2024年中考数学总复习第五部分真题分类汇编第五章四边形第2节矩形、菱形与正方形第2课时菱形

5.2矩形、菱形与正方形一、选择题1.(2023·江苏泰州)菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°,则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为()A.3-√3B3.(2023·湖南湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为()A.20°B.60°4.(2023·广东深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,A.50°B.60°C.80°6.(2022.广西河池)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是()A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠DAC=∠BAC7.(2022·贵州贵阳)如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是()A.40°B.60°C.80°8.(2022.四川自贡)如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(-2,5),则点C的坐标为()A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2,-5)AB=2,BC=4,则四边形EFGH的面积为()A.2B.411.(2022.海南)如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F,若BF:CE=1:2,EF=√7,则菱形ABCD的边长是()12.(2022·内蒙古鄂尔多斯)如图，菱形ABCD中，AB=2√3,∠ABC=60°,矩形BEFG的边E且点G在边AD上，若BG=4,则BE的长为()二、填空题13.(2023·山东临沂)若菱形的两条对角线长分别为6和8,则该菱形的面积为_.14.(2023·山东济南)如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP16.(2023.福建)如图，在菱形ABCD中，AB=10,∠B=60°,则AC的长为._17.(2023·黑龙江牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，AB=2,A(1,0),∠DAB=60°,将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB₁C₁D₁,则点C₁的坐标是18.(2023·湖北十堰)如图，在菱形ABCD中，点E,F,G,HCG=AH,若菱形的面积等于24,BD=8,则EF+GH=分别是AB,BC,CD,AD上的点，且BE=BF=19.(2022.内蒙古通辽)菱形ABCD中，对角线AC=8,BD=6,则菱形的边长为20.(2022.四川达州)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的21.(2022.四川乐山)已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm.则菱形的面积为_22.(2022·辽宁丹东)如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC=60°,对角线AC与BD交于点0,点E,F分别是线段AB,AC上的动点(不与端点重合),且BE=AF,BF与CE交于点P,延长BF交边AD (或边CD)于点G,连接OP,OG,则下列结论：①△ABF≌△BCE;②当BE=2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1:3;③当BE=4时，BE:CG=2:1;④线段OP的最小值为2V5-2√3.其中正确的是.(请填写序号)②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后，24.(2022.贵州铜仁)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°,延长BC到E,在∠DCE内作射钱CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为F,若DF=V6,则BD的长为(结果保留很号).25.(2022.广东)菱形的边长为5,则它的周长为作ME⊥BD,NF⊥BD,垂足分别为E、F,则ME+NF若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM=BN,的值为27.(2022·辽宁铁岭)如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC,BC的平行线，交BC于点E,交AC于点F,若∠ACB=60°,CD=4V3,则四边形CEDF的周长是_.28.(2022·辽宁营口)如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是.(写出一个即可)29.(2022·黑龙江齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足为O,ABⅡCD,要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是.(只需写出一个条件即可)31.(2022.贵州黔东南)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE/IAC,CE//BD.若A32.(2023-·山东菏泽)(1)如图1,在矩形ABCD中，点E,F证：△ADE~△DCF.【问题解决】(2)如图2,在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连【类比迁移】(3)如图3,在菱形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,33.(2023-山东日照)如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE,DE,且BE=DE.(2)若AB=10,tan∠BAC=2,求四边形ABCD的面积.34.(2022.浙江衢州)如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F,BG平分∠CBE交DE于点G.①求菱形ABCD的面积.②求tan∠BDE的值.由并求出ET的值.