高考数学理北师大版一轮复习训练4-5函数y=Asin（ωxφ）的图像及三角函数模型的简单应用

核心考点·精准研析考点一函数y=Asin(ωx+φ)的图像及图像变换1.若函数f(x)=cosQUOTE,为了得到函数g(x)=sin2x的图像,则只需将f(x)的图像 ()A.向右平移QUOTE个单位长度B.向右平移QUOTE个单位长度C.向左平移QUOTE个单位长度D.向左平移QUOTE个单位长度2.若将函数y=2cosx(sinx+cosx)1的图像向左平移φ个单位,得到的函数是偶函数,则φ的最小正值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图像向左平移QUOTE个单位所得的图像与f(x)的图像向右平移QUOTE个单位所得的图像重合,则ω的最小值为.4.已知函数f(x)=4cosx·sinQUOTE+a的最大值为2. 导学号(1)求a的值及f(x)的最小正周期;(2)画出f(x)在[0,π]上的图像.【解析】1.选A.f(x)=cosQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE=sin2QUOTE,为了得到g(x)=sin2x的图像,则只需将f(x)的图像向右平移QUOTE个单位长度即可.2.选A.化简函数:y=2cosx(sinx+cosx)1=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=QUOTEsinQUOTE,向左平移φ个单位可得y=QUOTEsinQUOTE,因为y=QUOTEsinQUOTE是偶函数,所以2φ+QUOTE=QUOTE+kπ,k∈Z,φ=QUOTE+QUOTE,k∈Z,由k=0可得φ的最小正值是QUOTE.3.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图像向左平移QUOTE个单位所得的图像为y=sinQUOTE=sinQUOTE,把f(x)的图像向右平移QUOTE个单位所得的图像为y=sinQUOTE=sinQUOTE,根据题意可得y=sinQUOTE和y=sinQUOTE的图像重合,故QUOTE+φ=2kπQUOTE+φ,k∈Z,求得ω=4k,k∈Z,故ω的最小值为4.答案:44.(1)f(x)=4cosxsinQUOTE+a=4cosx·QUOTE+a=QUOTEsin2x+2cos2x+a=QUOTEsin2x+cos2x+1+a=2sinQUOTE+1+a的最大值为2,所以a=1,最小正周期T=QUOTE=π.(2)由(1)知f(x)=2sinQUOTE,列表:x0π2x+QUOTEπ2πf(x)=2sinQUOTE120201画图如图所示:1.由函数y=sinx的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2.y=Asin(ωx+φ)的图像可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+φ计算五点坐标.【秒杀绝招】排除法解T1,变形f(x)=sinQUOTE,观察发现ω=2,所以不能平移QUOTE,排除B,D;代入A,C检验,可知选A.T4,可用伸缩法画f(x)的图像.考点二由图像求解析式【典例】1.已知函数y=f(x)=2sin(ωx+φ)QUOTE的部分图像如图所示,则ω,φ的值分别是 ()A.2,QUOTE B.2,QUOTEC.4,QUOTE D.4,QUOTE2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则函数f(x)的解析式为. 导学号【解题导思】序号联想解题1看到A,B两点的横坐标,想到了求周期,从而求ω.由A,B两点的位置想到了特殊点,从而求φ.2由图像的最高点及最低点,想到了求A以及周期,从而确定ω,由特殊点的坐标想到了求φ.【解析】1.选A.由题图可知,QUOTET=QUOTE+QUOTE,即T=π,所以QUOTE=π,即ω=2,由2×QUOTE+φ=QUOTE+2kπ(k∈Z)得φ=QUOTE+2kπ,k∈Z,又QUOTE<φ<QUOTE,故φ=QUOTE.2.由题图知A=QUOTE,QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,所以T=π,ω=2,所以f(x)=QUOTEsin(2x+φ),又QUOTE对应五点法作图中的第三个点,所以2×QUOTE+φ=π+2kπ(k∈Z),φ=QUOTE+2kπ(k∈Z),又|φ|<π,所以φ=QUOTE,所以f(x)=QUOTEsinQUOTE.答案:f(x)=QUOTEsinQUOTE【一题多解】由题图知A=QUOTE,QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,以QUOTE为第二个零点,QUOTE为最小值点,列方程组QUOTE解得QUOTE所以f(x)=QUOTEsinQUOTE.答案:f(x)=QUOTEsinQUOTE确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=QUOTE,B=QUOTE.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=QUOTE.(3)求φ,常用方法有:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx+φ=QUOTE;“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx+φ=QUOTE;“第五点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π.1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)QUOTE的部分图像如图所示,则f(x)的解析式是 ()A.f(x)=sinQUOTE B.f(x)=sinQUOTEC.f(x)=sinQUOTE D.f(x)=sinQUOTE【解析】选D.由图像可知QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE,所以T=π,所以ω=QUOTE=2,所以排除A、C;把x=QUOTE代入检验知,选项D符合题意.2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)QUOTE的图像的一部分如图所示,则f(x)图像的对称轴方程是.【解析】由图像知A=2,又1=2sin(ω×0+φ),即sinφ=QUOTE,又|φ|<QUOTE,所以φ=QUOTE.又QUOTE×ω+QUOTE=2π,所以ω=2,所以f(x)=2sinQUOTE,令2x+QUOTE=QUOTE+kπ(k∈Z),得x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).所以f(x)=2sinQUOTE的对称轴方程为x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).