计数原理（课件）-中职《-数学 基础模块.下册》同步教学（同济大学出版社）

第十单元概率与统计初步计数原理第一节随机事件和概率第二节总体、样本与抽样方法第三节用样本估计总体第四节第五节第五节一元线性回归引例小明看电视报道某某买双色球彩票喜中大奖,很是羡慕,来到彩票销售点,看到中国福利彩票双色球游戏设奖如下:小明根据每期获奖数字出现的分布图,对中奖的数字进行了简单的分析,买了一注，则他中奖的可能性如下：引例一等奖（6+1）中奖概率为：1/17721088=0.0000056%；二等奖（6+0）中奖概率为：1/1107568=0.00009%；三等奖（5+1）中奖概率为：1/3797376=0.000026%；四等奖（5+0）中奖概率为：1/237336=0.00042%；四等奖（4+1）中奖概率为：1/654720=0.015%；五等奖（4+0）中奖概率为：1/40920=0.24%；五等奖（3+1）中奖概率为：1/87296=0.11%；六等奖（2+1）中奖概率为：1/8448=0.012%；六等奖（1+1）中奖概率为：1/528=0.189%；六等奖（0+1）中奖概率为：1/16=6.25%.计数原理第一节问题一从A地到B地可以乘火车，也可以乘汽车.一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从A地到B地共有多少种不同的走法？问题二从A地到B地，要从A地先乘火车到C地，然后于第二天从C地乘汽车到B地.一天中从A地到C地的火车有3班，从C地到B地的汽车有2班.那么在两天中，从A地到B地共有多少种不同的走法？一、分类计数原理先看问题1，首先要弄清楚这道题是要完成从北京到上海这件事，只要从北京到了上海，就算完成了这件事.其次，从北京到上海有几类走法？可以分两类走法，一类是乘火车，另一类是乘汽车，其中，乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法.再次，无论乘哪班火车或汽车，都能从北京直接到达上海（见图10-1）.所以一天中从北京到上海的走法共有3+2=5（种）.图10-1一、分类计数原理一般地，完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn

种不同的方法.这种计数原理叫作分类计数原理，也称为加法原理.一、分类计数原理注意分类计数原理中：（1）完成某件事的n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事.(2)分类的标准可以不同，但必须不重复不遗漏.一、分类计数原理1个箱子里装有5个白色球、3个黑色球和2个红色球，任取1个球，共有多少种取法？解取出的1个球可能是白色球、黑色球或红色球.第一类：取白色球，从5个白色球中任意取出1个，共有5种方法.第二类：取黑色球，从3个黑色球中任意取出1个，共有3种方法.第三类：取红色球，从2个红色球中任意取出1个，共有2种方法.根据分类计数原理，不同的取法共有N=5+3+2=10种.【例1】一、分类计数原理对于问题2，这个问题也是要完成从北京到上海这件事，但是这个问题又与问题1不同.问题1中乘火车或汽车中的任何一种都能直接到达上海，而问题2里面，无论单独乘火车或汽车都不能从北京直接到达上海，要从北京到上海必须分两步，第1步先到郑州，第2步从郑州到达上海，只有这两步都完成了，才能从北京到达上海.乘火车从北京到郑州有3种走法，再乘汽车从郑州到上海有2种走法，并且两步依次完成后，才能到达上海(见图10-2)，所以共有3×2=6

种不同的走法.二、分步计数原理图10-2二、分步计数原理一般地，完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·…·mn

种不同的方法.该计数原理叫作分步计数原理，也称为乘法原理.二、分步计数原理注意分步计数原理的n个步骤是相互依存的，只有n个步骤都完成了，这件事情才算完成.二、分步计数原理1个箱子里装有5个白色球、3个黑色球和2个红色球，从中取不同颜色的球各1个，共有多少种取法？解从箱子里任取不同颜色的球各1个，可以分成3个步骤完成：第一步是从5个白色球中取1个，有5种办法；第二步是从3个黑色球中取1个，有3种办法；第三步是从2个红色球中取1个，有2种办法.根据分步计数原理，不同的取法共有N=5×3×2=30种方法.【例2】二、分步计数原理有些较复杂的问题往往不是单纯地用分类计数原理或分步计数原理可以解决的，而要将两个原理结合起来运用.一般是先“分类”，再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理.1个箱子里装有5个白色球、3个黑色球和2个红色球，任取2个不同颜色的球各1个，共有多少种取法？解从箱子里任取2个不同颜色的球各1个有3种分类：第一类办法是分别取出白色球和黑色球各1个，可以分为两个步骤完成：第一步从5个白色球中任意取出1个，共有5种方法；第二步从3个黑色球中任意取出1个，共有3种办法.根据分步计数原理，第一类办法总共有N1=5×3=15种方法.【例3】第二类办法是分别取出白色球和红色球各1个，可以分为两个步骤完成：第一步从5个白色球中任意取出1个，共有5种方法；第二步从2个红色球中任意取出1个，共有2种办法.根据分步计数原理，第二类办法总共有N2=5×2=10种方法.第三类办法是分别取出黑色球和红色球各1个，可以分为两个步骤完成：第一步从3个黑色球中任意取出1个，共有3种方法；第二步从2个红色球中任意取出1个，共有2种办法.根据分步计数原理，第三类办法总共有N3=3×2=6种方法.最后根据分类计数原理，不同的取法共有N=N1+N2+N3=15+10+6=31种方法.由0到9共10个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？解从0~9中任取4个数字组成无重复数字的四位偶数有2类办法：第1类办法是取出的无重复数字的四位偶数的个位为0.千位有9种取法，百位有8种取法，十位有7种取法.由分步计数原理，能组成无重复数字的四位偶数的个数是N1=1×9×8×7=504（个）.【例4】第2类办法是取出的无重复数字的四位偶数的个