伊春南岔2023-2024学年八年级上学期期末数学测评卷(含答案)

绝密★启用前伊春南岔2023-2024学年八年级上学期期末数学测评卷考试范围：八年级上册(人教版)；考试时间：120分钟注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题（共10题）1.（2021•襄阳）如图，​a//b​​，​AC⊥b​​，垂足为​C​​，​∠A=40°​​，则​∠1​​等于​(​​​)​​A.​40°​​B.​45°​​C.​50°​​D.​60°​​2.（2022年云南省曲靖市麒麟区中考数学一模试卷）下列运算正确的是（）A.23=6B.（）-1=2C.（x3）4=x7D.（π-3）0=03.（2022年春•平度市校级月考）在△ABC中，∠A=∠B-∠C，则此三角形为（）三角形．A.直角B.钝角C.锐角D.以上三种情况都有可能4.（2009•朝阳）如图，已知​AB//CD​​，若​∠A=20°​​，​∠E=35°​​，则​∠C​​等于​(​​​)​​A.​20°​​B.​35°​​C.​45°​​D.​55°​​5.（苏科版八年级下册《第10章分式》2022年同步练习卷A（2））下列分式中，最简分式是（）A.B.C.D.6.（2022年春•宜昌月考）x为何值时，在实数范围内有意义（）A.x＞1B.x≥1C.x≠1D.x≤07.（2020年秋•南安市期末）下列运算正确的是（）A.4a2-2a2=2a2B.（a2）3=a5C.a2•a3=a6D.a3+a2=a58.（湘教版八年级（下）中考题单元试卷：第2章分式（21））从甲地到乙地有两条公路，一条是全长450公里的普通公路，一条是全长330公里的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35公里/小时，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x小时，那么x满足的分式方程是（）A.=×2B.=-35C.-=35D.-=359.（2022年四川省成都市新都区中考数学三诊试卷）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个（1）等腰三角形；（2）正方形；（3）矩形；（3）菱形；（5）圆．A.2B.3C.4D.510.（江苏省盐城市阜宁实验初中八年级（上）第一次月考数学试卷）与如图所示的正方形图案全等的图案是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题（共10题）11.（重庆七中八年级（上）期中数学试卷）计算：3a•（-4a2b）=．12.（河北省沧州市沧县杜生一中八年级（上）第一次月考数学试卷）分式，，的最简公分母为．13.（重庆七十一中八年级（上）月考数学试卷（1月份））在数学课的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用图形的面积来解释这些代数恒等式，如图（1）可以解释恒等式（2b）2=4b2（1）如图②可以解释恒等式a2+2ab+b2=．（2）如图③是由4个长为a，宽为b的长方形纸片围成的正方形，①用面积关系写出一个代数恒等式：．②若长方形纸片的面积为3，且长比宽长3，求长方形的周长（其中a，b都是正数，结果可保留根号）．14.（2022年湖北省鄂州市鄂城区中考数学一模试卷）（2016•鄂城区一模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=时，△PAD为等腰三角形．15.（2022年秋•盐城校级期中）（1）如图，等边三角形的边长为1，则它的面积是：；（2）如图，△ABC周长为8，面积为4，求△ABC的内切圆（内切圆值三角形中与三边都相切的圆）的半径；（3）根据上述两个小题的启示，如图，点D、E、F分别在等边△ABC的三边上，且△DEF也是等边三角形，△ABC的边长为a，△DEF的边长为b，用含有a、b的代数式表示△ADF的内切圆的半径；并写出必要的计算过程．16.（2022年春•张家港市校级期中）（2022年春•张家港市校级期中）如图，点A在反比例函数y=（x＞0）图象上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B．则△ABC的周长为．17.（湘教新版八年级（上）中考题同步试卷：1.5可化为一元一次方程的分式方程（06））制作某种机器零件，小明做220个零件与小芳做180个零件所用的时间相同，已知小明每小时比小芳多做20个零件．设小芳每小时做x个零件，则可列方程为．18.如图，边长为2的菱形ABCD中，BD=2，E、F分别是AD，CD上的动点（包含端点），且AE+CF=2，则线段EF长的取值范围是．19.（2016•云梦县一模）分式方程=的解是．20.（重庆一中九年级（下）开学数学试卷）（2022年春•重庆校级月考）“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的x，y二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数，c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）例：分解因式：x2-2xy-8y2解：如右图，其中1=1×1，-8=（-4）×2，而-2=1×（-4）+1×2∴x2-2xy-8y2=（x-4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图1，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy-3y2+3x+y+2解：如图2，其中1=1×1，-3=（-1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（-1），1=（-1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy-3y2+3x+y+2=（x-y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：6x2-7xy+2y2=x2-6xy+8y2-5x+14y+6=（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+4y=-1，求x，y．评卷人得分三、解答题（共7题）21.函数y=kxm-1+3（k≠0）是一次函数，试求方程=的解．22.（山东省菏泽市曹县八年级（上）期末数学试卷）某帐篷厂接到在规定的时间内加工1500顶帐篷的任务，在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务．（1）求现在每天加工多少顶帐篷？（2）求加工这些帐篷实际共用多少天？23.（2022年江苏省扬州市高邮市中考数学模拟试卷（4月份））（1）如图1，4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是2cm，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D分别在l1、l3、l4、l2上，求该正方形的面积；（2）如图2，把一张矩形卡片ABCD放在每格宽度为18mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠1=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）24.如图，在菱形ABCD中，AB=，∠B=120°，E是AD边上的一个动点（不与点A，D重合），EF∥AB交BC于点F，点G在CD上，DG=DE．（1）当△EFG为等腰三角形时，求DE的长；（2）当△EFG为等腰三角形时，求△EFG与菱形ABCD的面积比．25.已知线段BC长度一定，点P，E为动点，满足∠BCE=90°，射线CP平分∠BCE，点E在直线BC上方（不与C重合）．（1）如图1，如果∠BPE=90°，写出线段BC，PC，CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）如图2，在射线CE上截取CD=CB，连接BD，构成等腰直角三角形BCD．已知动点D1，在线段DC上（不与点D重合），动点B1在CB的延长线上，且DD1=BB1．如果B1M平分∠D1B1C，交射线CP于点M，过点M作MN⊥B1D1，垂足为N，请猜想MN，B1D1与BC三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当B1N=3，D1N=2时，求BD的长．26.（江苏期中题）（1）如图①，已知△ABC中，∠B>∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，试证明：∠DAE=(∠B-∠C)（2）在图②中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，则∠DFE与∠B、∠C有何关系？试说明理由。（3）在图③中，若把(2)中的“点F在AE上”改为“点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，则∠DFE与∠B、∠C的关系如何？(直接写出结论，不必说明理由。)27.（2021•甘井子区一模）如图，在​ΔABC​​中，​AD​​为角平分线，点​E​​在边​AC​​上，​∠ABE=∠C​​，​AD​​、​BE​​交于​F​​，​FG//AC​​交​BC​​于​G​​．（1）求证：​BD=BF​​；（2）在图中找到一条与​CD​​相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；（3）当​AF=AE​​，且​cos∠AEF=k​​时，求​CD:FG​​的值．（用含有​k​​的式子表示）．参考答案及解析一、选择题1.【答案】解：​∵AC⊥b​​，垂足为​C​​，​∠A=40°​​，​∴∠ABC=50°​​，​∵a//b​​，​∴∠1=∠ABC=50°​​，故选：​C​​．【解析】根据互余得出​∠ABC=50°​​，进而利用平行线的性质解答即可．此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．2.【答案】【解答】解：A、23=8，错误；B、（）-1=2，正确；C、（x3）4=x12，错误；D、（π-3）0=1，错误；故选B．【解析】【分析】根据指数幂的运算规则可直接判断出正确的等式，得出正确选项．3.【答案】【解答】解：∵∠A=∠B-∠C，∴∠A+∠C=∠B，∵∠A+∠B+∠C=2∠B=180°，∴∠B=90°，∴此三角形是直角三角形．故选A．【解析】【分析】由三角形内角和定理和直角三角形的判定即可得出结论．4.【答案】解：​∵∠A=20°​​，​∠E=35°​​，​∴∠EFB=∠A+∠E=20°+35°=55°​​，又​∵AB//CD​​，​∴∠C=∠EFB=55°​​．故选：​D​​．【解析】根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”及平行线的性质解答即可．主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及平行线的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．5.【答案】【解答】解：∵=-1，=，=x+2，∴最简分式是．故选：C．【解析】【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．6.【答案】【解答】解：依据分式有意义的条件可知：x-1≠0，解得：x≠1．故选：C．【解析】【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式即可．7.【答案】【解答】解：A、正确；B、（a2）3=a6故错误；C、a2•a3=a5故错误；D、a3+a2不能合并故错误；故选A．【解析】【分析】根据同类项合并法则，可以得到结果．8.【答案】【解答】解：设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x小时，那么由普通公路从甲地到乙地所需时间为2x，由题意得，-=35，故选：D．【解析】【分析】设出未知数，根据客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35公里/小时，列出方程即可．9.【答案】【解答】解：（1）等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；（2）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；（5）圆既是轴对称图形又是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形的共有4个，故选：C．【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．10.【答案】【解答】解：根据全等三角形的定义可得C和如图所示的正方形图案是全等的图案．故选：C．【解析】【分析】根据全等三角形的定义，结合三角形的形状和位置可得答案．二、填空题11.【答案】【解答】解：3a•（-4a2b）=-12a3b．故答案为：-12a3b．【解析】【分析】根据运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，进行计算即可．12.【答案】【解答】解：分式，，的分母分别是3a2、4b、6ab，故最简公分母是12a2b；故答案为12a2b．【解析】【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．13.【答案】【解答】解：（1）如图②可以解释恒等式a2+2ab+b2=（a+b）2；（2）①用面积关系写出一个代数恒等式（a+b）2-（a-b）2=4ab；故答案为：（a+b）2，（a+b）2-（a-b）2=4ab；②设长方形的宽为x，长为（x+3），由题意，得x（x+3）=3．解得x=，长，长方形的周长（+）×2=2．【解析】【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；（2）①根据面积的和差，可得答案；②根据长方形的面积公式，可得方程，根据解方程，可得长方形的长、宽，根据长方形的周长公式，可得答案．14.【答案】【解答】解：①当PA=PD时，此时P位于四边形ABCD的中心，过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，则四边形EAMP是正方形，∴PM=PE=AB=2，∵PM2=AM•BM=4，∵AM+BM=4，∴AM=2，∴PA=2，②当PA=AD时，PA=4；③当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，则△ADO≌△PDO，∴DO⊥AP，AG=PG，∴AP=2AG，又∵DA=2AO，∴AG=2OG，设AG为2x，OG为x，∴（2x）2+x2=4，∴x=，∴AG=2x=，∴PA=2AG=；∴PA=2或4或，故答案为：2或4或．【解析】【分析】分别从当PA=PD，PA=AD，AD=PD时，△PAD是等腰三角形讨论，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．15.【答案】【解答】解：（1）如图1所示：过点A作AD⊥BC，垂足为D．∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°．∴BD=AB=，AD=AB=．∴S△ABC=××=．故答案为：．（2）如图2所示：连接圆心O与切点D．∵BC是圆O的切线，∴DO⊥BC．∴△BCO的面积=CB•r．同理：△BAO的面积=AB•r、△ACO的面积=AC•r．∴三角形ABC的面积=×（AB+BC+AC）r．∴r==1．