第4章 基本形体的投影

建筑工程制图与识图建筑工程系付媛洁知识回顾各种位置直线投影图的识读投影面平行线的识读：仅有一个投影倾斜于投影轴，且平行于该投影面；ab'bYWb''a''ZYHOa'XHYWYZ(b”)a“bb'aa'XO2.投影面垂直线的识读：有一个投影积聚为一个点，垂直于积聚投影所在的投影面3.一般位置直线的识读：有两个投影倾斜于投影轴Za’b’XbaOa”b”YWYH各种位置的平面投影图的识读a投影面平行面的识读：一框两线，框在哪面，平行哪面。

3个投影中有1个投影积聚为平行于投影轴的直线，平行于非积聚投影所在的投影面水平面侧平面b投影面垂直面的识读：两框一线，线在哪面，垂直哪面。

3个投影中有1个投影积聚为倾斜于投影轴的直线，垂直于积聚投影所在的投影面侧垂面铅垂面c一般位置平面的识读：三框定一般平面。3个投影均为平面图形XZYHYWc’b’a’bcaa’’c’’b’’o回顾结束重点难点【教学目标】熟练掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的投影特点，并能画出基本形体的投影，能求出其表面上的点和线的投影掌握基本形体截交线形状，能作出基本形体截交线，能判断基本形体被一个被或几个平面截切的截交线3熟悉基本形体的标注【教学目标】重点：基本形体的投影难点：基本形体的截交线基本形体棱柱棱锥圆柱圆锥圆球平面立体：由平面图形围成的立体。曲面立体：由曲面或曲面与平面共同围成的立体。

§4－1

基本形体的投影图

基本几何体是由点、线、面等几何元素所构成，体的投影归根到底是点、线、面投影的综合。4.1.1平面立体的投影棱柱1有两个相互平行的表面，其他面均为四边形，并且相邻两四边形的公共边都相互平行，这些平面所围成的基本形体称为棱柱。ABC侧面（棱面）底面侧棱（棱线）顶面底边顶点直棱柱——侧棱都与底面垂直，则形成直棱柱。斜棱柱——侧棱与底面不垂直则形成斜棱柱。正棱柱——顶面和底面为正多边形的直棱柱。棱柱分类：三棱柱上下面为水平面（三角形）后面为正平面（长方形）左右面为铅垂面（长方形）ABC三棱柱的投影1（1）4.1.1平面立体的投影水平面投影是一个三角形，从形体的平面投影的角度看，它可以看作上下底面的重合投影（上底面可见、下底面不可见），并反映实形，也可以看作3个垂直于H面的3个侧面的积聚投影。从形体的棱线投影的角度看，可看作上底面的3条棱线和下底面的3条棱线的重合投影，3条侧棱的投影积聚在三角形的3个顶点上

。正面投影是两个长方形，可看作是左右两个侧面的投影，但均不反映实形。两个长方形的外围线框构成一个大的长方形，是后侧面的投影（不可见），反映实形。上下底面的积聚投影是最上和最下面的两条横线。3条竖线是3条棱线的投影，反映实长。侧面投影是一个长方形，它是左右两个侧面的重合投影（左面可见、右面不可见），均不反映实形。上下底面的积聚投影是最上和最下的两条横线，后侧面的投影积聚在长方形的左边上，它同时也是左右两条侧棱的投影。前面的侧棱的投影是长方形的右边a

b

c

c

a

b

ABC一个投影积聚且反映底（顶）面实形，另外两投影由长方形组合而成。cba三棱柱的投影2（1）作图:正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。正六棱柱的顶面、底面为水平面，前后两面为正平面，其余侧棱面为铅垂面。(a)直观图(b)投影图六棱柱的投影(2)六棱柱的投影特性：其一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为矩形。将正六棱柱底面平行于H面，前后两棱面平行于V面放置。在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面；前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面。

1、位于棱线或边线上的点(线上定点法)——当点位于立体表面的某条棱线或边线上时，可利用线上点的“从属性”直接在线的投影上定点，这种方法即为线上定点法，亦可称为从属性法。

2.位于特殊位置平面上的点(积聚性法)——当点位于立体表面的特殊位置平面上时，可利用该平面的积聚性，直接求得点的另外两个投影，这种方法称为积聚性法。

3.位于一般位置平面上的点(辅助线法)——当点位于立体表面的一般位置平面上时，因所在平面无积聚性，不能直接求得点的投影，而必须先在一般位置平面上做辅助线(辅助线可以是一般位置直线或特殊位置直线)，求出辅助线的投影，然后再在其上定点，这种方法称为辅助线法。棱柱上取点(3)例：作三棱柱的正面投影，并作出三棱柱表面上的点A、B、C、D、E的另两投影。a(b)c’’d’’(e’’)a’b’a’’b’’c’cded’e’在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同，关键是利用可见性判断该点所在的平面，然后利用积聚性或辅助线求出

。六棱柱表面上取点直观图点的可见性判别：若点所在平面的投影可见，点的投影可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。已知六棱柱侧表面ABCD上点M的V面投影m′

，求该点的H面投影m和W面投影m″。投影图m

a(d)b(c)a′d′b′c′m

m练一练已知四棱柱表面的折线ABCD的V面投影,完成H、W投影。bb

aeca

e

c

e

c

a

b

BAEC()已知棱柱表面的点A的投影(a’)，求其它两面投影。

(a

)

a

a

a

已知棱柱表面的点B、C的投影b’、c，求其它两面投影。

(b

)

b

b

cC′

C″

作六棱柱的水平投影，并作出六棱柱表面上的折线ABCDE的另两投影。b’a’c’d’e’●a●b●c’’●c●b’’●a’’●e’’●(e)●d’’●d棱锥的底面为多边形，各侧面为若干具有公共顶点的三角形，该点称为锥顶。从锥顶到底面的距离叫做锥高。当棱锥底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。如图3-5（a）所示是一个正三棱锥的立体图

棱锥2将三棱锥置于三投影面体系中，使其底面平行于H面，后棱面垂直于W面。

其一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为三角形。(1)棱锥的投影：棱锥的投影特性：水平投影由4个三角形组成，分别是三棱锥的4个面形成的，其中三个小的三角形是由三个侧面形成的，均不反应实形；△abc是地面△ABC的投影，因为ABC是水平面，所以它的投影△abc反映实形SABC

s

b

s

a

c

abc

a

(c

)b

s

●●棱锥的投影特性：正面投影由3个三角形组成，均不反映实形。底边a

b

c

是底面△ABC的投影（积聚投影）。SABC

s

b

s

a

c

abc

a

(c

)b

s

●●棱锥的投影特性：侧面投影是一个三角形，是左右两个侧面的投影，不反映实形。后侧面△SAC积聚为一条直线s

a

(c

)，底面积聚为a

(c

)b

。SABC

s

b

s

a

c

abc

a

(c

)b

s

●●sc′分析:正三棱锥由底面和三个侧棱面组成。底面为水平面，后侧棱面为侧垂面，左、右侧棱面是一般位置平面。作图：(1)作底面的投影；(2)作锥顶的投影；(3)连接锥顶和顶点。作图:(a)直观图(b)投影abcs"a"(c")b"a′b′s′SABCcb

sb

s

a

c

s

b

c

aa

(2)

在棱锥表面上取点注辅助线法线上定点法ME(G)e

mem

(g

)g

n

g(m)nn

练习：已知棱面△SAB上点M的正面投影m‘和棱面△

SAC上点N的水平投影n，求作M、N两点的其余投影。s"（a)直观图(b)投影s′n"aba′b′c′ca"(c")b"ssm′mm"(n′)n作图:利用积聚性或表面取点。过点M引平行于底边AB的平行线M，也可求得点m和m″。方法二：aba′b′c′ca"(c")b"ssm′mm"ns′s"例4-1如图所示，已知三棱锥表面上的点1和点2的水平投影，要求作出它们的正面投影和侧面投影P53①求点M：求点M的作图方法和步骤如图所示。由于点M所属棱面△SAC的V面投影看不见，所以其正面投影不可见，写成（m'）。

例:如图3-7所示，已知三棱锥的棱面△SAC上点M的水平面投影m和棱面△SAB上点N的正面投影n'，求作M、N两点的其余投影。②求点N：求点N有两种作辅助线的方法，具体作图方法和步骤如图所示。由于点N所属棱面△SAB在H面和W面上的投影是可见的，所以点n和n"也是可见的。

练一练R1

11

r

rⅠ练习：三棱锥表面上取点Ⅰ1

(Ⅲ)(3)3

练习：三棱锥表面上取点Ⅲ32

2

2Ⅱ练习：三棱锥表面上取点Ⅱ补出挡土墙的水平投影及其表面上点的投影。a

b

(c)a

b

ac

ABcb4.1.2曲面立体的投影曲面的形成：一条线运动的轨迹。回转曲面的形成：由一条母线（直线或曲线）绕一条固定的直线（轴）旋转所形成的曲面。构成回转曲面的要素：母线和轴。母线：运动的线（一个曲面上只有一条）。素线：母线的任何一个位置的轨迹（无数条）或者说某个位置的母线。纬圆：垂直于轴线的平面与曲面相交的圆。注：曲面无棱线纬圆1.圆柱体圆柱面可以看成是由一直线段绕与它平行的轴线回转而成，圆柱体的表面是由圆柱面和上、下底面围成的。（a)圆柱体形成立体图

(b)圆柱体投影直观图素线

轴线1）圆柱的投影圆柱投影特性：水平投影为一个圆，是上下两面的重合投影，反应实形，它同时也是圆柱面的投影（积聚投影）。正面投影为一个矩形，是前半个圆柱面和后半个圆柱面的重合投影，上下两条线是上下两个底面的积聚投影，左右两竖线是圆柱最左和最右两条轮廓素线的投影，这两条素线的水平投影积聚为两个点，在侧面投影中与轴线的投影重合。侧面投影为一个矩形，是左半个圆柱面和右半个圆柱面的重合投影，上下两条线是上下两个底面的积聚投影，左右两竖线是圆柱最后和最前两条轮廓素线的投影，这两条素线的水平投影积聚为两个点，在正面投影中与轴线的投影重合。A1AOO1圆柱的三面视图作法：

2）圆柱表面上取点ABaa

a

b注利用表面投影的积聚性求点。1'(2')1(2")1"2例：已知圆柱面上两点Ⅰ和Ⅱ的正面投影1′和（2′），求作其余两面投影。

分析：圆柱面上的点，利用投影积聚性求出一面上的投影，利用“三等”关系求另一面上的投影；特殊素线上的点，可直接利用素线求出。圆柱体的投影A1AOO1利用投影的积聚性练习：已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求其它两面投影。

3

3

1′

1

4″

(2

)

2″

2

3

4

4

1″例4-2已知圆柱的三面投影及其表面上过1、2、3、4点的曲线（不是直线）在正面上的投影，求该曲线的水平投影和侧面投影分析：由于4个点及直线都在圆柱面上，因此可以用圆柱面水平投影的积聚投影，先做出水平投影，再“二补三”做侧面投影作图过程：P56特别提示对于曲面立体表面的线，首先要判断是直线还是曲线，某些投影面上可能为直线。在求曲面立体上的线时，应多求一些点，然后圆滑连接练习：已知圆柱表面的曲线ABC的V面投影,完成H、W投影yy1

b

a

b

c

1

ab1cc

a

2.圆锥体轴线素线

圆锥体——一直线绕与它相交的轴线回转而成。由圆锥面和底面圆围成，圆锥面上所有素线均交于锥顶。

（a)圆锥体形成立体图

(b)圆锥体投影直观图纬圆1）圆锥的投影圆锥的投影特性水平投影是一个圆，它是圆锥面和底面的重合投影，反映底面的实形，圆心是锥顶的投影正面投影是一个三角形，它是前半个圆锥面和后半个圆锥面的重合投影。三角形的左右两边s

a

和s

b

是最左和最右两条轮廓线SA和SB的投影，这两条素线在侧面投影中与中轴线的投影重合。三角形底边是圆锥底面的积聚投影侧面投影是一个三角形，它是左半个圆锥面和右半个圆锥面的重合投影。三角形的左右两边s

d

和s

c

是最后和最前两条轮廓线SD和SC的投影，这两条素线在正面投影中与中轴线的投影重合。三角形底边是圆锥底面的积聚投影分析:当圆锥的轴线是铅垂线时,底面为水平面。圆锥体的水平投影为圆，正面投影和侧面投影为两个相等的等腰三角形。

