第312章+应变分析

金属塑性成形原理

—第三章金属塑性变形的力学基础

第2节应变分析主讲：刘华华侨大学模具技术研究中心1.位移和应变2.点的应变状态和应变张量3.塑性变形时的体积不变条件4.点的应变状态与应力状态相比较5.小应变几何方程6.应变连续方程7.应变增量和应变速率张量8.塑性加工中常用的变形量计算方法9.有限变形第2节应变分析位移

变形体内一质点在变形前后的位置移动了一定距离，即产生了位移。位移是矢量，在直角坐标系中，一点M（x,y,z）的位移矢量可用其在三个坐标轴上的投影即位移分量ux、uy、uz来表示。根据连续性假设，位移是坐标的连续函数，而且一般都有二阶偏导数，即一、位移和应变一、位移和应变变形体内无限接近两点的位移分量之间的关系设受力物体内任一点M

(x．y，z)，与M点无限接近的一点M’

(x+dx．y+dy，z+dz)

M(x,y,z)M1(x+u,y+v,z+w)位移分量：

M'(x+dx,y+dy,z+dz)M1'(x+dx+u+δu,y+dy+v+δv,z+dz+w+δw)位移分量：式中为位移增量说明，若已知变形物体内一点的位移分量，则与其邻近一点的位移分量可以用该点的位移分量及其增量来表示。将ui'按泰勒数展开变形

物体中各点位移不同而致使各点相对位置发生变化的表现。

变形单元体当单元体切取得极小时，可以认为它的变形是均匀变形，物体内原来的直线和平面在变形后仍然是直线和平面，原来相互平行的直线和平面仍将保持平行。一、位移和应变(1)一个连续体中两个质点间相对位置的变化可分为两种形式:

一种是线尺寸的伸长,缩短.---线应变或正应变一种是单元体发生歪斜.---切应变(2)对于同一变形的质点,随着切取单元体的方向不同,单元体表现出来的变形值也是不同的,因此,也需要引入“点应变状态”概念.(3)物体变形时,单元体一般同时发生平移,转动,正变形和剪变形.平移和转动本身并不代表变形,只表示刚体位移.所以,只有从单元体位置,形状和尺寸变化中除去刚性位移,才能得到纯变形.(4)物体变形时，体内所有点都产生了位移。一、位移和应变b)压缩成形P→P1

沿中心线压扁Q→Q1由于摩擦的作用，压扁且歪斜R→R1成鼓形后有明显的角度偏转a)均匀拉伸P→P1

拉长变细Q→Q1单元体取的方位不同，变形方式不同，歪斜了c)弯曲工序P→P1

缩短且转动一角度Q→Q1转动一角度，但未变形小变形物体在外力作用下产生变形，与本身几何尺寸相比是非常小的量（一般不超过10-2数量级），这种变形称做小变形。在小变形分析中，变形量的二次微量可以忽略，分析起来比较简单直观，是大变形分析的基础，因此本章只讨论小变形分析。

一个塑性变形过程可按其过程中的每一瞬时来考虑,即利用一系列小应变问题来解决大应变问题.一、位移和应变小应变当变形处于小变形时,剪应变不影响线尺寸.线元PB由原长r变成了r1=r+δr，

单位长度的变化称为线元PB的正应变.PBPAPC一、位移和应变设单元体在xy平面内发生了剪变形,线元PC和PA所夹的角∠CPA缩小了ф角,变成了∠C1PA,相当于C点在垂直于PC方向偏移了δrτ,---工程剪应变（相对切应变）---剪应变一、位移和应变切应变及刚性转动设实际偏转角为αxy,αyx,=+单元体变形=纯切应变+刚体转动一、位移和应变应变线应变（正应变）表示线长度的相对伸长或缩短量。伸长为正值，缩短为负值角应变（剪应变）表示角度变化的量。角度减小为正值，角度增加为负值应变下标的意义第一个下标表示线元的方向，第二个下标表示线元变形的方向。一、位移和应变工程应变变形前后尺寸变化量与变形前尺寸之比，通常用百分数表示假设l0为物体中两质点变形前的尺寸，ln为变形后尺寸，则工程应变表示为工程应变一般适用于变形程度较小的情况，当变形程度较大时，工程应变不足以反映物体的实际变形过程，这时要采用对数应变。一、位移和应变对数应变在实际变形过程中，假设物体中两质点的距离由变形前的l0经过n个变形过程后变为ln

