《数学分析1》理论课程教学大纲

PAGEPAGE13《数学分析1》教学大纲课程名称数学分析1课程代码04031102课程性质及类别性质：□通识教育课程R学科专业基础课程□职业发展课程□教师教育课程类别：R必修□选修课程学分与学时4.5学分/72学时（课堂讲授72学时，实验实践0学时，自主学习0学时）先修课程无适用专业金融数学开设学期第1学期一、课程教学目标与任务通过本课程的学习，学生应达到以下几方面的目标：知识方面：掌握数学分析的基本概念，了解数学分析的发展历史，掌握科学的数学思想和方法。理解数学分析基本理论，掌握数学分析的论证方法，具备严谨的数学语言表达。【毕业要求1】能力方面：培养学生较熟练的演算技能和初步的应用能力、抽象思维、逻辑推理能力、空间想象能力以及计算能力，养成反思和独立思考的习惯，为后继课程学习打下坚实的基础。【毕业要求2】素质方面：培养学生运用数学分析思想方法，结合金融学、计算机科学方面的专业知识去分析和解决问题的能力，领悟和体会数学在此过程中起到的作用，提高数学思维能力，具备一定的科研能力，适应新世纪新环境下对新科技发展的需求。【毕业要求3】二、教学内容与学时分配《数学分析1》第一章实数集与函数(4学时)第一节实数一、本节重点、难点1．实数的性质2．基本三角形不等式二、主要内容及学时分配1．实数及其性质2．绝对值与不等式（1学时）第二节数集确界定理一、本节重点、难点1．上下确界的定义2．确界原理及推广的确界原理二、主要内容及学时分配1．区间与邻域2．有界集与确界原理（1学时）第三节函数概念一、本节重点、难点1．函数的概念与性质2．基本初等函数的定义二、主要内容及学时分配1．函数的定义2．函数的表示法3．函数的四则运算4．复合函数5．反函数6．初等函数（1学时）第四节具有某些特征的函数一、本节重点、难点1．具有某些特征的函数二、主要内容及学时分配1．有界函数）2．单调函数3．奇函数和偶函数4．周期函数（1学时）第二章数列极限(6学时)第一节数列极限概念一、本节重点、难点1．数列收敛的定义2．数列极限的几何意义二、主要内容及学时分配1．数列极限的概念及几何意义（1学时）2．无穷小量、无穷大量的概念（1学时）第二节收敛数列的性质一、本节重点、难点1．收敛数列的重要性质二、主要内容及学时分配1．数列极限的唯一性、有界性、保号性（1学时）2．数列极限的单调性、迫敛性、四则运算法则（1学时）第三节数列极限存在的条件一、本节重点、难点1．柯西收敛定理二、主要内容及学时分配1．单调有界定理（1学时）2．柯西收敛定理（1学时）第三章函数的极限(8学时)第一节函数极限的概念一、本节重点、难点1．X趋于∞时函数的极限2．X趋于x0二、主要内容及学时分配1．X趋于∞时函数的极限（1学时）2．X趋于x0时函数的极限第二节函数极限的性质一、本节重点、难点1．函数极限的性质二、主要内容及学时分配1．函数极限的唯一性、有界性、局部保号性（1学时）2．函数极限的单调性、迫敛性、四则运算法则（1学时）第三节函数极限存在的条件一、本节重点、难点1．柯西准则二、主要内容及学时分配1．归结原则（1学时）2．柯西准则（1学时）第四节两个重要极限一、本节重点、难点1．两个重要极限二、主要内容及学时分配1．证明及其变形（1学时）2．证明及其变形（1学时）第五节无穷小量与无穷大量一、本节重点、难点1．无穷小量阶的比较2．曲线的渐近线二、主要内容及学时分配1．无穷小量2．无穷小量阶的比较（1学时）3．无穷大量4．曲线的渐近线（1学时）第四章函数的连续性(6学时)第一节连续性的概念一、本节重点、难点1．函数在一点连续的定义2．间断点的定义及其分类二、主要内容及学时分配1．函数在一点的连续性（1学时）2．间断点及其分类3．