21n工

(2)因为/'(x)=iwcm——+——=—m+——

XXXx7X

①当加=0时,/(x)=l+ln2x,所以广(工)=智

当x«0,l)时，r(x)<0,所以〃x)在(0,1)上单调递减;

当xe（l,y）时，r（x）>0,所以/（x）在（1,田）上单调递增;

②当相＞0时，x"在（o,y）单调递增，

当x«0,l）时，]＞0，X”＜1，*＜o,贝厅'（力＜0,

所以“X）在（0,1）上单调递减；

当时，（＞0,x'"＞l，学＞°，则以6＞0，

所以〃x）在（1,y）上单调递增；

③当机＜0时，/在（o,y）单调递减，

当XG（0,l）时，-＜0,x-＞l,-＜0,则r（x）＜0,所以/（X）在（0,1）上单调递减;

XX

当X«l,y）时，:＜0,/＜1,学＞°，贝厅'（力＞0,所以“X）在（1,田）上单调

递增，

综上，“X）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，

所以〃xL,=〃l）=l且“X）在上单调递减，在（1,日上单调递增，

/(e)-/(l)<e2-2

所以对VX-巧e%e,|/&）-/（%）归/-2的充要条件是＜

⑴4e?-2

w2

即1e-/n1＜e2-2°（），令g（f）=e'-f-e2+2,则g'（f）=e'-1,

e+/n＜e-2

当，＜0时，g'（r）＜o；当f＞0时，g'«）＞o,

所以g（f）在（-8,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增，

又g⑵=0,g（-2）=e-2+4-e2＜0,所以fe[—2,2]H寸，g⑺40,

当机4-2,2]时，g㈣40,g（-m）＜0,即（）式成立,

当相＞2时，由g（。的单调性得g（，〃）＞。（舍去），当机＜一2时，g（T"）＞0（舍去），

综上me[-2,2]

X=2cosa

22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为一r-（a为参数），以原点O

y=V2sina

为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕c