2022届平顶山市高三数学（理）上学期期中考试卷附答案解析

2022届平顶山市高三数学(理)上学期期中考试卷

一、单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.已知集合A={(x,y)\xtyeN*,y>x},B={(%,y)|x+y=8},贝ij4nB中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.6

2.若z=l—i,则1=1=()

z-1

A.1B.V2C.2D.V5

3.若不等式a/+bx+c>0的解集为(―：,3),则x2+^x+^<0成立的一个必要不充分条件是

()

A.-j<x<3B.-1<x<0C,-3<x<iD.-1<x<6

4.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120。时，费马点与

三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性

质，已知4(-2,0),B(2,0),C(0,4)，P为△ABC内一点，记f(P)=\PA\+\PB\+\PC\,则f(P)

的最小值为()

A.25/3B.4+2百C.4+V3D.2+V3

5.从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从

2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名.则其中学生丙被选取和被剔除的概率

分别是()

A2_21B5021c2_2TD2150

・40'2021•2021'2021'40'2000*2000'2021

6.已知定义在R上的函数/(%)，g(x)满足缁=产，/'(x)9(x)-/(x)g'(x)>0，怒+舄=

|,则数列{猊}的前10项的和是()

A.1024B.1023C.2046D.2048

7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多

安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有()

A.20种B.30种C.40种D.60种

8.已知函数/(%)=sin(o)%+卬)(3>0,|口|<9的最小正周期为n，将该函数的图象向左平移个单位

26

长度后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法错误的是()

A.函数y=f(x)在区间般拳上单调递减B.函数y=f(x)的图象关于直线x屋对称

C.函数y=/(x)的图象关于点(工,0)对称D.函数y=/(x)的图象关于直线x=V对称

9.已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC,SA=3,

那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为

A.盘B.亚C.世D.三

4444

10.已知点。为正AABC所在平面上一点，且满足OA+MB+(1+2)0C=0,若△OAC的面积与

△04B的面积比值为1:4,则A的值为()

A.-B.-C.2D.3

23

2

11.已知a,F2为双曲线x-^=l的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若4为

XPF述2内切圆上一动点，当AFi的最大值为4时，△。&尸2的内切圆半径为（）

12.若2a+-=eb+-=5c+~，则下列选项正确的是（）

2e5

A.b<a\n2<cln5B.aln2>cln5>bC.b>cln5>aln2D.aln2>b>cln5

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知△4BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,a=4,b=4V3,A=30°,

则该三角形的面积等于.

x+y-5<0

14.若实数尤，y满足约束条件｛y-220,则z=匕竿的最小值是

X+1-------------------------

x—1N0,

15.已知矩形4BCD中，AB=2,BC=W,E是CD边的中点.现以AE为折痕将ADE折起，

当三棱锥0-4BE的体积最大时，该三棱锥外接球的体枳为.

16.抛物线C:x=2py2（p>o）的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与C交于力，B两点，

C的准线与%轴的交点为M,若AMAB的面积为3或，则黑=

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在公比大于0的等比数列｛an｝中，己知。2，。3,6%依次组成公差为4的等差数列

（1）求｛an｝的通项公式；

（2）设4=堡3,求数列｛仇｝的前n项和Tn.

an

18.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB1PC,AD//BC,AD1CD，且PC=BC=2AD=2CD=

2V2,PA=2.

（1）PA1平面ABCD；

（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D的大小为60°?如果存在，求胃的

值；如果不存在，请说明理由.

19.新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群.该病毒进入人

体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可

能性越高.现对400个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2,方差为2.252.

如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：

2

年龄/人数长期潜伏非长期潜伏

50岁以上60220

50岁及50岁以下4080

(1)是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关;

(2)假设潜伏期X服从正态分布NO，/),其中〃近似为样本平均数后d近似为样本方差s2.

(i)现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；

(ii)以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有k(keN*)个属于“长期潜伏”的概率是p(k),

当k为何值时，p(k)取得最大值.

附.K2=n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2>fc0）0.10.050.010

k02.7063.8416.635

若f〜N（〃R2）,则P（〃-67Vf<〃+（T）=0.6862,P（4-2。VfV〃+2c）=0.9544,P（〃一3）VfV〃+

3a）=0.9974.