区间上的连续函数（1学时）第二节连续函数的性质一、本节重点、难点1．最值定理、介值性定理2．一直连续性二、主要内容及学时分配1．连续的函数的连局部性质（1学时）2．闭区间上连续函数的基本性质（1学时）3．反函数的连续性4．一致连续性（1学时）第三节初等函数的连续性一、本节重点、难点1．初等函数的连续性二、主要内容及学时分配1．指数函数的连续性2．初等函数的连续性（1学时）第五章导数与微分(8学时)第一节导数的概念一、本节重点、难点1．导数的定义2．导数的几何意义二、主要内容及学时分配1．导数的定义（1学时）2．导函数3．导数的几何意义（1学时）第二节求导法则一、本节重点、难点1．反函数的导数2．复合函数的导数二、主要内容及学时分配1．导数的四则运算2．反函数的导数3．复合函数的导数4．基本求导法则与公式（1学时）第三节参变量函数的导数一、本节重点、难点1．参变量函数的求导公式二、主要内容及学时分配1．光滑曲线2．参变量函数的导数（1学时）第四节高阶导数一、本节重点、难点1．二阶导数、高阶导数的定义2．含参变量函数的二阶导数二、主要内容及学时分配1．二阶导数、高阶导数2．莱布尼兹公式（1学时）3．含参变量的二阶导数（1学时）第五节微分一、本节重点、难点1．微分的概念及其几何意义2．微分的应用二、主要内容及学时分配1．微分的概念2．微分的运算法则（1学时）3．高阶微分4．微分在近似计算中的应用（1学时）第六章微分中值定理及其应用(12学时)第一节拉格朗日定理和函数的单调性一、本节重点、难点1．拉格朗日中值定理及其应用二、主要内容及学时分配1．罗尔定理2．拉格朗日中值定理（1学时）3．利用导数判定单调性4．达布定理（1学时）第二节柯西中值定理和不定式极限一、本节重点、难点1．不定式极限的运算二、主要内容及学时分配1．柯西中值定理（1学时）2．不定式极限后（2学时）第三节泰勒公式一、本节重点、难点1．泰勒公式2．麦克劳林公式二、主要内容及学时分配1．带有佩亚诺型余项的泰勒公式（1学时）2．带有拉格朗日型余项的泰勒公式3．在近似计算上的应用（1学时）第四节函数的极值与最大（小）值一、本节重点、难点1．极值的充分条件2．最值的判断二、主要内容及学时分配1．极值判别（1学时）2．最大值与最小值（1学时）第五节函数的凸性与拐点一、本节重点、难点1．凹函数、凸函数的定义2．拐点的判断二、主要内容及学时分配1．凸函数和拐点的定义（1学时）2．判定凸函数和求函数的拐点的方法（1学时）第六节函数图像的讨论一、本节重点、难点1．作图的方法二、主要内容及学时分配1．作图的方法2．作图的步骤（1学时）第八章不定积分(10学时)第一节不定积分概念与基本积分公式一、本节重点、难点1．不定积分的定义2．不定积分的几何意义二、主要内容及学时分配1．原函数与不定积分2．基本积分表（2学时）第二节换元积分法与分部积分法一、本节重点、难点1．第一换元积分法、第二换元积分法2．分部积分法二、主要内容及学时分配1．第一换元积分法（1学时）2．第二换元积分法（1学时）3．分部积分法（1学时）第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分一、本节重点、难点1．部分分式分解2．递推公式二、主要内容及学时分配1．有理函数的不定积分（2学时）2．三角函数有理式的不定积分（1学时）3．某些无理根式的不定积分（1学时）第九章定积分(10学时)第一节定积分概念一、本节重点、难点1．定积分的几何意义二、主要内容及学时分配1．问题提出（1学时）2．定积分的定义（1学时）第二节牛顿莱布尼茨公式一、本节重点、难点1．牛顿、莱布尼茨公式二、主要内容及学时分配1．牛顿、莱布尼茨公式2．用公式计算定积分（1学时）第三节可积条件一、本节重点、难点1．