第4章 特殊函数和高斯积分

第四章特殊函数与高斯求积特殊函数12Gauss求积4.1特殊函数对于求数学物理方程的解析解来说，特殊函数扮演着中心的角色。特殊函数常常允许一个问题的一部分由解析方法解出，从而极大的减少一次完整求解所需要的计算工作量。特殊函数对数值计算有什么意义？例子：受微扰的一维谐振子一个一维谐振子在时间段0<t<T

内受到外部扰动，其频率

ω

随时间改变，而在t<0

以前和

t>T

以后的时间里ω

为恒定值，求扰动停息很久以后的振子的运动。运动方程为明智的做法是只对运动的有实质意义的部分（0<t<T）用数值方法积分，然后用t=T时刻的速度和坐标来直接计算下面的解尽管我们可以完全依赖于数值方法解决这个问题勒让德多项式数学物理中许多偏微分方程，例如调和方程，热传导方程和波动方程，在球坐标系下分离变量时，角部经常满足下面的方程其解为勒让德多项式勒让德多项式所满足递推关系式为functionp=legendre(L,x)ifL==0p=1;elseifL==1p=x;else

p=((2*L-1)*x*legendre(L-1,x)-(L-1)*legendre(L-2,x))/L;endHermite多项式及Laguerre多项式也可照此类推Laguerre多项式Hermite多项式Bessel函数两类Bessel函数满足递推关系两类Bessel函数Jn(x),Yn(x)是柱对称下波动方程的两组解为了在向前方向上使用这些递推关系，我们需要C0,C1的值。这些值可以从多项式近似公式得到，对于|x|<3和|x|>3分别有不同的近似公式。其中y=x/3当|x|<3时当|x|>3时类似的，J1,Y1也有相应的多项式近似Yn

可以通过向前递推来精确的计算，但是Jn

则有严重的误差。Jn(2)的计算在n连续极限下，上式近似为把Bessel函数的递推关系想象成一个关于n的二阶微分方程的有限差分模拟这个方程有两个线性无关的解。当n>x，一个解指数增长，另一个指数衰减。为什么会有这种误差？Yn

是随着n增大而指数增长的解，因此在向前递推过程中不会发生精度的损失。但是Jn

的精确值随着n增大而迅速减小，因此当向前递推进行到超出n=x之外时精度就会迅速丢失。这个毛病同二阶微分方程积分求指数衰减解时遇到的毛病相同；其解决方法也是一样的：避免在函数值减小的方向上使用递推关系式。由此得到数列将复现出Jn，只差一个任意的归一化因子，可根据恒等式对这个数列进行归一化。为了精确的计算Jn，我们可以利用递推关系的线性性质并在n减小的方向上应用递推关系。设我们要求n≤10的Jn(2)，选取J14=0,J13=1，向后递推到n=0。注意上式无穷求和在n=14截断即可。4.2高斯求积但是如果我们能够求被积函数在任意坐标上的值，那么还存在一种更有效的求积方案——Gauss求积。前面讨论过的几种计算定积分的方法，都是在一些等间隔的格点上求被积函数之值。先前讨论的积分公式均属于下面这种形式为[0,1]区间内等间隔的格点。设要计算以辛普森积分公式为例，考虑N=3情形如果f(x)为二次或次数更低的多项式，则上面的积分公式是精确成立的。反过来说，积分公式的建立，即权重

ωn的确定可以通过解下面N个线性方程组成的方程组获得更一般的，如果一个以插值为基础的求积公式使用N个格点，那么此公式能对一个N-1次多项式进行精确的积分。现在我们放弃求积格点等间隔的要求，那么在建立求积公式时，就有2N个参量（N

个xn

和N个

ωn）可以随我们处置。可以用N个经过精心挑选的格点，使得对于从0到2N-1的p都满足下面方程高斯求积的思路考虑Legendre多项式，它在区间[-1,1]上是正交的：

此外，Pi(x)在[-1,1]区间内有i个根积分格点的挑选推论：Pi(x)和任何一个次数小于i的多项式正交任何一个2N-1次或更低次的多项式可以写成其中Q和R是N-1次或更低次的多项式待求积分的精确值为0如果取xn

为PN

的第n个零点，那么有现在考察待求积分I的数值公式0通过上式定出ωn，可以证明，

ωn为此即Gauss-Legendre求积公式结合解析表达式和数值积分公式，有上式对次数小于N的任意多项式R都要成立前面的讨论都是针对[-1,1]区间内的积分。通过一个简单的线性变量替换，这个公式可以应用于两个有限的积分限之间的任何定积分，即作变量代换除了Legendre多项式外，别种正交多项式也能提供有用的Gauss求积公式。考虑一般的情况。对下面的一组定义在区间[a,b]内的正交多项式其中为ρ

为权重函数，uN

在区间[a,b]内有N个零点取xn

为uN(x)=0的第n个根，得到一般的Gauss求积公式其中ωn根据相应正交多项式的性质求出。例如Gauss-Laguerre求积公式Laguerre多项式Ln(x)是定义在区间[0,+∞)的正交多项式。设xn

为LN(x)=0的第n个根，得到积分公式其中作为一条一般的规则，当被积函数平滑或者抽出一个函数（这个函数是一组标准的正