的大小发生变化时(0⁰<∠DAB<180°),在AE上找一点T,使GT为定值，说明理35.(2022.青海西宁)如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.36.(2022.青海)如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合),连接DE并延长交射线AB于点F,连接BE.(2)试推断四边形ODFC的外形，并写出证明过程.39.(2022·湖南郴州)如图，四边形ABCD是菱形，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF,连接BF.FD,DE,EB.求证：四边形DEBF是菱形.40.(2022·湖南邵阳)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,点E,F在对角线BD上，且BE=DF,0E=0A.求证：四边形AECF是正方形.41.(2022·江苏连云港)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E,使DE=AD,且BE⊥DC.(1)求证：四边形DBCE为菱形；(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值.42.(2022.浙江金华)如图，在菱形ABCD中，点E从点B动身沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F,在EF的右侧作矩形EFGH.图1图2(备用)(1)如图1,点G在AC上.求证：FA=FG.(2)若EF=FG,当EF过AC中点时，求A(3)已知FG=8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G,C,H为顶点的三角形与△BEF相像(包括全等)?43.(2022·山东滨州)如图，菱形ABCD的边长为10,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O,点E在对角线BD上，连接AE,作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F.44.(2022·北京)如图，在BABCD中，(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；45.(2022·山东临沂)已知△ABC是等边三角形，点B,D关于直线AC对称，连接AD,CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点P(端点除外),连接PD.将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处.请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化?说明理由.(3)在满足(2)的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明.46.(2022辽宁沈阳)如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，分别以点A,D为半径作弧，两弧交于点M,N,作直线MN,分别交AB,AD,AC于点E,O,F,连接DE,DF.图1图2(1)将两张长为8,宽为4的矩形纸片如图1叠放.(2)如图2,在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB=2√5,BC=7,CF=√5,求四边形AGCH的面积.48.(2022.广西玉林)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,点E是DC边上的任一点(不包括端点D,C),过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F,设DE=a.(1)求BF的长(用含a的代数式表示);49.(2022·湖南岳阳)如图，点E,F分别在OABCD的边AB,BC上，AE=CF,个条件：①∠1=∠2;②DE=DF;③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使团ABCD为菱形.50.(2022.四川广元)如图，在四边形ABCD中，ABIICD,AC(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AB=AC,推断四边形ACDE的外形，并说明理由.①作线段BC的垂直平分线MN,交AB于点D,②在直线MN上截取OE,使OE=OD,连接CD,BE,CE.(保留作图痕迹)(2)猜想证明：作图所得的四边形BECD是否为菱形?并说明理由.53.(2023·湖南郴州)如图，四边形ABCD是平行四边形.(1)尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹);(2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点，求证：四边形AFCE是菱形54.(2023·湖南张家界)如图，已知点A,D,C,B在同一条直线上，且AD=BC,AE=BF,CE=DF.(2)若DF=FC时，求证：四边形DECF是菱形.55.(2023·浙江台州)如图，四边形ABCD中，ADIIBC,∠A=∠C,BD为对角线.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形.(2)已知AD>AB,请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF,顶点E,F分别在边BC,AD上(保留作图痕迹，不要求写作法).56.(2023-湖南怀化)如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.F57.(2023·江西)课本再现思考我们知道，菱形的对角线相互垂直.反过来，对角线相互垂直的平行四边形是菱形吗?对角线相互垂直的平行四边形是菱形.过程.(2)学问应用：如图2,在团ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,AD=5,AC=8,BD=6.图260.(2023·辽宁鞍山)如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证：四边形BFDE是菱形.62.(2022·山东聊城)如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CFIAB,交DE(2)连接AF,CD.假如点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论.63.