画投影图：①画轴线、中心线；②画底圆的各面投影；③画锥顶各面投影；④画各转向素线的投影。

s'a'b'ascdbd"s"c"O1OSA

已知棱锥表面上点的投影1

、2

、3，求其它两面投影。2）在圆锥表面取点—特殊位置点

s

s

(2

)

sacbda

c

b

(d

)d

b

a

(

c

)

1

1

1

2

2

(3)

3

3

1-最左轮廓素线，侧面，水平2-最前轮廓素线，侧面，水平3-圆周上，先水平再侧面s

s

sS

2）在圆锥表面上取点—一般位置点E

ee

方法之一:素线法(e)68S

e

s

s

s方法之二:纬圆法Ee2）在圆锥表面上取点(e)Amm"1"m'1'1例：已知圆锥面上点M的V面投影，求作其H、W面投影。

圆锥表面取点

方法一：素线法辅助素线过锥顶和已知点作辅助素线辅助纬圆m'm1'2'12过已知点作辅助纬圆A方法二：纬圆法圆锥表面取点m"圆锥可见性的判别练一练练习：已知圆锥表面的点A、C的V面投影及B点的H面投影,完成其它投影。a

c

b

a

(b

)(c

)bcaa（c）b（c）aabbc练习：已知圆锥表面的点的一个投影,完成其它投影。练习：已知圆锥表面的曲线ABC的V面投影,完成其它投影。yy1

a

c

b

a

b

1

c

ab1c3.圆球球面可以看成是由一个半圆绕其自身直径旋转而成。圆球的表面是由球面围成。（a)圆球立体图

(b)圆球体投影直观图轴线纬圆

母线

1）球的投影球的3个投影为3个圆，这3个圆是球面上3个轮廓圆的投影，其中，正面投影是球面上平行于v面的最大的正平圆（前、后半球的分界线）的投影，水平投影是平行于H面的最大的水平圆（上、下半球的分界线）的投影，侧面投影是平行于W面的最大的侧平圆（左、右半球的分界线）的投影，它们所在的平面均经过球心，在其他两个面投影与对称中心线重合，它们的圆心与球心的投影（对称中心线的交点）重合。a"a'ba投影：三面投影均为圆，直径等于球的直径。画图：应先画圆的中心线，然后分别画圆。c'b'cc"b"圆球的投影n'mm"2)圆球表面上取点12方法：圆球表面取点只能用纬圆法。1'2'm'圆球表面取点已知球面上点M、N的正面投影m'

、n'

，求作其水平投影m、n和侧面投影m"

、n"

。

(n")n小结

(1)平面立体投影的作图可归结为绘制平面（立体表面）和（棱）线投影的作图。曲面立体要注意转向轮廓素线的投影和回转轴线。

(2)在立体表面上取点、取线的方法与在平面上取点、取线的方法相同。在特殊位置平面内,可利用积聚性，在一般位置平面内，可通过作辅助线的方法。

(3)回转面上取点,在圆柱表面取点可利用积聚性求取，在圆锥表面取点，可利用辅助素线或辅助纬圆法。在圆球表面取点只能利用纬圆法。截平面截交线截断面截切体

§4－2

基本形体的截切截切体：基本形体被平面截切后的不完整的基本形体；截平面：截切立体的平面；截断面：立体被截切后的断面；截交线：截平面与立体表面的交线截交线性质：(1)截交线是截平面和立体表面的共有线；(2)截交线一般是封闭的平面图形。

