2024年高考数学二轮复习第三篇必考小题方法技巧第7讲计数原理、二项式定理

第三篇第7讲一、单项选择题(共8小题)1.(2023·汕头二模)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为(A)A．2563 B．27C．2553 D．6【解析】分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563种颜色．故选A.2.(2023·泸县校级模拟)7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是(C)A．60 B．120C．240 D．360【解析】甲乙相邻，乙丙不相邻，可以将甲乙看成一个人，7个人去掉甲乙丙一共有4个人，四个人算两边有5个空，从五个空中选出两个，那么他们的位置就固定了．四个人全排列的方法有Aeq\o\al(4,4)＝24种，从五个空中选出两个的方法有Ceq\o\al(2,5)＝10种，所以一共不同排法有24×10＝240种．故选C.3.(2023·贵州模拟)公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到小于3.14的不同数字的个数有(A)A．240 B．360C．600 D．720【解析】小于3.14的不同数字的个数有两类：第一类：3.11开头的，剩余5个数字全排列有Aeq\o\al(5,5)＝120种；第二类：3.12开头的，剩余5个数字全排列有Aeq\o\al(5,5)＝120种．根据分类加法计数原理可知，共120＋120＝240种．故选A.4.(2023·石嘴山校级三模)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉．现有5支救援队前往A，B，C等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是(D)A．72 B．84C．88 D．100【解析】若甲去B点，则剩余4人，可只去A，C两个点，也可分为3组去A，B，C三个点．当剩余4人只去A，C两个点时，人员分配为1,3或2,2，此时的分配方法有Ceq\o\al(3,4)·Aeq\o\al(2,2)＋eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)＝14；当剩余4人分为3组去A，B，C3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36，综上可得，甲去B点，不同的安排方法数是14＋36＝50.同理，甲去C点，不同的安排方法数也是50，所以不同的安排方法数是50＋50＝100.故选D.5.(2023·抚顺二模)第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有(C)A．12种 B．18种C．24种 D．36种【解析】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6种，②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝18种，所以不同的安排方法有6＋18＝24种．故选C.6.(2023·泉州模拟)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\r(x)))10的展开式中，x2的系数等于(D)A．－45 B．－10C．10 D．45【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\r(x)))10的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))10－r·(－eq\r(x))r＝(－1)rCeq\o\al(r,10)xeq\s\up7(\f(3,2))r－10，令eq\f(3,2)r－10＝2，解得r＝8，所以x2项的系数为：(－1)8Ceq\o\al(8,10)＝45.故选D.7.(2023·沙坪坝区校级模拟)(2x2＋y＋1)5的展开式中x4y2项的系数为(A)A．120 B．160C．180 D．210【解析】由题意(2x2＋y＋1)5的展开式中x4y2项的系数为Ceq\o\al(2,5)×22×Ceq\o\al(2,3)＝120.故选A.8.(2023·惠州一模)已知二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,\r(x))))n(n∈N*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为(A)A.eq\f(2,7) B．eq\f(3,7)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,8)【解析】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式的总项数为7项，故n＝6，展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2x)6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,6)26－rx6－eq\s\up7(\f(3,2))r，当r是偶数时该项为有理项，∴r＝0,2,4,6有4项，所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为P＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,7))＝eq\f(2,7).故选A.二、多项选择题(共4小题)9.(2023·吉林模拟)从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是(AD)A．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法B．若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法C．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法D．