2。.已知椭圆E$+W=l（a>b>。）的离心率为|,且椭圆上的点到其右焦点F的最远距离为3.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)当直线I(斜率不为0)经过点F,且与椭圆E交于4,B两点时，问x轴上是否存在定点

P,使得x轴平分/APB?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

21.已知函数/(x)=x2lnx+^(a6R)在x=1处的切线与直线x-y+2=0平行

(1)求实数a的值，并求/(x)的极值；

(2)若方程/(%)=m有两个不相等的实根,x2>求证：xf+%2>|•

22.在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为0；二(t为参数)，以原点。为极点，%轴

非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2=—.

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线I的普通方程；

(2)已知点P(l,—1),直线I与曲线C父于A,B两点，求.

23.已知函数/(%)=|x-2t|-|x+t|(t>0).

(1)当t=l时，求不等式/(%)>1的解集；

(2)若/2/-(%)对任意的xER恒成立，M=t+三，求M的最小值.

3

4

答案解析部分

一、单选题

1.C2.D3.D4.B5.B6.C7.A8.D9.D10.B11.C12.A

二、填空题

13.已知△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,a=4,b=4小，A=30°

则该三角形的面积等于.

【答案】4V3或8V3

xy—5W0

14.若实数x,y满足约束条件｛y—220,则z=平等的最小值是.

%—1Z0,

【答案】I

15.已知矩形ABCD中，AB=2,BC=遍，E是CD边的中点.现以AE为折痕将ADE折起,

当三棱锥D-ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为.

16.抛物线C:x=2py2(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与C交于4,B两点,

C的准线与x轴的交点为M,若△M4B的面积为3&，则黑=.

【答案】2或9

三、解答题

17.在公比大于0的等比数列｛an｝中，己知。2，。3,6%依次组成公差为4的等差数列

⑴求｛an｝的通项公式;

(2)设％=照3,求数列｛%｝的前n项和Tn.

an

【答案】(1)解：设｛an｝的公比为q,

2

因为a2,a3,6a1成等差数列，所以的+6%=2的，则2q-q-6=0,

又q>0,所以q=2.

又因为%-。2=4,所以%=2,

nn

所以Qn=2x2t=2

log2a2n5_2n-5

(2)解：由题可知c=

n2n

则7n=3+3+!+...+筝，①

n222232n

加=”+:+套+…+祭+煞，②

①一②得押=/+2（表+*+…+玄）一磊=_"辞.

故〃=一1一好

5

【考点】等差数列，等比数列，数列的求和

【解析】【分析】(1)先由已知条件。2，。3,6%依次组成公差为4的等差数列，求出ai,q,进一步得到an=

2X2n-1-2n

(2)由(1)求出力=些3=竽，再用错项相减的方法求丁人

an2

18.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB1PC,AD//BC,AD1CD，且PC=BC=2AD=2CD=

2V2,PA=2.

(1)PA1平面ABCD；

(2)在线段PD上，是否存在一点M,使得二面角M-4C-D的大小为60°?如果存在，求霁的

值；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明：•在底面4BCO中，AD||BC,AD1CD

且BC==2CD=2V2

AB=AC=2,BC=2V2/.AB1AC

又：AB1PC,ACdPC=C,ACc平面PAC,PCu平面PAC

：.AB1平面PAC又：PAu平面PAC：.AB1PA

"：PA=AC=2,PC=2V2PA1AC

又•:PALAB,ABdAC=A,ABc平面ABCD,ACc平面ABCD

：.PA1平面ABCD

(2)解：方法一：在线段AD上取点N,使AN=2ND

贝ijMN||PA

又由(1)得PA1平面ABCD：.MN1平面ABCD

又•:ACc平面ABCD；.MNLAC作NO1AC于。

又•:MNNO=N,MNc平面MNO,NOc平面MNO

6

，AC1平面MNO又：MOc平面MNO：.AC1MO

又：AC1NONMON是二面角M-AC-D的一个平面角

设霁=x则MN=(l-x)4P=2-2x,ON=^AN当xAD=x

这样，二面角M-AC-D的大小为60°

即tan/MON="=B=tan60°=V3

ONx

即—=x=4—2V5

PD

满足要求的点M存在，且翳=4一2H

方法二：取BC的中点E,则AE>AD,AP三条直线两两垂直

...可以分别以直线4E、AD.AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系

且由(1)知AP=(0,0,2)是平面ACD的一个法向量

设霁=久€(0,1)贝lJMN=(1—x)AP=2-2x,AN=xAD=V2x

AM=(0,V2x,2-2x),AC=(V2,V2,0)

设4Q=(a,b,c)是平面ACM的一个法向量

ab

fflllCAQ-AM=y[2xb+(2-2x)c=0.f=­

则｛r-r--•(V2X.