(2023·浙江台州)如图，四边形ABCD中，ADIBC,∠A=∠C,BD为对角线.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形.(2)已知AD>AB,请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF,顶点E,F分别在边BC,AD上(保留作图痕迹，不要求写作法).1.(2023·江苏泰州)菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°,则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为()A.3-√3B.2-γ3积=3-√3.【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面∵重叠部分的面积=SABC-S△D'EC,②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°,同①方法可得重叠部分的面积=3-√3,【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键.【答案】D【分析】由题意可得∠FBG=∠DAB=α,由菱形的性质可得AD|BC,∠ABD=∠CBD=α+β,由平行线的性质可得∠DAB+∠ABC=180°,进行计算即可得到答案.【详解】解：依据题意可得：∠FBG=∠DAB=a,【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的性质，娴熟把握菱形的性质、平行线的性质，是解题的关键.3.(2023·湖南湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为()A.20°B.60°C.70°【分析】依据菱形的性质可得BD⊥AC,ABIICD,则∠1=∠ACD,∠ACD+∠2=90°,进而即可求解.【点睛】本题考查了菱形的性质，娴熟把握是菱形的性质解题的关键.4.(2023·广东深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()A.1B.2【答案】B【分析】首先依据平行四边形的性质得到CD=AB=4,然后依据菱形的性质得到EC=CD=4,然后求解即可.【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等学问，解题的关键是娴熟把握以上学问点.A.50°B.60°C.80°【分析】由翻折的性质知∠BAE=∠B'AE=50°,AB'=AB,再由菱形的性质得∠BAD=120°,AB'=AD,最终利用三角形内角和定理可得答案.【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°,关键.6.(2022.广西河池)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是()A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BD【答案】C【分析】依据菱形的性质逐项分析推断即可求解.【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，不能得出AC=BD,故C选项不正确，【点睛】本题考查了菱形的性质，把握菱形的性质是解题的关键.7.(2022·贵州贵阳)如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是()A.40°B.60°【答案】C【分析】依据两直线平行，内错角相等可得出答案.【详解】解：∵纸片是菱形∴对边平行且相等∴∠1=80°(两直线平行，内错角相等)【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是要知道两直线平行，内错角相等.8.(2022.四川自贡)如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(-2,5),则点C的坐标为()A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2【答案】B故选C.【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，娴熟把握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点AB=2,BC=4,则四边形EFGH的面积为()A.2B.4【答案】B一半即可得到答案.。【点睛】此题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等学问，娴熟把握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键.10.(2022·湖北武汉)由4个外形相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A,B,C都在格点上，∠O=60°,则tan∠ABC=()【答案】C【分析】证明四边形ADBC为菱形，求得∠ABC=30°,利用特殊角的三角函数值即可求解.【详解】解：连接AD,如图：∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°,【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，特殊角的三角函数值，证明四边形ADBC为菱形是解题的关键.11.(2022.海南)如图，菱形ABCD中，点E是边CD的中点，EF垂直AB交AB的延长线于点F,若BF:CE=1:2,EF=V7,则菱形ABCD的边长是()设BF=x,CE=2x,由菱形的性质表示出BC=4x,【分析】过C作CM⊥AB设BF=x,CE=2x,由菱形的性质表示出BC=4x,BM=3x,依据勾股定理列方程计算即可.【详解】过C作CM⊥AB延长线于M,∴四边形EFMC是矩形【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于生疏各个学问运用.属于拔高题.且点G在边AD上，若BG=4,则BE的长为()矩形BEFG的边EF经过点C,【答案】B【分析】过点G作GM⊥BC于点M,过点C作CN⊥AD于点N,由菱形的性质得出AB=BC=CD=2V3,AD=BC,∠ABC=∠D=60°,AD//BC,由直角三角形的性质求出MG=3,证明△GBM∽△BCE,由相像三角形的性质得出,则可求出答案.【详解】解：过点G作GM⊥BC于点M,过点C作CN⊥AD于点N,图1∵四边形ABCD为菱形，【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，相像三角形的判定与性质，熟练把握菱形的性质是解题的关键.