数学北师大版必修2课时作业1-7-2-1柱体与锥体的体积

课时作业11柱体与锥体的体积时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．将两个棱长为10cm的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5cm的正四棱柱，则该四棱柱的高为(B)A．8cm B．80cmC．40cm D．eq\f(16,5)cm解析：设正四棱柱的高为hcm，依题意得5×5×h＝2×103，解得h＝80(cm)．2．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为eq\r(3)，则这个圆锥的体积为(B)A．3π B．eq\f(\r(3),3)πC．eq\r(3)π D．eq\f(\r(3),2)π解析：设圆锥的底面半径为R，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h＝eq\f(\r(3),2)·2R＝eq\r(3)R，所以eq\f(1,2)·2R·eq\r(3)R＝eq\r(3)，解得R＝1.所以V＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.3．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是(D)A．eq\f(8\r(3),9) B．eq\f(4\r(3),9)C．eq\f(2\r(3),9) D．eq\f(4\r(3),9)或eq\f(8\r(3),9)解析：当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a＝eq\f(2,3)，底面面积S＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),9)，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝eq\f(4\r(3),9)；当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝eq\f(4,3)，底面面积S′＝eq\f(\r(3),4)a′2＝eq\f(4\r(3),9)，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝eq\f(8\r(3),9).所以正三棱柱的体积为eq\f(4\r(3),9)或eq\f(8\r(3),9).4．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是(A)A．eq\f(\r(3),24)πR3 B．eq\f(\r(3),8)πR3C．eq\f(\r(5),24)πR3 D．eq\f(\r(5),8)πR3解析：令母线长为l，底面半径为r，则πl＝2πr，∴l＝2r.∵l＝R，∴r＝eq\f(1,2)R.高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(R2－\f(1,4)R2)＝eq\f(\r(3),2)R.∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π·eq\f(1,4)R2·eq\f(\r(3),2)R＝eq\f(\r(3),24)πR3.5．已知直角三角形两直角边长分别为a、b，分别以这两个直角边为轴，旋转所形成的几何体的体积比为(B)A．ab B．baC．a3b3 D．b3a3解析：以a为轴的几何体的体积为eq\f(πb2a,3)，以b为轴的几何体的体积为eq\f(πa2b,3)，∴体积比为bA．6．设正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的eq\f(1,2)，则它的体积是原来的(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,16) D．eq\f(1,32)解析：∵V＝eq\f(1,3)·S·h，h′＝eq\f(1,2)h，S′＝eq\f(1,4)S，∴eq\f(V′,V)＝eq\f(1,8).7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体体积为(D)A．eq\f(2,3) B．eq\f(7,6)C．eq\f(4,5) D．eq\f(5,6)解析：每个截去的小三棱锥体积为eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2))4，则剩余部分的体积为V＝1－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2))4×8＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).8．《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈eq\f(2,75)L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(B)A．eq\f(22,7) B．eq\f(25,8)C．eq\f(157,50) D．eq\f(355,113)解析：V＝eq\f(1,3)πr2h≈eq\f(2,75)L2h，而L＝2πr，则π＝eq\f(25,8).二、填空题9．一个长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为eq\r(6).解析：设长方体的棱长分别为a，b，c，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝eq\r(6).10．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为eq\f(\r(3),3)π.解析：本题考查圆锥的侧面积、体积以及圆锥中基本量的关系、运算，只需求出基本量代入公式即可．设圆锥底面半径为r，母线长为l，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πr2＝π,\f(1,2)×2πr×l＝2π))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1,l＝2))，∴圆锥的高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.11．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为eq\f(\r(2),12)a3.解析：∵BA＝BC＝BD，∴B点在面ACD上的射影为△ACD的外心，即等腰Rt△ADC斜边中点O，OD＝eq\f(\r(2),2)a，∴OB＝eq\f(\r(2),2)a，∴V＝eq\f(1,3)a2·eq\f(\r(2),2)a×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),12)a3.三、解答题12．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥A－A1BD的体积及高．解：(1)V三棱锥A1－ABD＝eq\f(1,3)S△ABD·A1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AB·AD·A1A＝eq\f(1,6)a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1－ABD＝a3－eq\f(1,6)a3＝eq\f(5,6)a3.(2)V三棱锥A1－ABD＝V三棱锥A1－ABD＝eq\f(1,6)a3.设三棱锥A－A1BD的高为h，则V三棱锥A1－ABD＝eq\f(1,3)·S△A1BD·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)(eq\r(2)a)2h＝eq\f(\r(3),6)a2h，故eq\f(\r(3),6)a2h＝eq\f(1,6)a3，解得h＝eq\f(\r(3),3)A．13．如图所示，圆锥的轴截面为等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点．(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2eq\r(3)，求此圆锥的体积．解：(1)证明：连接OC，∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，∴QB⊥SC，QB⊥OC，∴QB⊥平面SOC．∵OH平面SOC，∴QB⊥OH.又OH⊥SC，∴OH⊥平面SBQ.(2)连接AQ，∵Q为底面圆周上一点，AB为直径，∴AQ⊥QB．在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2eq\r(3)，∴AB＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4.∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝eq\f(1,2)AB＝2.∴V圆锥＝eq\f(1,3)π·OA2·SO＝eq\f(8,3)π.——能力提升类——14．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积(D)A．与定点E，F的位置有关B．与点Q的位置有关C．与点E，F，Q的位置有关D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值解析：因为点Q到平面A′EF的距离为正方体的棱长4，A′到EF的距离为正方体的棱长4，所以VA′－QEF＝VQ－A′EF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×4＝eq\f(16,3)，是定值，因此与点E，F，Q的位置均无关．15．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝eq\f(π,2).(1)证明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝eq\r(5)，求三棱锥C1－ABA1的体积．解：(1)证明：如图，连接AB1，∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝eq\f(π,2)，∴