，则总应变量可近似为n个无限小的相对应变之和，即当n无限增大时，则总的应变量为称为对数应变，它反映了物体变形的实际情况一、位移和应变对数应变设在单向拉伸时某试样的瞬时长度为l，在下一个瞬时，试样长度又伸长了dl，则其应变增量为试样从初始长度l0到终了长度l1，如果变形过程中主轴不变，可沿拉伸方向对进行积分，求出总应变为一、位移和应变

反映了物体变形的实际情况，称为对数应变或真实应变，它能真实地反映变形的累积过程，表示在应变主轴方向不变的情况下应变增量的总和。在大塑性变形中，主要用对数应变来反映物体的变形程度。一、位移和应变工程应变和对数应变的特性比较①对数应变能够反映物体变形的实际情况，工程应变只是在变形程度很小时近似反映物体的变形情况。从上式可以看出对数应变和工程应变的关系，即只有当变形程度很小时，工程应变才近似等于对数应变，变形程度越大，二者相差愈大。一般认为，当变形程度超过10%时，就要用对数应变来表达。一、位移和应变②对数应变具有可加性，工程应变不具有可加性。设某物体的原长度为l0，历经变形过程l1、l2到l3，则总的对数应变为各分量对数应变之和，即一、位移和应变对应的各阶段的相对应变为显然一、位移和应变③对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变。假设将试样拉长一倍，再压缩一半，则物体的变形程度相同。拉长一倍时压缩一半时因此，对数应变为可比应变。(负号表示应变方向相反)一、位移和应变考虑工程应变拉长一倍时压缩一半时因此，工程应变为不可比应变。一、位移和应变④工程应变计算简单。塑性体积不变条件用对数应变表示更准确。设变形体的原始长、宽、高分别为l0、b0、h0，变形后分别为l1、b1、h1，则体积不变条件可表示为一、位移和应变例题

例:一块长、宽、厚为120mm×36mm×0.5mm的平板，拉伸后在长度方向均匀伸长至144mm，若宽度不变时，求平板的最终尺寸。由体积不变条件得所以即所以，平板的最终尺寸为144mm×36mm×0.417mm解：根据变形条件可求得长、宽、厚方向上的的主应变（用对数应变表示)为：考察直角坐标系中一边长分别为rx、ry和rz、表面和坐标面平行的微元六面体PABC—DEFG，小变形后成为一斜平行六面体P1A1B1C1—D1E1F1G1

。

二、应变状态和应变张量图单元体的变形单元体同时发生了线变形、剪变形、刚性平移和转动。设单元体先平移至变形后的位置，然后再发生变形，其变形可以分解为：1.在x、y、z方向上，线元的长度发生改变，其线应变分别为二、应变状态和应变张量二、应变状态和应变张量2.在x面、y面和z面内，单元体发生角度偏转，其剪应变为相对位移张量为一个非对称张量，张量性质：任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。将非对称张量叠加上一个零张量二、应变状态和应变张量二、应变状态和应变张量质点的三个互相垂直方向上的9个应变分量确定了该点的应变状态。已知这9个应变分量，可以求出给定任意方向上的应变，这表明对应不同坐标系的应变分量之间有确定的变换关系。这9个应变分量组成一个应变张量，由于γij=γji

，故应变张量是二阶对称张量，可用εij表示为

或二、应变状态和应变张量小变形时，可以认为只有正应变引起边长和体积的变化，而剪应变所引起的边长和体积的变化是高阶微量，可以忽略不计。设单元体的初始边长为dx、dy、dz，则变形前的体积为