二、填空题13.(2023-山东临沂)若菱形的两条对角线长分别为6和8,则该菱形的面积为_.【答案】24的面积.【详解】解：如图：菱形ABCD中AC=8,BD=6,故答案为：24.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是娴熟把握菱形和折叠的性质，正确画出帮助线，构造直角三角形求解.15.(2023·陕西)点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°,连接AE,则∠BAE的度数为.【分析】连接BE,依据中心对称图形的定义得出点E是菱形ABCD的两对角线的交点，依据菱形的性质得出AE⊥BE,,那么∠BAE=90°-∠ABE=62°。【详解】解：如图，连接BE,【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，把握菱形的两条对角线相互垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键.16.(2023.福建)如图，在菱形ABCD中，AB=10,∠B=60°,则AC的长为.【分析】由菱形ABCD中，∠B=60°,易证得△ABC是等边三角形，依据等边三角形的性质即可得解.【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，故答案为：10.【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键.17.(2023·黑龙江牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，AB=2,A(1,0),∠DAB=60°,将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB₁C₁D₁,则点C的坐标是【分析】分两种状况：当绕点A顺时针旋转90°后，当绕点A逆时针旋转90°后，利用菱形的性质及直角三角形30度角的性质求解即可.【详解】解：当绕点A顺时针旋转90°后，如图，延长C₁D₁交x轴于点E,当绕点A逆时针旋转90°后，如图，延长C₂D₂交x轴于点F,【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，正确理解菱形的性质及旋转的性质是解题的关键.18.(2023·湖北十堰)如图，在菱形ABCD中，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD上的点，且BE=BF=CG=AH,若菱形的面积等于24,BD=8,则EF+GH=【答案】6【分析】连接AC,交BD于点O,由题意易得AC=6,AC⊥BD,AO=3,BO=4,则有AB=AD=5,然后可得EFⅡACⅡGH,设BE=BF=CG=AH=a,则有DH=5-a,进而依据相像三角形的性质可进行求解.【详解】解：连接AC,交BD于点O,如图所示：∵四边形ABCD是菱形，BD=8,同理可得GHAC,设BE=BF=CG=AH=a,则有DH=5-a,∴△BEF~△BAC,故答案为6.【点睛】本题主要考查相像三角形的性质与判定及菱形的性质，娴熟把握菱形的性质及相像三角形的性质与判定是解题的关键.19.(2022.内蒙古通辽)菱形ABCD中，对角线AC=8,BD=6,则菱形的边长为【答案】5【分析】依据菱形的性质得到AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,从而得出AO=4,BO=3,最终依据勾股定理即可求出菱形的边长.【详解】解：如图，∴菱形的边长为5,故答案为：5.【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，娴熟把握菱形的性质和勾股定理是解题的关键.20.(2022.四川达州)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周长为·【答案】52在Rt△ABO中，AB=VOA²+OB²,∴菱形ABCD的周长=4AB=52.故答案是：52.【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等学问，把握菱形的对角线相互垂键.21.(2022.四川乐山)已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm。则菱形的面积为【答案】24故答案为：24.【点睛】本题考查菱形的面积，熟记菱形的面积公式是解题的关键.22.(2022·辽宁丹东)如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC=60°,对角线AC与BD交于点O,点E,F分别是线段AB,AC上的动点(不与端点重合),且BE=AF,BF与CE交于点P,延长BF交边AD (或边CD)于点G,连接OP,OG,则下列结论：①△ABF≌△BCE;②当BE=2时，边形OCDG面积之比为1:3;③当BE=4时，BE:CG=2:1;④线段OP的最小值为2V5-2√3.其中正确的是.(请填写序号)③依据AB//CD得出从而得出CG=3,于是BE:CG=4:3;④可推出∠BPC=120°,从而得出点P在以等边三角形BCH的外接圆的BC上运动，当点O、P、1共线时，OP最小.△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1:3;③如图1,④如图2,作等边三角形△BCH,作△BCH的外接圆I,则点P在⊙I上运动，故④不正确，故答案为：①②.【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相像三角形的判定和性质，解直角三角形，确定圆的条件等学问，解决问题的关键娴熟把握“定弦对定角”等模型.23.(2022·山东青岛)图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完善结合，在平面上制造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后，再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是°.【答案】60【分析】先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出∠ABC的度数.故答案为：60.【点睛】本题考查了菱形的性质与同学读题审题的力量，解题关键是理解题意，求出∠BAD的度数.24.(2022·贵州铜仁)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°,延长BC到E,在∠DCE内作射钱CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为F,若DF=V6,则BD的长为(结果保留很号).