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文档简介
陕西省西安电子科技大附中2024年高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为()A. B. C. D.2.已知函数(其中为自然对数的底数)有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.3.已知复数,则的虚部为()A.-1 B. C.1 D.4.《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,长五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在细的一端截下一尺,重斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是()A.斤 B.斤 C.斤 D.斤5.在的展开式中,含的项的系数是()A.74 B.121 C. D.6.函数满足对任意都有成立,且函数的图象关于点对称,,则的值为()A.0 B.2 C.4 D.17.函数在的图象大致为()A. B.C. D.8.已知函数,,其中为自然对数的底数,若存在实数,使成立,则实数的值为()A. B. C. D.9.在中,点为中点,过点的直线与,所在直线分别交于点,,若,,则的最小值为()A. B.2 C.3 D.10.如图网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的所有棱中最长棱的长度为()A. B. C. D.11.如图,在△ABC中,点M是边BC的中点,将△ABM沿着AM翻折成△AB'M,且点B'不在平面AMC内,点P是线段B'C上一点.若二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等,则直线AP经过△AB'CA.重心 B.垂心 C.内心 D.外心12.设全集,集合,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图是一个算法流程图,若输出的实数的值为,则输入的实数的值为______________.14.已知,(,),则=_______.15.已知函数,若的最小值为,则实数的取值范围是_________16.正四棱柱中,,.若是侧面内的动点,且,则与平面所成角的正切值的最大值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在三棱锥中,,是的中点,点在上,平面,平面平面,为锐角三角形,求证:(1)是的中点;(2)平面平面.18.(12分)设函数.(1)若恒成立,求整数的最大值;(2)求证:.19.(12分)已知直线的参数方程:(为参数)和圆的极坐标方程:(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)已知点,直线与圆相交于、两点,求的值.20.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式恒成立,求实数a的取值范围.21.(12分)已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,求函数在上最小值.22.(10分)为了保障全国第四次经济普查顺利进行,国家统计局从东部选择江苏,从中部选择河北、湖北,从西部选择宁夏,从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区,然后再逐级确定普查区域,直到基层的普查小区,在普查过程中首先要进行宣传培训,然后确定对象,最后入户登记,由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利,这为正式普查提供了宝贵的试点经验,在某普查小区,共有50家企事业单位,150家个体经营户,普查情况如下表所示:普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户10050150合计14060200(1)写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法;(2)根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”;(3)以该小区的个体经营户为样本,频率作为概率,从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象,入户登记顺利的对象数记为,写出的分布列,并求的期望值.附:0.100.0100.0012.7066.63510.828
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
先根据平面的基本性质确定平面,然后利用面面平行的性质定理,得到截面的形状再求解.【详解】如图所示:确定一个平面,因为平面平面,所以,同理,所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四边形故选:B【点睛】本题主要考查平面的基本性质,面面平行的性质定理及截面面积的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.2、B【解析】
求出导函数,确定函数的单调性,确定函数的最值,根据零点存在定理可确定参数范围.【详解】,当时,,单调递增,当时,,单调递减,∴在上只有一个极大值也是最大值,显然时,,时,,因此要使函数有两个零点,则,∴.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点,考查用导数研究函数的最值,根据零点存在定理确定参数范围.3、A【解析】
分子分母同乘分母的共轭复数即可.【详解】,故的虚部为.故选:A.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生运算能力,是一道容易题.4、B【解析】
依题意,金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列,则,由此利用等差数列性质求出结果.【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为,设首项,则,公差,.故选B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5、D【解析】
根据,利用通项公式得到含的项为:,进而得到其系数,【详解】因为在,所以含的项为:,所以含的项的系数是的系数是,,故选:D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数,还考查了运算求解的能力,属于基础题,6、C【解析】
根据函数的图象关于点对称可得为奇函数,结合可得是周期为4的周期函数,利用及可得所求的值.【详解】因为函数的图象关于点对称,所以的图象关于原点对称,所以为上的奇函数.由可得,故,故是周期为4的周期函数.因为,所以.因为,故,所以.故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函数满足,那么是周期为的周期函数,本题属于中档题.7、C【解析】
