第5章 动态电路的复频域分析

第5章动态电路的复频域分析

5.1拉普拉斯变换5.2复频域电路模型5.3电路的复频域分析小结学习目标理解并掌握拉普拉斯变换的定义及基本性质、常用信号的拉普拉斯变换

理解并掌握拉普拉斯反变换的部分分式法。理解并掌握电路元件的电压电流关系及电路的复频域模型、电路定律的复频域形式。掌握线性电路的复频域分析方法。5.1.1拉普拉斯变换的定义一个定义在时间函数的拉普拉斯变换记为，其定义为(5.1)其中称为复频率，积分限0_和是固定的，所以积分的结果与无关，而只取决于参数，即(5.2)5.1拉普拉斯变换

F(s)即为函数f(t)的拉普拉斯变换，F(s)称为f(t)的象函数，称为F(s)的原函数。在电路中我们用U(s)的I(s)分别表示u(t)和i(t)的拉普拉斯变换。

如果F(s)已知，要求出它所对应的原函数f(t)，则由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它的定义为（5.3）应该认识到：u(t)和i(t)是时间的函数，即时域变量,时域是实际存在的变量。而它们的拉普拉斯变换U(s)和I(s)则是一种抽象的变量。我们之所以把直观的时域变量变为抽象的复频率变量，是为了便于分析和计算电路问题，待得出结果后再反变换为相应的时域变量。5.1.2

拉普拉斯变换的基本性质一、线性性质1若则拉普拉斯变换的一个重要性质是它的线性性质(直线性)。亦即拉普拉斯变换是时域与复频域间的线性变换。它表现为以下两个定理：2若则5.1.2

拉普拉斯变换的基本性质二、微分性质1若则拉普拉斯变换的第二个重要性质是函数的拉普拉斯变换与其导数的拉普拉斯变换之间存在着简单的关系。重复运算的微分定理，我们还可以得到下面关于函数的拉普拉斯变换及其高阶的拉普拉斯变换之间关系的推论。5.1.2

拉普拉斯变换的基本性质三、积分性质若则拉普拉斯变换的第三个重要性质是函数的拉普拉斯变换与其积分的拉普拉斯变换之间存在着简单的关系。由此可见，在时域中的积分运算相当于复频域中的除法运算。5.1.3常用信号的拉普拉斯变换例：正弦余弦信号的拉氏变换例：衰减余弦的拉氏变换5.1.4拉普拉斯反变换的部分分式法可以把任意一个有理函数分解成许多简单项之和，而这些简单项都可以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式展开，或称为分解定理。这是用拉氏变换法求解线性电路时，进行反变换的主要方法。

令用部分分式展开有理分式F(s)时，第一步是把有理分式化为真分式5.1.4拉普拉斯反变换的部分分式法上式中的A是一个常数，其对应的时间函数为。所以在下面的讨论中都假定F(s)为真分式。

为用部分分式展开有理分式F(s)，首先必须求出D(s)=0的根。下面就这些根的不同情况分别讨论F(s)的展开。1．设D(s)=0有n个单根的情况。设n个单根分别为。于是F(s)可以展开为

5.1.4拉普拉斯反变换的部分分式法式中等是待定系数。这些系数可以按下述方法确定，把上式两边都乘以，得令，则等式除第一项外都变为零，这样就求得各待定系数的公式为

5.1.4拉普拉斯反变换的部分分式法于是F(s)所对应的原函数f(t)进行反拉氏变换便可求得，即例5.1例5.2例5.3作业P1605.15.25.3

5.2.1电路元件的S域模型R.L.C元件的时域关系为：各式进行拉氏变换得：5.2复频域电路模型对电流解出得：5.2.2电路的复频域模型通过上述分析，已经获得了理想电路元件的复频域电路模型。这样，时域电路变换为复频域电路就比较容易了。其步骤如下：

1、计算各储能元件的初始条件，进而获得其复频域电路模型；2、用理想电路元件（不包括电源）的复频域电路模型代替该元件；3、用、代替相应的及；4、用、代替原电路中相应的及。例5.4

图5.1(a)所示的电路开关闭合前已处于稳态。试画出复频域电路模型。(a)(b)

图5.1例5.4的图解:

先求电感和电容的初始条件和在图5.1(a)中，开关动作前电路已处稳态，因而在t=0_时电感相当于短路，电容相当于开路。故

由此获得相应的复频域电路模型如图5.1(b)所示。作业P1605.55.3.1.基尔霍夫定律的复频域形式

KC.L对于任意的节点，在同一时刻流入该节点的电流代数和恒等于零即K.V.L沿任意闭合回路，各段电压的代数和恒等于零，即5.3电路的复频域分析

用拉氏变换分析电路的步骤如下：

A.将已知的电动势、恒定电流进行拉氏变换。

B.根据原电路图画出运算等效电路图。

C.用计算线性系统或电路稳定状态的任何方法解运算电路，求出待求量的象函数。

D.将求得的象函数变换为原函数。5.3.2电路的复频域分析方法例5.5

用拉氏变换求R、L、C串联电路的(a)单位阶跃响应和(b)零输入响应。设。解:(a)。此时有令则可得查表5.1可得则可得由查表5.1可得例5.6

在图5.7(a)所示电路中，直流电压源的电压，试求零状态响应。(a)(b)

图5.7

例5.6的图解：作出电路的复频域模型，如图5.7（b）所示。

方法1：用节点分析法求解其中：所以：其对应的时域形式为：方法2：用网孔法求解网孔方程为：所以方法3：用戴维南定理求解断开电感支路如图5.8a所示，开路电压和输入运算阻抗分别为从而得到它的戴维南等效电路如图5.8b所示。

图5.8戴维南等效电路所以进行反变换得：这与前面两种方法所得的结果一致。

例5.7

电路如图5.9所示，试求在单位冲激电压激励下的零状态响应和。解：作电路的复频域模型如图5.9b，由节点分析法得即：

从以上结果可见，用复频域分析法求冲激响应非常方便，这是因为单位冲激函数的拉普拉斯形式为1。作业P1615.75.85.12(1)时间函数的拉普拉斯变换定义为F(s)称为的象函数，

称为F(s)的原函数。(2)拉普拉斯变换有许多重要的性质，本书介绍在分析线性时不变电路中用到的一些最基本的性质：线性性质、微分性质和积分性质。小结(3)拉普拉斯反变换一般采用部分分式法。电路响应的象函数通常表示为两个实系数的s的多项式之比，也就是s的一个有理分式式中的m和n为正整数，且。令D(S)=0，解出的根有三种情况：不同的负实根；共轭复根和m重根。其部分分式法展开的各项系数求法也不同。(4)动态电路的复频域分析法（亦称运算法），它将时域中的电路问题变换成复频域中的电路问题，并在复频中应用电路定理及分析方法求出相应的解答，再通过拉氏反变换得到电路的时域响应。由于需要将时域