【答案】2V6【分析】连接AC交BD于H,证明△DCH≌△DCF,得出DH的长度，再依据菱形的性质得出BD的长度.【详解】解：如图，连接AC交BD于点H,由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°,∠DCE=80°,∠DHC=90°,∴DH=DF=V6,【点睛】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线相互平分是此题的关键学问点，得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点.25.(2022.广东)菱形的边长为5,则它的周长为【答案】20【分析】依据菱形的四条边相等，即可求出.【详解】∵菱形的四条边相等.∴周长：5×4=20,故答案为：20.【点睛】本题考查菱形的性质；娴熟把握菱形的性质是本题解题关键.△BFN,从而得NF=AG,ME=OG,即NR+ME=AO,运用勾股定理求出AO的长即可.【详解】解：连接AC交BD于点O,如图，∵四边形ABCD是菱形，过点M作MG//BD交AC于点G,又NF⊥BD【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出帮助线构造27.(2022.辽宁铁岭)如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC,BC的平行线，交BC于点E,【分析】连接EF交CD于O,先证明四边形CFDE为菱形，从而求出CO的长度，然后依据余弦定义求出CE即可得出答案.,∴四边形CEDF的周长是4CE=4×4=16,故答案为：16.【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，余弦的定义等学问，解题的关键是推断出四边形CEDF为菱形.是菱形，这个条件可以是.(写出一个即可)【答案】AB=BE(答案不唯一)【分析】由题目供应的条件可以得到四边形ABED是平行四边形，再添加一个条件使其成为菱形即可.【详解】解：添加AB=BE,【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、平移的性质，证明四边形ABED是平行四边为菱形，应添加的条件是.(只需写出一个条件即可)【答案】AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等(只需写出一个条件即可)【分析】由菱形的判定方法进行推断即可.故答案为：AB=CD或ADI/BC或OA=OC或OB=OD等.(只需写出一个条件即可)角线相互垂直的平行四边形为菱形”,是解题的关键.30.(2023.黑龙江齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AC⊥BD于点0,请添加一个条件；使四边形ABCD成为菱形.【答案】ADIBC(答案不唯一)【分析】依据题意，先证明四边形ABCD是平行四边形，依据AC⊥BD,可得四边形ABCD成为菱形.【详解】解：添加条件ADIBC∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD成为菱形.添加条件AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD成为菱形.添加条件0B=OD∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD成为菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，娴熟把握菱形的判定定理是解题的关键.31.(2022·贵州黔东南)如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE//AC,CE//BD.若AC=10,则【答案】20【分析】首先由四边形ABCD是矩形，依据矩形的性质，易得OC=OD=5,由CE//BD,DE//AC,可证得四边形CODE是平行四边形，又可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案.∴四边形CODE的周长为：40C=4×5=20.故答案为20.【点睛】本题考查菱形的判定与性质以及矩形的性质.此题难度不大，留意证得四边形CODE是菱形是解题关键.三、解答题32.(2023·山东菏泽)(1)如图1,在矩形ABCD中，点E,F证：△ADE~△DCF.分别在边DC,BC上，AE⊥DF,垂足为点G.求【问题解决】(2)如图2,在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连【类比迁移】(3)如图3,在菱形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,求CF的【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3【分析】(1)由矩形的性质可得∠ADE=∠90°,则∠CDF+∠AED=90°,依据等角的余角相等得∠AED=∠DFC,即可得证；△DCH,则∠DHC=∠DFC,由正方形的性质可得ADIBC,依据平行线的性质，即可得证；(3)延长BC到点G,使CG=DE=8,连接DG,由菱形的性质可得AD=DC,ADIBC,则∠ADE=∠DCG,推出△ADE=△DCG(SAS),由全等的性质可得∠DGC=∠AED=60°,DG=AE,进而推出△DFG是等边三角形，再依据线段的和差关系计算求解即可.【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE~△DCF;(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴△ADE=△DCF(HL),∴△DCF=△DCH(SAS),(3)解：如图，延长BC到点G,使CG全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，娴熟把握这些学问点并机敏33.(2023·山东日照)如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE,DE,且BE=DE.【分析】(1)如图所示，连接BD与AC交于O,先由平行四边形对角线相互平分得到OB=OD,再利用SSS证(2)先由菱形的性质得到AC⊥BD,AC=20A,BD=20B,再解Rt△AOB,得到OB=20A,利用勾股【详解】(1)证明：如图所示，连接BD与AC交于O,(2)解：∵四边形ABCD是菱形，【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，解直定，勾股定理等等，机敏运用所学学问是解题的关键.