第4章 拉普拉斯变换与S域分析

第四章

拉普拉斯变换

与S域分析第一节

引言一、拉氏变换的优点把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具。拉氏变换优点：（1）求解方程得到简化。且初始条件自动包含在变换式里。（2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。即将微分方程变成代数方程。（3）拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。（4）利用系统函数零点、极点分布分析系统的规律。

第二节

拉氏变换的定义、收敛域

一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换1．拉普拉斯正变换则2．拉氏逆变换3．拉氏变换对二、拉氏变换的物理意义拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又称“复频率”。拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。看出：

只能描述振荡的重复频率，而将

频率变换为复频率s,s不仅能给出重复频率，还给出振荡幅度的增长速率或衰减速率。三、拉氏变换的收敛域

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；拉氏变换收敛域举例1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛3.单位冲激信号四、一些常用函数的拉氏变换4．tnu(t)第三节

拉氏变换的基本性质一．线性已知则同理例4-1：推广：证明：一、原函数微分例4-2电感元件的s域模型应用原函数微分性质设三．原函数的积分证明：①②①②例4-3电容元件的s域模型四．延时（时域平移）证明：例题

4-4（补充）已知证明：五、s域平移例4-6时移和尺度变换都有时:证明：六、尺度变换七、初值定理初值定理证明由原函数微分定理可知终值存在的条件:八、终值定理例如九、卷积时域卷积定理频域卷积定理证明：交换积分次序性质见表4-2（p190）第四节

拉氏逆变换一、系统的s域分析方法（1）部分分式展开法（2）长除法用拉氏变换方法分析系统时，最后还要将象函数进行拉氏反（逆）变换。求解拉氏逆变换的方法有：（3）留数法二、部分分式展开法部分分式展开法例4-8:例4-9:举例4-9:部分分式展开法共轭极点出现在

求f(t)例4-10F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法求函数F(s)的逆变换f(t)：解：求得另一种方法例4-11部分分式展开法部分分式展开法三、留数法留数法例4-12第五节

拉氏变换法分析电路一.用拉氏变换法分析电路的步骤列s域方程（可以从两方面入手）

列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。求解s域方程。，得到时域解答。二．微分方程的拉氏变换

采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，求出元件的s域模型。三．利用元件的s域模型分析电路1.电路元件的s域模型

·电阻元件的s域模型·电感元件的s域模型利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：

·电容元件的s域模型电流源形式：S域电路分析例4.16:第六节

系统函数

（网络函数）H(s)1.定义系统函数系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比2.H(s)的几种情况策动点函数：激励与响应在同一端口时策动点导纳策动点阻抗转移导纳转移阻抗电压比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口系统函数求响应利用网络的s域元件模型图，列s域方程→第七节

由系统函数零、极点分布决定时域特性序言H(s)零、极点与h(t)波形特征H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应

一．序言冲激响应h(t)与系统函数H(s)

从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。

主要优点：1．可以预言系统的时域特性；2．便于划分系统的各个分量（自由／强迫，瞬态／稳态）；3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应在s平面上，画出H(s)的零极点图：极点：用×表示，零点：用○表示1．系统函数的零、极点极点：零点：画出零极点图：H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解（1）极点在原点：为单极点，则系统冲激响应为阶跃函数；为多重极点，则系统为增长函数，为不稳定系统。变换到时域变换到时域H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解变换到时域变换到时域（2）极点在s的左半平面：系统为衰减系统，为稳定系统。变换到时域H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解（3）极点在s的虚轴上：单极点（一定为一对共轭极点），则系统为振荡系统，则系统为临界稳定系统。若系统为多重极点，系统为增长系统，则系统为不稳定系统。变换时域变换时域H(s)零、极点分布与h(t)的对应图解(4)极点在s的右半平面：系统为增长函数，则系统为不稳定系统。变换到时域变换时域几种典型情况有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随，表明的极点位于s左半平面，由此可知，收敛域包括虚轴，均存在，两者可通用，只需将即可。若H(s)极点落在s左半平面，则h(t)波形为衰减形式；若H(s)极点落在s右半平面，则h(t)增长；落于虚轴上的一阶极点对应的h(t)成等幅振荡或阶跃，而虚轴上的二阶极点将使h(t)呈增长形式。三．H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应激励：系统函数：响应：X自由响应分量＋强制响应分量几点认识自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关，然而系数都有关。响应r(t)由两部分组成：系统函数的极点