三、塑性变形体积不变条件单元体体积的变化（单位体积变化率）为

变形后的体积为

三、塑性变形体积不变条件实验指出，金属在外力作用下产生塑性变形时，其所产生的体积变形是弹性的，当外力去除之后，体积变形恢复，没有残余的体积变形，并且这种弹性的体积改变是很小的，例如弹簧钢在一万个大气压下体积缩小2.2%。因此，对于一般应力状态下的变形体，在塑性变形前后的体积变化是可以忽略的。即上式称为体积不变条件。三、塑性变形体积不变条件同理，用应变增量表示的体积不变条件为用应变速率表示的体积不变条件为

体积不变条件表明，塑性变形时三个正应变之和等于零，说明三个正应变分量不可能全部同号。

三、塑性变形体积不变条件1.主应变

存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无剪应变。用ε1、ε2

、ε3表示主应变，则主应变张量为四、点的应变状态与应力状态的比较2.应变状态特征方程存在三个应变张量不变量I1、I2、I3

应指出，塑性变形时体积不变，故I1＝0四、点的应变状态与应力状态的比较主剪应变为在与主应变方向成45°方向上存在主剪应变，其大小为若，则最大剪应变为3.主剪应变、最大剪应变四、点的应变状态与应力状态的比较4.应变张量的分解设三个正应变分量的平均值为εm，即则式中，第一项为应变偏张量，表示单元体的形状变化；第二项为应变球张量，表示单元体的体积变化。塑性变形时体积不变，εm

＝0，应变偏张量就是应变张量。四、点的应变状态与应力状态的比较5.八面体应变和等效应变以应变主轴为坐标轴，可作出八面体，八面体平面法线方向的线元的应变叫做八面体应变四、点的应变状态与应力状态的比较将八面体剪应变γ8

乘以系数，可得等效应变（广义应变、应变强度）

等效应变是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变，在屈服准则和强度分析中经常用到。四、点的应变状态与应力状态的比较单向应力状态时，主应变为ε1、ε2=ε3

。考虑塑性变形,有因而所以单向应力状态的等效应变四、点的应变状态与应力状态的比较主应变图是定性判断塑性变形类型的图示方法。主应变图只可能有三种形式6.主应变图广义拉伸：挤压和拉拔广义剪切：宽板弯曲、无限长板镦粗、纯剪切和轧制板带广义压缩：展宽的轧制和自由镦粗；四、点的应变状态与应力状态的比较主应力、主应变图示：主应力—9种；主应变—3种

[但只有23种可能的应力应变组合（塑性变形力学图），为什么？]四、点的应变状态与应力状态的比较主应力图和主应变图符号不一致的原因：由于主应力图中各主应力分量包含有引起弹性体积变化的主应力成分即球应力张量所致，而主应变图中的主应变则不包括弹性变形。从各主应力中把

m扣除，余下的应力分量（即应力偏量的分量）也只有三种，与主应变图相对应。

四、点的应变状态与应力状态的比较相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似应力应变分析的异同差异性：概念：应力

研究面元ds上力的集度应变

研究线元dl的变化情况内部关系：应力—应力平衡微分方程应变—应变连续（协调）方程

应力应变分析的异同等效关系：等效应力—弹性变形和塑性变形表达式相同等效应变—弹性变形和塑性变形表达式不相同对于弹性变形：（——泊松比）对于塑性变形：应力应变分析的异同物体变形后，体内各质点产生了位移，并因此而产生应变。位移场与应变场都是空间坐标的连续函数，因而可以用位移表示应变。

五、应变几何方程位移场几何方程应变场本构方程应力场一般情况下，位移场都比较复杂，对于某些简单且理想的场合，可通过几何关系直接求得位移场。比较边界条件五、应变几何方程图

位移分量与应变分量的关系设单元体棱边长度分别为dx、dy、dz，它在xoy平面上的投影为abdc，变形后的投影移至a1b1d1c1，a点变形后移到a1点后，所产生的位移分量为u、v，则b点和c点的位移增量为

根据图中的几何关系，可以求出棱边ac(dx)在x方向的线应变εx为棱边ab(dy)在y方向的线应变εy为五、应变几何方程由图中的几何关系可得

五、应变几何方程因为其值远小于1，所以有同理，有则有剪应变为五、应变几何方程按照同样的方法，由单元体在yOz和zOx坐标平面上投影的几何关系，得其余应变分量与位移分量之间的关系式，综合在一起为