(3)若BE=AB,当∠DAB的大小发生变化时(0⁰<∠DAB<180°),在AE上找一点T,使GT为定值，说明理由并求出ET的值.理由见解析【分析】(1)由菱形的性质可证由BG平分∠CBE交DE于点G,得到∠CBG=进一步即可得到答案；(2)①连接AC交BD于点O,Rt△DOC中，OC=VCD²-OD²=V52-32=4,求得AC=8,由菱形的面积公式可得答案；②由BGIAC,得到DH=HG,DG=2DH,又由DG=2GE,得到EG=DH=HG,则再证明△CDH~△AEH,,利用正切的定义得到答案；(3)过点G作GTIBC,交AE于点T,△BGE∽△AHE,得AB=BE=5,则EG=GH,再证△DOH∽△DBG,得DH=GH=EG,由△EGT∽△EDA得为定值，即可得到ET的值.【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，(2)解：①如图1,连接AC交BD于点O,图1在Rt△DOC中，0C=VCD²-0D²=√52-32=4,即菱形ABCD的面积是24.②如图2,连接AC,分别交BD、DE于点O、H,图2∵四边形ABCD是菱形，理由如下：由题(1)可知，当∠DAB的大小发生变化时，始终有BGIIAC,为定值，【点睛】此题主要考查了相像三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等学问，娴熟把握相像三角形的判定和性质是解题的关键.35.(2022.青海西宁)如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.(2)设菱形的边长为x,利用全等三角形的性质得到BE=DF=x-2,在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可.【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边相等),∠B=∠D(菱形的对角相等),(2)解：设菱形的边长为x,∴BE=DF=x-2(全等三角形的对应边相等),在Rt△ABE中，∠AEB=90°,∴AE²+BE²=AB²(勾股定理),解得x=5,∴菱形的边长是5.【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.36.(2022.青海)如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合),连接DE并延长交射线AB于点F,连接BE.【分析】(1)依据菱形的性质可得CD=BC,∠ACD=∠ACB,即可求证；(2)依据△DCE=△BCE,可得∠CDE=∠EBC,再由AB//CD,可得∠CDF=∠AFD,即可求证【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，(2)证明：∵△DCE=△BCE,【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，娴熟把握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键.37.(2022-辽宁大连)如图，四边形ABCD是菱形，点E,F分别在AB,AD上，AE=AF.求证CE=CF.【答案】证明见解析【分析】由菱形的性质得到AB=AD=BC=DC,∠B=∠D,进而推出BE=DF,依据全等三角形判定的“SAS”定理证得△BCE=△DCF,由全等三角形的性质即可证出CE=CF.【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关学问解题.38.(2022·湖南张家界)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,点E是CD的中点，连接OE,过点C作CFIIBD交OE的延长线于点F,连接DF.(2)试推断四边形ODFC的外形，并写出证明过程.【分析】(1)由题意得CE=DE,依据平行线的性质得∠ODE=∠FCE,用ASA即可证明△ODE=△FCE;(2)依据全等三角形的性质得OE=FE,即可得四边形ODFC为平行四边形，依据菱形的性质得AC⊥BD,(2)四边形ODFC为矩形，证明如下：【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质.39.(2022.湖南郴州)如图，四边形ABCD是菱形，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CFDE,EB.求证：四边形DEBF是菱形.【分析】先证明四边形DEBF是平行四边形，再结合BD⊥AC可得结论.【详解】连接BD,交AC于点O,∵四边形ABCD是董形，∴四边形DEBF是平行四边形.∴四边形DEBF是菱形.【点睛】本题主要考查了证明四边形是菱形，证明四边形DEBF是平行四边形是解题的关键.0E=0A.求证：四边形AECF是正方形.【答案】证明过程见解析【分析】菱形的两条对角线相互垂直且平分，再依据两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形AECF是正方形，【详解】证明：“四边形ABCD是菱形∴OA=OC,OB=OD且AC⊥BD,又∵BE=DF∴OA=OC=OE=OF且AC=EF∴四边形DEBF是正方形.【点睛】此题考查了菱形的性质和正方形的判定，解题的关键是把握上述学问.41.(2022·江苏连云港)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E,使DE=AD,且BE⊥DC.(2)若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值.【分析】(1)先依据四边形ABCD为平行四边形的性质和DE=AD证明四边形DBCE为平行四边形，再依据(2)先依据菱形对称性得，得到PM+PN=PM+PN',进一步说明PM+PN的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解.【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵点E在AD的延长线上，∴四边形DBCE为平行四边形，∴四边形DBCE为菱形.(2)解：如图，由菱形对称性得，点N关于BE的对称点N'在DE上，PM+PN=PM+PN'=MN',过点D作DH⊥BC,垂足为H,∴MN'的最小值即为平行线间的距离DH的长，∵△DBC是边长为2的等边三角形，【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等学问，运用了转化的思想方法.将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键.42.