（3）∵△ABC与△DEF是等边三角形，∴∠B=∠A=60°DE=EF，∠DEF=60°．∵∠B+∠BDE=∠EDF+FEC，∴∠BDE=∠FEC．在△BED和△CFE中，，∴△BED≌△CFE．∴同理；△BED≌△CFE≌△ADF．∴AD=FC．∴AD+AF=AF+FC=a．∴AD+AF+DF=a+b．由（1）可知S△ACB=a2，S△DEF=b2．∴SADF=××(a2-b2)．由（2）可知：r==(a-b)．【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．利用特殊锐角三角函数值可求得BD=，AD=，最后依据三角形的面积公式计算即可；（2）利用面积法得到三角形ABC的面积=×（AB+BC+AC）r，然后可求得r的值．（3）先证明△ADF≌△BED≌△CFE，从而得到△ADF的周长=a+b，由（1）可知：三角形ADF的面积×(a2-b2)，然后利用（2）的结论求解即可．16.【答案】【解答】解：∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB=OB，∴△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，则：，解得a+b=2，即△ABC的周长=OC+AC=2．故答案是：2．【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组，解之即可求出△ABC的周长．17.【答案】【解答】解：设小芳每小时做x个零件，则小明每小时做（x+20）个零件，由题意得，=．故答案为：=．【解析】【分析】设小芳每小时做x个零件，则小明每小时做（x+20）个零件，根据小明做220个零件与小芳做180个零件所用的时间相同，列方程即可．18.【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的菱形，BD=2，∴△ABD、△CBD都是边长为2的正三角形，∵AE+CF=2，∴CF=2-AE=AD-AE=DE，又∵BD=BC=2，∠BDE=∠C=60°，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS），∴∠EBD=∠FBC，∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，∴∠EBF=∠DBC=60°，又∵BE=BF，∴△BEF是正三角形，∴EF=BE=BF，当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为2，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为，∵EF=BE，∴EF的最大值为2，最小值为．∴线段EF长的取值范围是：≤EF≤2．故答案为：≤EF≤2．【解析】【分析】由在边长为2的菱形ABCD中，BD=2，易得△ABD、△CBD都是边长为2的正三角形，继而证得△BDE≌△BCF（SAS），继而证得△BEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点D或点A时，BE的最大，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小．19.【答案】【解答】解：=方程两边同乘以2x（x-3），得x-3=4x解得，x=-1，检验：当x=-1时，2x（x-3）≠0，故原分式方程的解是x=-1，故答案为：x=-1．【解析】【分析】根据解分式方程的方法可以求得分式方程=的解，记住最后要进行检验，本题得以解决．20.【答案】【解答】解：（1）如图3，其中6=2×3，2=（-1）×（-2）；而-7=2×（-3）+3×（-1）；∴6x2-7xy+2y2=（2x-y）（3x-2y）．如图4，其中1×1=1，（-2）×（-4）=8，（-2）×（-3）=6；而-6=1×（-4）+1×（-2），-5=1×（-3）+1×（-2），14=（-2）×（-3）+（-4）×（-2）；∴x2-6xy+8y2-5x+14y+6=（x-2y-2）（x-4y-3）．故答案为：（2x-1）（3x-2）；（x-2y-2）（x-4y-3）．（2）如图5，∵关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，∴存在：其中1×1=1，9×（-2）=-18，（-8）×3=-24；而7=1×（-2）+1×9，-5=1×（-8）+1×3，m=9×3+（-2）×（-8）=43或m=9×（-8）+（-2）×3=-78．故若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y2-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，m的值为43或者-78．（3）∵x2+3xy+2y2+2x+4y=（x+2y）（x+y）+2（x+2y）=（x+2y）（x+y+2）=-1=1×（-1），且x、y为整数，∴有，或，解得：，或．故当x=-7时，y=4；当x=-1时，y=0．【解析】【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；（2）结合题意画出图形，即可得出结论；（3）将等式左边先用十字相乘法分解因式，再提取公因式，将右边-1改写成1×（-1）的形式，由x、y均为整数可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．