五、应变几何方程上述六个方程表示小变形时位移分量和应变分量之间的关系，是由变形几何关系得到的，称为小应变几何方程，也叫柯西几何方程。如果物体中的位移场已知，则可由上述小应变几何方程求得应变场。五、应变几何方程五、应变几何方程柱坐标系下几何方程五、应变几何方程球坐标系下几何方程：要保证变形体的连续性，六个应变分量之间应满足一定的关系，即应变连续方程（应变协调方程、几何相容条件）。六、应变连续方程小应变几何方程在x－y坐标平面内，将几何方程式中的εx、εy分别对y、x求两次偏导数，可得两式相加，可得六、应变连续方程同理可得另外两式，连同上式，有上式表示了在每个坐标平面内应变分量之间的关系。六、应变连续方程在每个坐标平面中两个线应变一经确定则切应变也随之确定将应变几何方程中的三个剪应变等式分别对

x、y、z求偏导，得将前两式相加后减去第三式，得六、应变连续方程再将上式两边对y求偏导数，得同理可得另外两式，连同上式，有六、应变连续方程在三维空间中三切应变一经确定则线应变也随之确定不同坐标平面内，应变分量之间应满足的关系上述两个方程统称为变形连续方程或应变协调方程，它的物理意义为：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。六、应变连续方程六、应变连续方程

1.物理意义：只有当应变分量之间的关系满足上述方程时,物体变形后才连续的.否则,变形后会出现”撕裂”或”重叠”,破坏变形体的连续性.2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内三个切应变分量如果确定，则正应变分量也就可以确定；3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。讨论：例题1设一物体在变形过程中某一极短时间内的位移为试求：点Ａ（1,1,1）与点B（0.5,－1,0）的应变值。例题2设；其中a、b为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？解：此应变场为平面应变场，若成立则必须满足应变连续方程中的前三个式子。可求得代入连续方程式可解得

a=-2b全量应变的大小与变形途径有关，只有知道了变形途径，才能确定全量应变的大小。如果质点曾有过几次变形，全量应变是历次变形叠加的结果。塑性变形是不可恢复的，单元体每经过一次加载产生的塑性变形在卸载之后仍然保留下来，并作为下一次加载时的初始状态，因此，变形结束时的全量应变不一定取决于当时的应力状态。反映单元体在某一变形过程或变形过程的某个阶段终了时的变形大小的应变量。七、应变增量和应变速率张量全量应变在塑性变形过程中，物体内各质点以一定的速度运动，形成一个速度场。将质点在单位时间内的位移叫做位移速度，它在三个坐标轴方向的分量叫做位移速度分量，简称速度分量，即

七、应变增量和应变速率张量位移速度可简记为位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数，因此，有上式表示变形体内运动质点的速度场。若已知变形体内各点的速度分量，则物体中的速度场可以确定。七、应变增量和应变速率张量物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变量称为位移增量。设质点P在dt内沿路径PP＇P1从P＇移动无限小距离到达P＇，位移矢量PP＇与PP＇＇之间的差即为位移增量，记为dui。这里d为增量符号，而不是微分符号。七、应变增量和应变速率张量位移增量位移增量的速度分量为即位移增量分量可写为七、应变增量和应变速率张量变形体在产生位移增量以后，体内各质点就有了相应的无限小应变增量，用dεij表示。瞬时产生的变形可视为小变形，可以仿照小变形几何方程写出应变增量的几何方程，只需用dui代替ui、

dεij代替εij即可，即七、应变增量和应变速率张量应变增量即一点的应变增量也是二阶对称张量，称为应变增量张量，记为七、应变增量和应变速率张量注意：dεij中的d不是微分符号，dεij不表示εij的微分。应变增量是以变形瞬时的形状尺寸为起始点计算的，与以变形的起始点计算的全量应变相比，应变增量更能准确地反映物体的变形情况。物体在变形过程中某一瞬时产生的无限小应变。塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于