(2022浙江金华)如图，在菱形ABCD中，点E从点B动身沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边(BC或CD)的垂线，交菱形其它的边于点F,在EF的右侧作矩形EFGH.(1)如图1,点G在AC上.求证：FA=FG.(3)已知FG=8,设点E的运动路图2(备用)为顶点的三角形与△BEF相像当为顶点的三角形与△BEF相像(包括全等)?(2)AG=7或5(2)记AC中点为点0.分点E在BC上和点E在CD上两种状况进行求解即可；(3)过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N.分点E在线段BM上时，点E在线段MC上时，点E在线段CN上，点E在线段ND上，共四钟状况分别求解即可.【详解】(1)证明：如图1,图1(2)解：记AC中点为点O.①当点E在BC上时，如图2,过点A作AM⊥BC于点M,图2②当点E在CD上时，如图3,过点A作AN⊥CD于点N.(3)解：过点A作AM⊥BC于点M,作AN⊥CD于点N.①当点E在线段BM上时，0<s≤8.即0<s≤2,如图4,,,∵△GHC~△BEF,ii)若点H在点C的右侧，s+8>10,即2<s≤8,如图5,CH=BH-BC=(4x+8)-10=4x-2.∵△GHC~△FEB,此方程无解.∵△GHC~△BEF,②当点E在线段MC上时，8<s≤10,如图6,EF=6,EH=8,BE=s.此方程无解.∵△GHC~△BEF,EH=BJ=8,JF=CE,此时，10≤s≤12.④当点E在线段ND上时，12<s<20,43.(2022·山东滨州)如图，菱形ABCD的边长为10,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O,点E在对角线BD上，连接AE,作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F.【分析】(1)依据菱形的性质可得AC⊥BD且AO=CO,BO=DO,再依据题意及特殊角的三角函数值求出AC和BD的长度，依据菱形的面积=对角线乘积的一半即可求解.(2)连接EC,设∠BAE的度数为x,易得EC=AE,利用三角形的内角和定理分别表示出∠EFC和∠ECF的度数，可得∠EFC=∠ECF,即EC=EF,又由于EC=AE,即可得到AE=EF.【详解】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，(2)证明：如图，连接EC,设∠BAE的度数为x,∵四边形ABCD为菱形，【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形面积的求解、特殊角的三角函数值以及三角形的内角和定理，娴熟把握菱形的性质是解题的关键.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形.得出EO=FO,【分析】(1)先依据四边形ABCD为平行四边形，得出AO=CO,BO=DO,再依据得出EO=FO,即可证明结论；(2)先证明∠DCA=∠DAC,得出DA=DC,证明四边形ABCD为菱形，得出AC⊥BD,【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，即EO=FO,∴四边形EBFD是平行四边形.(2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，即EF⊥BD,【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和45.(2022·山东临沂)已知△ABC是等边三角形，点B,D关于直线AC对称，连接AD,CD.(2)在线段AC上任取一点P(端点除外),连接PD.将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处.请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化?说明理由.(3)在满足(2)的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明.【分析】(1)连接BD,由等边三角形的性质可得AC垂直平分BD,继而得出AB=BC=CD=AD,便可(2)连接PB,过点P作PEIICB交AB于点E,PF⊥AB于点F,可证明△APE是等边三角形，由等腰三角(3)由等腰三角形三线合一的性质可得AF=FE,QF=BF,即可证明.(3)AQ=CP,证明如下：【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，娴熟掌握学问点是解题的关键.为半径作弧，两弧交于点M,N,作直线MN,分别交AB,AD,AC于点E,O,F,连接DE,DF.(1)由作图可知，直线MN是线段AD的(2)求证：四边形AEDF是菱形.【答案】(1)垂直平分线【分析】(1)依据线段垂直平分线的尺规作图可直接得出答案；(2)由题意易得∠AOF=∠AOE=90°,∠FAO=∠EAO,AF=DF,然后可证△AOF=△AOE,进而问题可求证.(1)解：由题意得：直线MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；的角平分线，∴∠FAO=∠EAO,∵AO=AO,∴△AOF=△AOE(ASA则有OF=OE,四边形【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定，娴熟把握线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键.47.(2022·山东威海)如图：图1图2(1)将两张长为8,宽为4的矩形纸片如图1叠放.(2)如图2,在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB=2V5,BC=7,CF=√5,求四边形AGCH的面积.【分析】(1)①依据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；②设AH=CG=x,利用勾股定理构建方程即可(2)两个矩形的对角线相等，可得出EC的长，设AH=CG=x,利用勾股定理以及边长之间的关系可得出x的值，进而可求出面积.【详解】(1)①∵四边形ABCD,四边形AECF都是矩形∴△AEH=△CDH(AAS)②设AH=CG=x,则DH=AD-AH=8-xHC²=DH²+DC²即x²=(8-x)²+16解得x=5∴四边形AHCG的面积为5×4=20;(2)由图可得矩形ABCD和矩形AFCE对角线相等在Rt△CDH中，CH=√DH2+DC²=√(7-x)²+∴四边形AGCH的面积为3×2√5=6√5.