答案:x=QUOTE+QUOTE(k∈Z)考点三函数y=Asin(ωx+φ)图像与性质的综合应用命题精解读1.考什么:(1)三角函数模型的应用,方程根(函数零点)问题,图像与性质的综合应用等;(2)考查直观想象、数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.2.怎么考:与三角函数图像与性质,方程根,零点问题,实际问题结合考查求解析式,性质,参数等.3.新趋势:以考查三角函数模型的应用为主.学霸好方法三角函数模型的应用策略(1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题.(2)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.三角函数模型的应用【典例】(2020·滁州模拟)某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为. 导学号【解析】设y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=QUOTE,所以ω=QUOTE,所以y=sinQUOTE+6.因为当x=1时,y=6,所以sinQUOTE=0,故QUOTE+φ=2kπ,k∈Z,可取φ=QUOTE,所以y=sinQUOTE+6=cosQUOTEx+6.答案:y=cosQUOTEx+6(答案不唯一)方程根(函数零点)问题【典例】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2QUOTEsin2ωxQUOTE(ω>0)的最小正周期为π. 导学号(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)将函数f(x)的图像向左平移QUOTE个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.【解析】(1)f(x)=2sinωxcosωx+QUOTE(2sin2ωx1)=sin2ωxQUOTEcos2ωx=2sinQUOTE.由最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sinQUOTE,由2kπQUOTE≤2xQUOTE≤2kπ+QUOTE(k∈Z),整理得kπQUOTE≤x≤kπ+QUOTE(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是QUOTE(k∈Z).(2)将函数f(x)的图像向左平移QUOTE个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin2x+1的图像;所以g(x)=2sin2x+1.令g(x)=0,得x=kπ+QUOTE或x=kπ+QUOTE(k∈Z),所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4π+QUOTE=QUOTE.方程的根与函数图像的交点有何关系?提示:方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数.综合应用问题【典例】(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=sinQUOTE(ω>0),已知f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,下述四个结论:导学号①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在QUOTE上单调递增④ω的取值范围是QUOTE.其中所有正确结论的编号是 ()A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④【解析】选D.①若f(x)在[0,2π]上有5个零点,可画出大致图像,由图1可知,f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点,所以①正确.②由图1、图2可知,f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点,故②错误.③函数f(x)=sinQUOTE的增区间为QUOTE+2kπ<ωx+QUOTE<QUOTE+2kπ(k∈Z),QUOTE<x<QUOTE.取k=0,当ω=QUOTE时,单调递增区间为QUOTEπ<x<QUOTEπ;当ω=QUOTE时,单调递增区间为QUOTEπ<x<QUOTEπ,综上可得f(x)在QUOTE上单调递增.故③正确.④当f(x)=sinQUOTE=0时,ωx+QUOTE=kπ(k∈Z),所以x=QUOTE,因为f(x)在[0,2π]上有5个零点.所以当k=5时,x=QUOTE≤2π,当k=6时,x=QUOTE>2π,解得QUOTE≤ω<QUOTE,故④正确.所以结论正确的编号有①③④.本题考查哪些知识?提示:三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质,制图用图能力,数形结合思想,数学运算的核心素养.1.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+AcosQUOTE(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为℃.【解析】因为当x=6时,y=a+A=28;当x=12时,y=aA=18,所以a=23,A=5,所以y=f(x)=23+5cosQUOTE,所以当x=10时,f(10)=23+5cosQUOTE=235×QUOTE=20.5(℃).答案:20.52.(2020·临沂模拟)函数f(x)=sinQUOTE的图像上相邻的两个最高点之间的距离为.【解析】由题意知,函数f(x)的图像上相邻的两个最高点之间的距离为函数f(x)的一个最小正周期,函数f(x)的最小正周期为QUOTE=π.答案:π3.已知关于x的方程2sin2xQUOTEsin2x+m1=0在QUOTE上有两个不同的实数根,则m的取值范围是.【解析】方程2sin2xQUOTEsin2x+m1=0可转化为m=12sin2x+QUOTEsin2x=cos2x+QUOTEsin2x=2sinQUOTE,x∈QUOTE.设2x+QUOTE=t,则t∈QUOTE,所以题目条件可转化为QUOTE=sint,t∈QUOTE有两个不同的实数根.所以y1=QUOTE和y2=sint,t∈QUOTE的图像有两个不同交点,如图:由图像知,QUOTE的取值范围是QUOTE,所以m的取值范围是(2,1).答案:(2,1)1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2022)的值等于()A.QUOTE B.2+2QUOTEC.QUOTE+2 D.QUOTE2【解析】选A.由图像知A=2,φ=0,T=8,所以QUOTE=8,即ω=QUOTE,所以f(x)=2sinQ