截交线的形状取决于:(1)立体的形状；(2)截平面与立体的相对位置。

4.2.1平面立体的截切截交线为封闭的平面折线——平面多边形。其各条边：棱面（或底面）与截平面的交线；

其各顶点：棱线（或底边）与截平面的交点。求解方法：

交点法：求平面立体的棱线与截平面之交点，再将同一棱面上的交点两两相连。

交线法：求平面立体的棱面与截平面的交线。可见性的判别：可见棱面上的截交线可见，否则不可见。截平面截交线切割体截交线截断面

分析截平面与体的相对位置

分析截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性1.空间及投影分析2.画出截交线的投影

求出截平面与被截棱线的交点，并判断可见性。

依次连接各顶点成多边形，注意可见性。3.完善轮廓。确定截交线的形状★求截交线的步骤：例三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。s’a’b’c’asbcs

a(c)b

BAⅠⅡⅢ1

2

3

1yy23

1

2

3正垂面例三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。bBAⅠⅡⅢ1

2

3

123

1

2

3例：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影3

2

1

(4

)1

●2

●4

●3

●1●2●4●★空间分析交线的形状？3●★投影分析★求截交线★分析棱线的投影★检查尤其注意检查截交线投影的类似性截平面与立体的几个棱面相交，与几条棱线相交？截交线在H、V、W面上的形状？s'a'b'c'(d')adcbss''b''(c'')a''d''例：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影例求截平面P与三棱柱的截交线。VP3

1

2

1

2

3

132PV注意：可见性的判别和各点的连接例求四棱柱切割体的H、W面投影。14

3

4

2

5

1

354

3

1

25

2

123478658"7"例

已知棱柱切割体的两投影，求H面投影。步骤：1、根据“三等关系”作出原形体的投影。2、利用积聚投影和类似形的概念，作出断面的投影。3、补全棱线的投影。1"2"3"4"5"6"6'5'8'7'4'3'1'2'例

求立体切割后的投影4

3

1

2

6

5

ⅠⅥⅤⅣⅢⅡ11

4

5

65234（6

）（2

）（3

）例：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影121

(2

)2

●1

●

注意：

要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。s'a'b'c'(d')adcbss''b''(c'')a''d''截平面P截平面QP为水平面Q为侧平面例：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影例

已知四棱锥切割体的正面投影，求其它两投影。1y2y1y2y1

2

(3

)4

(5

)6'6"4"5"3"1"2"132546注意：切口的形成及各断面的形状。步骤：1、求截交线的投影。2、求相邻截平面之交线。3、补全棱线的投影。4、判别可见性。例

已知四棱锥切割体的正面投影，求其它两投影。7811'

252'5'343'4'7'8'7"8"PV3"4"1"5"2"66'

6"

QV截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及

截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由直线和曲线围成）。(1)曲面体截交线的性质：(2)求曲面体截交线的实质：求截平面与曲面上被截各素线的交点，然后依次光滑连接。4.2.2曲面立体的截切

⒈空间及投影分析

分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置。

分析截平面与投影面的相对位置，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。⒉画出截交线的投影截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为：

光滑连接各点，并判断截交线的可见性。

先找特殊点（外形素线上的点和极限位置点）。★求截交线的步骤：确定截交线的形状确定截交线的投影特性

补充一般点。3.完善轮廓。1平面与圆柱体表面相交根据截平面的不同位置有三种情况：椭圆圆矩形PPP截平面的位置

与轴线平行与轴线垂直与轴线倾斜截交线的形状

矩形圆椭圆

立体图

投影图

例

求正垂面P截割圆柱的截交线。PV8

2

7

3

4

5

1

6

561487235(6)3(4)7(8)2

1

Y11

Pv3

7'(8')Y21'2'12345678α3'(4')5'(6')1

2

4

5

6

7

8

Y1Y22'3'(4')1'4

2

步骤：(1)求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。

(2)求一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ。

(3)连接，整理轮廓，完成全图。例

求正垂面P与圆柱的截交线。(d)连接整理3

Pv(c)求特殊点

yyyy5

3

1

2

4

9

8

7

6

例

求圆柱切割体的投影。1

2(3)739(5)68(4)126(7)4(5)8(9)2平面与圆锥体表面相交P圆P椭圆P三角形PP平行于圆锥上一条素线——抛物线PP平行于圆锥上两条素线——双曲线根据截平面的不同位置有五种情况：（二）圆锥的截交线

平面与圆锥