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法【解析】对于A，依题意，根据组合及分步计数原理，可知一共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)＝6×3＝18种，故A正确；对于B，依题意，要从7名同学中选取4人，而甲乙必须在内，则相当于从5名同学中选取2人，一共有Ceq\o\al(2,5)＝10种，故B错误；对于C，依题意，要从7名同学中选取4人，一共有Ceq\o\al(4,7)＝35种，而甲乙都不在内一共有Ceq\o\al(4,5)＝5种，∴甲与乙至少要有1人在内有Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(4,5)＝35－5＝30种，故C错误；对于D，依题意，假设全是男生一共有Ceq\o\al(4,4)＝1种，全是女生的情况没有，∴既有男生又有女生一共有Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(4,4)＝35－1＝34种，故D正确．故选AD.10.(2023·渝中区校级模拟)下列选项正确的是(ABD)A．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，是排列问题，有Aeq\o\al(5,7)＝2520种不同的放法，A正确；对于B，先将7个球分为5组，有3－1－1－1－1和2－2－1－1－1两种分组方法，则有Ceq\o\al(3,7)＋eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(2,5),A\o\al(2,2))＝140种分组方法，B正确；对于C，用挡板法分析：将7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，有Ceq\o\al(2,7)＝21种不同的放法，C错误；对于D，分3种情况讨论：①全部放入1个盒子中，有1种放法，②放入两个盒子中，有6－1、5－2、4－3，共3种放法，③放入3个盒子里，有1－1－5、1－2－4、1－3－3、2－2－3，共4种放法，则有1＋3＋4＝8种放法，D正确；故选ABD.11.(2023·晋中二模)(1＋ax)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，若a1＝－6069，则下列结论正确的有(BC)A．a＝3B．a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝－22023C.eq\f(a1,3)＋eq\f(a2,32)＋…＋eq\f(a2023,32023)＝－1D．(1＋ax)2023的展开式中第1012项的系数最大【解析】对于A，由a1＝Ceq\o\al(1,2023)·a＝2023a＝－6069，可得a＝－3，故A错误；对于B，因为(1－3x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝(1－3)2023＝－22023，故B正确；对于C，令x＝0，则a0＝1，令x＝eq\f(1,3)，则eq\f(a1,3)＋eq\f(a2,32)＋…＋eq\f(a2023,32023)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－3×\f(1,3)))2023－a0＝－a0＝－1，故C正确；对于D，由展开式知，a2n＞0，a2n－1＜0，故第1012项的系数a1011＜0，不会是展开式中系数最大的项，故D错误．故选BC.12.(2023·南关区校级模拟)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,\f(1,x))＋\r(3,x2)))n展开式中的第三项的系数为45，则(BCD)A．n＝9B．展开式中所有系数和为1024C．二项式系数最大的项为中间项D．含x3的项是第7项【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,\f(1,x))＋\r(3,x2)))n展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,\f(1,x))))n－k·(eq\r(3,x2))k＝Ceq\o\al(k,n)xeq\s\up7(\f(11k－3n,12))，所以第三项的系数为Ceq\o\al(2,n)＝45，所以eq\f(nn－1,2)＝45，所以(n－10)(n＋9)＝0，得n＝10或n＝－9(舍)，故A错误；当x＝1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,\f(1,x))＋\r(3,x2)))n展开式中所有系数和为(1＋1)10＝1024，故B正确；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,\f(1,x))＋\r(3,x2)))10的展开式共有11项，二项式系数最大的项为中间项，故C正确；因为n＝10，所以展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,\f(1,x))))10－k·(eq\r(3,x2))k＝Ceq\o\al(k,n)xeq\s\up7(\f(11k－30,12))，令eq\f(11k－30,12)＝3，得k＝6，所以含x3的项是第k＋1＝6＋1＝7项，故D正确．故选BCD.三、填空题(共4小题)13.(2023·闵行区二模)今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为_12__.【解析】根据题意，第一个学校选1名医生和2名护士，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)种选法，第二个学校只有1种选法，则有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12种选法．14.(2023·泰安二模)用数字1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_312__个．(用数字作答)【解析】根据题意，分成两类情况：①四位数中没有偶数，即在1,3,5,7中任选4个，共有Aeq\o\al(4,4)＝24种，②四位数中只有一个偶数，即在1,3,5,7中任选3个，在2,4,6中选一个，共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288种，故共有24＋288＝312.15.(2023·武功县校级模拟)二项式(x＋a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))3的展开式中，所有项的系数和为1，则(x＋a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中常数项为_－40__.【解析】令x＝1，得(x＋a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))3的展开式中，所有项的系数和为1＋a＝1，解得a＝0，则(x＋a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\v