【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等学问，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.48.(2022.广西玉林)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,点E是DC边上的任一点(不包括端点D,C),过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F,设DE=a.【答案】(1)BF=2a【分析】(1)依据矩形的性质可得∠BAD=∠ABC=∠D=90°,然后可证△ADE~△ABF,进而依据相像三(2)如图，连接AC,由题意易证四边形AGCE是平行四边形，然后可得进而可证△ABC~△FBG,则可证AC⊥GE,最终问题可求证.【详解】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE~△ABF,(2)证明：由题意可得如图所示：∴四边形AGCE是平行四边形，**BF=2a,∴△ABC~△FBG,∴四边形AGCE是菱形.【点睛】本题主要考查相像三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定，娴熟把握相像三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键.49.(2022·湖南岳阳)如图，点E,F分别在团ABCD的边AB,BC上，AE=CF,连接DE,DF.请从以下三个条件：①∠1=∠2;②DE=DF;③∠3=∠4(1)你添加的条件是(填序号):【分析】(1)添加合适的条件即可；(2)证△ADE=△CDF(AAS),得AD=CD,【详解】(1)解：添加的条件是∠1=∠2.故答案为：①.(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，中，选择一个合适的作为已知条件，使团ABCD为菱形.再由菱形的判定即可得出结论.50.(2022·四川广元)如图，在四边形ABCD中，ABIICD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB中点，连接【分析】(1)由题意易得CD=AE,∠DAC=∠EAC=∠DCA,则有四边形AECD是平行四边形，然后问题可(2)由(1)及题意易得∠DAE=∠CEB=60°,CE=BE,∠CAB=30°,则有△BCE是等边三角形，然后可【详解】(1)证明：∵ABIICD,AC平分∠DAB,(2)解：由(1)知：CD//AE,AD//EC,CD=AE=EC=2,(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AB=AC,推断四边形ACDE的外形，并说明理由.【答案】(1)证明见详解；(2)四边形ACDE是菱形，理由见详解.【分析】(1)利用平行四边形的性质，即可判定AAOE=ADOC,即可得到AE=CD,再依据CD//AE,即(2)利用(1)的结论和平行四边形的性质可得AC=CD,由此即可判定是菱形.【详解】(1)证明：在OABCD中，AB//CD,∴四边形ACDE是平行四边形；(2)解：由(1)知四边形ACDE是平行四边形，AE=CD,∴四边形ACDE是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等、菱形的判定等，娴熟把握判定定理并融会贯通是解题的关键.52.(2023-浙江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.①作线段BC的垂直平分线MN,交AB于点D,交BC于点O;②在直线MN上截取OE,使OE=OD,连接CD,BE,CE.(保留作图痕迹)(2)猜想证明：作图所得的四边形BECD是否为菱形?并说明理由.【答案】(1)①见解析；②见解析(2)四边形BECD是菱形，见解析【分析】(1)①依据垂直平分线的画法作图：②以点O为圆心，OD为半径作圆，交ON于点E,连线即可；(2)依据菱形的判定定理证明即可.【详解】(1)①如图：直线MN即为所求；②如图，即为所求；(2)四边形BECD是菱形，理由如下：∴四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是菱形.【点睛】此题考查了基本作图一线段垂直平分线，截取线段，菱形的判定定理，娴熟把握基本作图方法及菱形的判定定理是解题的关键.53.(2023·湖南郴州)如图，四边形ABCD是平行四边形.(1)尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹);(2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点，求证：四边形AFCE是菱形【分析】(1)依据垂直平分线的作图方法进行作图即可；(2)设EF与AC交于点O,证明△AOE=△COF(ASA),得到OE=OF,得到四边形AFCE为平行四边形，根据EF⊥AC,即可得证.【详解】(1)解：如图所示，MN即为所求；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，54.(2023·湖南张家界)如图，已知点A,D,C,B在同一条直线上，且AD=BC,AE=BF,CE=DF.(2)若DF=FC时，求证：四边形DECF是菱形。【分析】(1)依据题意得出AC=BD,再由全等三角形的判定和性质及平行线的判定证明即可；(2)方法一：利用全等三角形的判定和性质得出DE=CF,又EC=DF,再由菱形的判定证明即可；方法二：利用(1)中结论得出∠ECA=∠FDB,结合菱形的判定证明即可.【详解】(1)证明：∵AD=BC,∴△AEC=△BFD(SSS)∴AEIIBF(2)方法一：在△ADE和△BCF中，∴四边形DECF是平行四边形方法二：∵△AEC=△BFD,(2)如图，又EC=DF,∴四边形DECF是平行四边形【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，理解题意，娴熟把握运用这些学问点是解题关键.55.(2023·浙江台州)如图，四边形ABCD中，ADIIBC,∠A=∠C,BD为对角线.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形.(2)已知AD>AB,请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF,顶点E,F分别在边BC,AD上(保留作图痕迹，不要求写作法).从而可得结论；(2)作对角线BD的垂直平分线交AD于F,交BC于E,从而可得菱形BEDF.【详解】(1)证明：∵ADIIBC,∴四边形ABCD是平行四边形.【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作线段的垂直