可积条件二、主要内容及学时分配1．可积的必要条件2．可积的充分条件（1学时）3．可积函数类（1学时）第四节定积分的性质一、本节重点、难点1．定积分的性质2．积分中值定理二、主要内容及学时分配1．定积分的基本性质（1学时）2．积分中值定理（1学时）第五节微积分学基本定理定积分的计算（续）一、本节重点、难点1．原函数存在定理2．换元积分法与分部积分二、主要内容及学时分配1．变限积分与原函数的存在性（1学时）2．换元积分法与分部积分（1学时）3．泰勒公式的积分型余项（1学时）第十章定积分应用（4学时）第一节平面图形的面积一、本节重点、难点1．平行图形的面积计算二、主要内容及学时分配1．直角坐标系下所谓图形面积计算公式2．参数方程所围图形面积计算公式3．极坐标下所谓图形面积计算公式（1学时）第二节由平行截面面积求体积一、本节重点、难点1．旋转体体积公式二、主要内容及学时分配1．由平行截面面积求体积2．旋转体体积公式（1学时）第三节平面曲线的弧长与曲率一、本节重点、难点1．曲率二、主要内容及学时分配1．平面图形的弧长2．曲率（1学时）第四节旋转曲面的面积一、本节重点、难点1．微元法二、主要内容及学时分配1．微元法2．旋转曲面的面积（1学时）第十一章反常积分（4学时）第一节反常积分的概念一、本节重点、难点1．无穷积分、瑕积分的定义二、主要内容及学时分配1．问题提出2．两类反常积分的定义（1学时）第二节无穷积分的性质与计算一、本节重点、难点1．无穷积分的性质2．非负无穷积分的敛散判别法二、主要内容及学时分配1．无穷积分的性质（1学时）2．非负函数无穷积分的敛散判别法3．一般无穷积分的敛散判别法（1学时）第三节瑕积分的性质与计算一、本节重点、难点1．瑕积分的性质2．非负函数瑕积分收敛的判别法二、主要内容及学时分配1．瑕积分的性质2．非负函数瑕积分收敛的比较原则及其推论（1学时）三、教学方法与手段数学分析的教学方法：根据具体的课程内容，灵活使用教师精讲，学生细读与自学相结合，教师指导下的学生讨论等多种方法。教学组织形式：采取单班教学，主要以教师课堂讲授为主，学生课外自学为辅，课后自主讨论、巩固练习相结合的教学组织形式。教学手段：根据课程具体内容适当利用多媒体课件，采用计算机辅助教学。四、课程考核方式1.过程考核：过程成绩占课程成绩的30%，包括课堂表现、出勤情况、作业成绩等。作业：围绕课程的学习目标进行作业的布置：如让学生加深对知识的认识，考察学生对于概念的理解情况，帮助学生将定义转化为自己的理解，占课程成绩的20%。课堂表现评价：通过学生在课堂上的表现情况、发言与提问情况，来评价学生相关的能力，占课程成绩的5%。出勤情况：通过学生每堂课的出勤，以及迟到、早退情况来评价，占课程成绩的5%。2.期末考核：理论笔试，考试内容为当学期所学知识,基本知识占80%,有一定技巧的占20%,集中闭卷，考试时间2小时，考试成绩占课程成绩的70%。五、其他（一）作业及自主学习要求作业要求：作业分成必做题和选做题两部分，必做题要求学生必须人人必须完成并且掌握，选做题作为扩展学习部分，学生可根据自己的实际情况，灵活掌握。作业每周分组交替上交。自主学习要求：由于本课程是学生进入大学的第1门专业基础课程，必须打下坚实的基础，所以要求学生除了学习好教材的知识以外，还要在参考书目中选读至少两本，做好读书笔记，撰写读书心得。（二）课程资源1.建议教材《数学分析》，华东师范大学数学科学学院编，高等教育出版社，2019年5月第五版。2．主要参考书（1）《数学分析》，徐森林等编，清华大学出版社，2006年第二版。（2）《数学分析》，陈纪修等编，高等教育出版社，2004年第二版。（3）《数学分析》，A.卓里奇著，高等教育出版社，2006年第四版。（4）《AdvancedCalcul