自由响应分量；激励函数的极点

强迫响应分量。定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率（或称“自然频率”、“自由频率”）。H(s)的极点都是系统的固有频率；H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。H(s)只能研究系统的零状态响应瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着t增大，将消失。稳态响应＝完全响应－瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。例（补充）：教材习题2-6(1)给定系统微分方程求完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。解：方程两端取拉氏变换零输入响应／零状态响应则

稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应极点位于s左半平面极点位于虚轴暂态响应稳态响应H(s)的极点E(s)的极点自由响应强迫响应例4.19:举例4.19:第八节

由系统函数零、极点分布决定频响特性一、H(s)零、极点分布与频响特性的对应H(s)零、极点分布与频响特性的对应求得系统正弦稳态全响应系统频响特性二、举例-滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性三、S平面几何分析法S平面几何分析当沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。S平面几何分析S平面几何分析讨论H(s)极点位于s平面实轴的情况，包括一阶与二阶系统。举例4-20:

此点为高通滤波器的截止频率点。频响特性分析X例4-21研究下图所示RC低通滤波网络的频响特性。写出网络转移函数表达式解:频响特性例4.22:例4.22:例4.22:低频响特性第十节全通函数与最小相移函数的零、极点分布所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。零、极点分布极点位于左半平面，零点位于右半平面，零点与极点对于虚轴互为镜像一、全通函数的定义频率特性幅频特性——常数相频特性——不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。由于N1N2N3与M1M2M3相消，幅频特性等于常数K，即例4-23：系统函数其零、极点分布互为镜像。因此为一个全通网络。其频率特性：二．最小相移网络●若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“非最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。

*非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。非最小相移网络最小相移网络全通网络三．级联§4.11线性系统的稳定性

由H(s)的极点位置判断系统稳定性定义（BIBO）证明

稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。冲激响应h(t)和H(s)系统函数从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。一．由H(s)的极点位置判断系统稳定性1．稳定系统若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），则可满足系统是稳定的。例如系统稳定系统稳定2．不稳定系统如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶（或以上）极点系统是不稳定系统。3．临界稳定系统如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。为阶跃或等幅振荡。二、线性系统的稳定性另一种定义

定义：Bound对任意有界输入e(t)，系统的零状态响应为：充分性充分性得证证明:必要性必要性得证。例4-24已知两因果系统的系统函数激励信号分别为求两种情况的响应并讨论系统稳定性。解：激励信号的拉氏变换为：看出：激励信号有界，而产生无界信号的输出。说明：系统不稳定。从系统函数的极点看：系统在虚轴上有一阶极点，属临界稳定系统。系统稳定性在电路中的具体体现稳定系统：通常不含有受控源的RLC电路，一定为稳定系统。振荡系统：只有LC元件构成的电路会出现H(s)极点位于虚轴的情况，h(t)呈等幅振荡。以上两种情况都是无源网络，它们不能对外部供给能量，响应函数幅度有限，属稳定或临界稳定系统。含受控源的反馈系统可出现稳定、临界稳定和不稳定几种情况。实际上由于电子器件的非线性，电路可从不稳定状态逐步调整至临界稳定状态。利用它可产生自激振荡。例4.25:例4.26:§4.13拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系引言傅氏变换与拉氏变换的关系衰减函数，傅氏变换存在:例如：

当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用经典法(定义式)，而是用取极限的方法（矩形脉冲的周期为无穷大）引入了冲激函数而得到的。对于只有一阶极点的情况，极点位于虚轴（4-162）

则