2024届北师大静海附属高三数学上学期12月考试卷附答案解析

届北师大静海附属高三数学上学期12月考试卷2023.12第I卷（选择题）一、单选题1．设集合，，，则（

）A． B． C． D．2．已知条件，条件，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的图象大致是（

）A．B．C．D．

4．已知，，，则（

）A． B． C． D．5．已知等比数列的首项为1，若，，成等差数列，则数列的前5项和为（

）A． B．2C． D．6．已知函数图象的最小正周期是，则（

）①的图象关于点对称②将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称③在上的值域为④在上单调递增A．①②④ B．①②③ C．②④ D．②③④7．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）1245销售额y（万元）10263549根据上表可得回归方程的约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（

）A．56万元 B．57万元 C．58万元 D．59万元9．已知函数，当时，函数恰有六个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．第II卷（非选择题）二、填空题10．i是虚数单位，若复数为纯虚数，则．11．若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为.12．已知直线被圆截得的线段长为，则．13．已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是．三、双空题14．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH内角和为1080°，若（，），则的值为；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为．

15．随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从“天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区”这6个景点中随机选择1个景点游玩，记事件为“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件为“两位游客选择的景点不同”，则，.四、解答题16．已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且．(1)求；(2)若，，求；(3)若，求的值．17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，E为CD的中点，M在AB上，且，

(1)求证：平面PAD；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为，求AF的长．18．已知椭圆的左顶点，且点在椭圆上，分别是椭圆的左､右焦点.过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求的值.19．设为等比数列，为公差不为零的等差数列，且，，.(1)求和的通项公式；(2)记的前项和为，的前项和为，证明：；(3)记，求.20．已知定义域均为的两个函数，．(1)若函数，且在处的切线与轴平行，求的值；(2)若函数，讨论函数的单调性和极值；(3)设，是两个不相等的正数，且，证明：．1．D【分析】根据一元二次不等式化简,进而由集合的交并补运算即可求解.【详解】或，由得,所以，故选：D2．B【分析】化简两个条件，即可得出结论.【详解】由题意，在中，解得：或，在中，解得：，∵可以推出，不可以推出，∴是的必要不充分条件，故选：B.3．C【分析】根据函数解析式可判断出为奇函数，其图象关于原点对称，再利用时的取值即可判断出正确选项.【详解】由函数可知，其定义域为，关于原点对称；又对于定义域内任意满足，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，因此排除B，又根据不同函数的增长速度可知，当趋近于，趋近于，而非接近于0，所以排除A；又排除D故选：C4．A【分析】注意到，，后利用指数函数，幂函数单调性可比较大小.【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，则，，.又函数在上单调递增，则，又，则.综上，.故选：A5．C【分析】设的公比为，由，，成等差数列求出，再由等比数列前和公式得的前5项和．【详解】解：设的公比为，因为，，成等差数列，所以，即，所以，所以．所以，因为，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以．故选：C．6．A【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得到函数的解析式，由正弦函数的对称性可判断①；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断②；根据的范围和正弦函数的性质直接求解可判断③；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断④.【详解】因为，函数的最小正周期是，∴，∴，，，∴关于对称，故①正确.，∴关于轴对称，故②正确.当时，有，则，所以，∴，故③错误.由，解得，所以的一个单调增区间为，而，∴在上单调递增，故④正确.故选：A.7．B【分析】确定抛物线焦点为，且，根据距离得到，得到双曲线方程.【详解】双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，故抛物线的准线方程为，即抛物线焦点为，渐近线方程过，则，双曲线的左顶点与抛物线焦点距离是，则左顶点为，即.故双曲线方程为.故选：B.8．B【分析】首先求出，然后利用样本中心点在回归方程上即可求出，然后将代入回归方程即可求解.【详解】，所以，，则，所以时，，所以销售额约为57.故选：B9．B【分析】先求出函数的表达式，再根据函数的表达式画出图象，最后根据数形结合思想求解.【详解】当时，；当时，.当时，，可得，当时，，可得，当时，，可得.画出函数在上的图象如下图所示：由上图，，函数恰有六个零点，即函数与函数有6个交点，从上图观察可知在直线与直线之间即可满足题意，此时，.故选：B【点睛】求解本题的关键，一是求出函数的表达式，二是数形结合思想的运用.10．【分析】根据复数的除法运算与概念即可得的值.【详解】,所以，所以.故答案为：.【分析】由展开式的奇数项的二项式系数和为16可得，则展开式中第项为，令可得答案.【详解】因的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则.则展开式中第项为.令可得，则的系数为.故答案为：12．【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理计算可得.【详解】圆C：，即圆心为，半径，则圆心到直线的距离，又直线被圆截得的线段长为，所以，即，解得.故答案为：13．【分析】根据函数与方程之间的关系转化两个函数图象交点个数问题，利用分段函数的表达式，结合题意将其转化为二次函数根的分布问题，利用数形结合进行求解即可．【详解】当时，，因为恰有三个不同的零点，函数在上恰有三个不同的零点，即有三个解，而无解，故.当时，函数在上恰有三个不同的零点，即，即与的图象有三个交点，如下图，当时，与必有1个交点，所以当时，有2个交点，即，即令在内有两个实数解，，