先根据函数奇偶性排除B,再根据函数极值排除A;结合特殊值即可排除D,即可得解.【详解】函数,则,所以为奇函数,排除B选项;当时,,所以排除A选项;当时,,排除D选项;综上可知,C为正确选项,故选:C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像,注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用,属于基础题.8、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是减函数,(﹣1,+∞)上是增函数,故当x=﹣1时,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(当且仅当ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1时,等号成立);故f(x)﹣g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故选:A.9、B【解析】
由,,三点共线,可得,转化,利用均值不等式,即得解.【详解】因为点为中点,所以,又因为,,所以.因为,,三点共线,所以,所以,当且仅当即时等号成立,所以的最小值为1.故选:B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.10、C【解析】
利用正方体将三视图还原,观察可得最长棱为AD,算出长度.【详解】几何体的直观图如图所示,易得最长的棱长为故选:C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题,其中利用正方体作衬托是关键,属于基础题.11、A【解析】
根据题意P到两个平面的距离相等,根据等体积法得到SΔPB'M【详解】二面角P-AM-B'与二面角P-AM-C的平面角相等,故P到两个平面的距离相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P为CB'中点.故选:A.【点睛】本题考查了二面角,等体积法,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12、B【解析】
可解出集合,然后进行补集、交集的运算即可.【详解】,,则,因此,.故选:B.【点睛】本题考查补集和交集的运算,涉及一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据程序框图得到程序功能,结合分段函数进行计算即可.【详解】解:程序的功能是计算,若输出的实数的值为,则当时,由得,当时,由,此时无解.故答案为:.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断,理解程序功能是解决本题的关键,属于基础题.14、【解析】
先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得,平方可得.【详解】∵,∴,则,平方可得.故答案为:.【点睛】本题主要考查三角恒等变换,倍角公式的合理选择是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.15、【解析】
,可得在时,最小值为,时,要使得最小值为,则对称轴在1的右边,且,求解出即满足最小值为.【详解】当,,当且仅当时,等号成立.当时,为二次函数,要想在处取最小,则对称轴要满足并且,即,解得.【点睛】本题考查分段函数的最值问题,对每段函数先进行分类讨论,找到每段的最小值,然后再对两段函数的最小值进行比较,得到结果,题目较综合,属于中档题.16、2.【解析】
如图,以为原点建立空间直角坐标系,设点,由得,证明为与平面所成角,令,用三角函数表示出,求解三角函数的最大值得到结果.【详解】如图,以为原点建立空间直角坐标系,设点,则,,又,得即;又平面,为与平面所成角,令,当时,最大,即与平面所成角的正切值的最大值为2.故答案为:2【点睛】本题主要考查了立体几何中的动点问题,考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题,一般是建立空间直角坐标,在动点坐标内引入参数,将最值问题转化为函数的最值问题求解,考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)证明见解析;【解析】
(1)推导出,由是的中点,能证明是有中点.(2)作于点,推导出平面,从而,由,能证明平面,由此能证明平面平面.【详解】证明:(1)在三棱锥中,平面,平面平面,平面,,在中,是的中点,是有中点.(2)在三棱锥中,是锐角三角形,在中,可作于点,平面平面,平面平面,平面,平面,平面,,,,平面,平面,平面平面.【点睛】本题考查线段中点的证明,考查面面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,属于中档题.18、(1)整数的最大值为;(2)见解析.【解析】
(1)将不等式变形为,构造函数,利用导数研究函数的单调性并确定其最值,从而得到正整数的最大值;(2)根据(1)的结论得到,利用不等式的基本性质可证得结论.【详解】(1)由得,令,,令,对恒成立,所以,函数在上单调递增,,,,,故存在使得,即,从而当时,有,,所以,函数在上单调递增;当时,有,,所以,函数在上单调递减.所以,,,因此,整数的最大值为;(2)由(1)知恒成立,,令则,,,,,上述等式全部相加得,所以,,因此,【点睛】本题考查导数在函数单调性、最值中的应用,以及放缩法证明不等式的技巧,属于难题.19、(1):,:;(2)【解析】
(1)消去参数求得直线的普通方程,将两边同乘以,化简求得圆的直角坐标方程.(2)求得直线的标准参数方程,代入圆的直角坐标方程,化简后写出韦达定理,根据直线参数的几何意义,求得的值.【详解】(1)消去参数,得直线的普通方程为,将两边同乘以得,,∴圆的直角坐标方程为;(2)经检验点在直线上,可转化为①,将①式代入圆的直角坐标方程为得,化简得,设是方程的两根,则,,∵,∴与同号,由的几何意义得.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查利用直线参数的几何意义求解距离问题,属于中档题.20、(1)(2)【解析】
(1)利用分段讨论法去掉绝对值,结合图象,从而求得不等式的解集;(2)求出函数的最小值,把问题化为,从而求得的取值范围.【详解】(1)当时,则所以不等式的解集为.(2)等价于,而,故等价于,所以或,即或,所以实数a的取值范围为.【点睛】本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度一般.21、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)当时,函数的最小值是;当时,函数的最小值是【解析】
(1)求出导函数,并且解出它的零点x=,再分区间讨论导数的正负,即可得到函数f(x)的单调区间;
(2)分三种情况加以讨论,结合函数的单调性与函数值的大小比较,即可得到当0<a<ln2时,函数f(x)的最小值是-a;当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是ln2-2a.【详解】函数的定义域
为.
因为,令,可得;
当时,;当时,,综上所述:可知函数的单调递增区间为,单调递减区间为当,即时,函数在区间上是减函数,
的最小
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