三、解答题21.【答案】【解答】解：依题意得：m-1=1，解得m=2，所以=，整理，得3x+3=2x+6，解得x=3，经检验，x=3是原方程的解．【解析】【分析】根据一次函数的定义求得m的值；然后将其代入所求的方程，并解分式方程，并检验．22.【答案】【解答】解：（1）设原来每天加工x个零件，则后来每天加工1.5x个零件，由题意得，+=-4，解得：x=100，经检验：x=100是原方程的解，且符合题意，则1.5x=150．答：后来每天加工150个零件．（2）加工这些帐篷实际共用的天数为：+=11天．【解析】【分析】（1）设原来每天加工x个零件，则后来每天加工1.5x个零件，根据提高工作效率后提前4天完成任务，列方程求解．（2）根据（1）的数值代入解答即可．23.【答案】【解答】解：（1）如图1，作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．∵AD=CD，在△ADE和△DCF，，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴CF=DE=2．∵DF=4，∴CD2=22+42=20，即正方形ABCD的面积为20cm2；（2）如图2，作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵∠1+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，∴∠ADF=∠1=36°，根据题意，得BE=36mm，DF=72mm．在Rt△ABE中，sin∠1=，∴AB==60mm，在Rt△ADF中，cos∠ADF=，∴AD=mm=90mm．∴矩形ABCD的周长=2（60+90）=300mm．【解析】【分析】（1）过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=2，DF=4．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积；（2）作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F，求∠ADF的度数，在Rt△ABE中，可以求得AB的值，在Rt△ADF中，可以求得AD的值，即可计算矩形ABCD的周长，即可解题．24.【答案】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF∥AB，∴EF=AB=，当△EFG为等腰三角形时，①EF=GE=时，则DE=DG=AD=，②GE=GF时，（DE)2=（DE）2+9-DE-DE）2，解得DE=；（2）当△EFG为等腰三角形时，EG2+FG2=EF2时，∵GD=DE，∴∠DGE=∠DEG=30°，∴∠FEG=30°，∴=sin60°，∴=，∴GE=，∴GF=，∴==．【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到BC∥AD，由于EF∥AB，得到四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF∥AB，于是得到EF=AB=，当△EFG为等腰三角形时，①EF=GE=时，于是得到DE=DG=AD=，②GE=GF时，根据勾股定理得到DE=；（2）当△EFG为等腰三角形时，EG2+FG2=EF2时根据三角函数的定义得到GE=，GF=，根据三角形和菱形的面积公式即可得到结论．25.【答案】【解答】解：（1）猜想：BC+CE=PC．证明：过点P作PG⊥BC于G，PF⊥CE于F，由角平分线的性质可知：PG=PF．①如果点G在线段BC上，如图1，∵∠PGC=90°，∠PCG=45°，∴△PGC是等腰直角三角形，即PG=GC，同理PF=FC，从而四边形PGCF是正方形，∵∠BPE=90°=∠BCE，∴∠PBC+∠PEC=180°，∵∠PBG+∠PBC=180°，∴∠PBG=∠PEF，在△PBG和△PEF中，，∴△PBG≌△PEF（AAS），∴BC=CG-BG=PC-BG，CE=CF+EF=PC+EF，∵BG=EF，∴BC+CE=PC．②如图2，如果点G在线段CB的延长线上，同理可证∴BC+CE=PC．（2）猜想：B1D1+MN=BC．证明：如图3，过M作MR⊥BC于R，MQ⊥CD于Q，由角平分线的性质可知，MN=MR，MQ=MR，进而可得B1N=B1R，D1N=D1Q，从而四边形MRCQ是正方形，∴B1D1=B1N+D1N=B1R+D1Q=B1B+BR+DQ-DD1=2BC-2MN，从而B1D1+MN=BC．（3）如图4，∵CP平分∠BCD，△BCD是等腰直角三角形，∠BCD=90°，∴CH⊥BD，BH=DH=CH，由（2）可知BC-MN=B1D1=(B1N+D1N)=，∵MN=MR=CR，∴BR=BC-CR=BC-MN=，由（2）可知BR=B1N=3，D1Q=D1N=2，CR=CQ，设CR=CQ=x，则（3+x）2+（2+x）2=52，解得：x=1，即CR=1，∴BC=BR+CR=，∴BD=．【解析】【分析】（1）过点P作PG⊥BC于G，PF⊥CE于F，证△PBG≌PEF即可解决问题；（2）过M作MR⊥BC于R，MQ⊥CD于Q，由于BM和CM都是角平分线，说明M是△B1CD1的内心，进而得出