当时，函数在上恰有三个不同的零点，即，即与的图象有三个交点，如下图，

当时，必有1个交点，当时，与有2个交点，所以，即在上有根，令故，解得：.综上所述：的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数方程的应用，结合分段函数的表达式转化为两个函数交点个数问题，数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．14．【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由，列出方程组，求得，从而得到；设，则，由即可求得的最小值.【详解】，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，

正八边形内角和为，则，所以，，，，，，，，，，因为，则，所以，解得，，所以；设，则，，，则，所以，当点P在线段GH上时，取最小值．故答案为：；．15．【分析】根据古典概型概率公式求出，再由条件概率公式求解即可.【详解】由题意，两位游客从6个景点中随机选择1个景点游玩，每人都有6种不同的选法，故共有(种)不同的选法.两人都不选择天津之眼摩天轮的方法有(种)，故两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的方法共有(种)，所以故两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的概率.AB表示两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮，且两位游客选择的景点不同，即一人选择天津之眼摩天轮，另一人选择其它景点，共有(种)选法，故，所以.故答案为：；.16．(1)(2)3(3)【分析】（1）根据题意由正弦定理以及锐角三角形可得；（2）利用余弦定理解方程可得；（3）根据二倍角以及两角和的余弦公式即可计算出.【详解】（1）由于，所以，由根据正弦定理可得，所以，且三角形为锐角三角形，即所以.（2）在中，由余弦定理知，即，解得或（舍），故.（3）由，可得，所以，，即17．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由已知可得两两垂直，所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，通过向量证明线线平行，再证明线面平行即可；（2）分别求出相关平面的法向量后，再运用夹角公式计算即可；（3）根据已知条件求出点的坐标，再计算长度即可．【详解】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，E为CD的中点，M在AB上，且，所以．所以所以，所以，又，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．（2）．设平面的法向量为，则有，可取，由题意，平面的一个法向量可取，设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为，则，所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．（3）设，，即，可得，所以，又，由题意有，化简得，解得或（舍），所以，所以.18．(1)(2)【分析】（1）依题意列方程组求解即可；（2）设直线的方程为，利用韦达定理法可得，进而可得直线，的方程，可得点代入椭圆方程，即得.【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为：；（2）设直线的方程为，联立，整理可得：，所以，所以，代入直线的方程为：，所以，（i）当不垂直于轴时，，所以直线的方程为：，，直线的方程为：，联立，可得，即，又因为在椭圆上，所以，整理可得：，解得，又，解得.（ii）当轴，则，则，这时，这时，显然不垂直，综上所述：的值为.19．(1)，(2)证明见解析(3)【分析】（1）由等差数列、等比数列的基本量法求得通项公式；（2）由等差数列、等比数列的前项和公式求得后，用作差法证明；（3）并项然后裂项求和．【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，依题意，，即，解得.所以.因为，，所以，从而.（2）由（1）知，，所以.因为，所以.（3）因为，所以．20．(1)；(2)在(−∞,0),(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,的极小值为，无极大值；(3)证明见详解.【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）根据导数与函数单调性的关系，确定单调性进而可得极值；（3）根据同构和函数的单调性以及二次求导即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，又在处的切线与轴平行，所以，所以，所以，即，所以；（2）因为,所以的定义域为,，令,得,当变化时的关系如下表:01无意义0+无意义极小值所以在(−∞,0),(0,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增.所以的极小值为，为极大值；（3）证明：要证,只需证，根据,只需证，又，是两个不相等的正数，不妨设,由得,两边取指数,,化简得:，令，所以，根据（2）得在上单调递减，在上单调递增（如图所示),

由于在上单调递减,在上单