AQ-AC=y/2a+>/2b=0c=^ib

令b=2x—2,则AQ=(-2x+2,2x-2,V2x),它背向二面角

又•..平面ACD的法向量AP=(0,0,2),它指向二面角

这样，二面角M-AC-D的大小为60°

APQ

即cosAP,AQ='^--[2缶=cos600=-

|4P||?，<?I2-J(-2+2X)2+(2-2X)2+(V2X)22

即x=4-2V3

；・满足要求的点M存在，且霁=4-2次

【考点】直线与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角

【解析】【分析】(1)推导出ABLAC,AP1AC,AB1PC,从而ABJ_平面PAC,进而PALAB,由此能证明

PAL平面ABCD；(2)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法

7

能求出在线段PD上，存在一点M,使得二面角M-AC-1)的大小为60°,为=4-2百.

19.新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群.该病毒进入人

体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可

能性越高.现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2,方差为2.252.

如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：

年龄/人数长期潜伏非长期潜伏

50岁以上60220

50岁及50岁以下4080

(1)是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；

(2)假设潜伏期X服从正态分布NO，/),其中〃近似为样本平均数已/近似为样本方差s2.

(i)现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；

(ii)以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有k(k€N*)个属于“长期潜伏”的概率是p(k),

当k为何值时，p(k)取得最大值.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc0)0.10.050.010

上02.7063.8416.635

若6~7(出。2),贝-cr<f<〃+c7)=0.6862,P(〃-2<r<f<〃+2(r)=0.9544,P0-3(r<f<〃+

3a)=0.9974.

400X(60X80-220X40)2

【答案】(1)依题意有K2=x6.35

280x120x100x300

由于6.35>3.841,故有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关;

(2)(i)若潜伏期X〜N(7.2,2.252),

由P(X>13.95)=匕詈，=0.0013,

得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的；

(ii)由于400个病例中有100个属于长潜伏期，

若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是；，

于是P(k)=脸。0•(y•G)iooo-k,

则P(k)=>。。(/(」。。。-*

P(k-1)—苗育©16。。^'

_4oo_')!_',1001_])

-3c而—3fc!(1000-k)!-3I〃)'

当0<k<等时，1；

当1221<kW1000时，<1；

4P(k-1)

8

，p(l)<p(2)<…<p(250),p(250)>p(251)>…>p(1000).

故当A=250时，p(fc)取得最大值.

【考点】独立性检验的基本思想，二项分布与n次独立重复试验的模型，正态分布曲线的特点及曲线所表

Z5的意义

【解析】【分析】(1)根据列联表中的数据，计算K口的值，对照临界值表中的数据，即可得到答案；

(2)(i)利用正态分布,结合小概率事件进行判断即可；

(ii)先求出个患者属于“长潜伏期”的概率，然后利用二项分布的概率公式，再利用作商法判断单调性，

即可得到答案.

20.已知椭圆E:冬+'=l(a>b>0)的离心率为I,且椭圆上的点到其右焦点F的最远距离为3.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)当直线I(斜率不为0)经过点F,且与椭圆E交于4,B两点时，问x轴上是否存在定点

P,使得x轴平分4PB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)•••椭圆的左顶点到右焦点距离最远

/.Q+C=3

:离心率为\

a2

联立解得：Q=2,C=1

/.62=a2—c2=3

椭圆E的标准方程为：［+1=1

43

(2)x轴上存在点P(4,0),使得x轴平分ZAPB

理由如下：假设x轴上存在点P(m,0),使得x轴平分ZAPB

设直线/：x=ny+l,与=+?=1联立可得：

(3n2+4)y2+6ny-9=0

设，B(x2,y2)

则%+丫2=一品，%'2=一高

由题意得：ZAPF=ZBPF

•・k^p+k^p=0

即=o

xt-mx2-m

化简得：2几+(1-M)(y1+J/2)=0

把%+为=-品，=一高代入，得：

—18n—6n+6mn

F=0

3n2+4---3n2+4

9

化简得：(―4+m)九=0

•・•直线I的斜率变化，且斜率不为0

/.-4+m=0

/.m=4

，x轴上存在点P(4,0),使得x轴平分/APB

【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由题意得：a+c=3,£=；，解得a,c,由b2=a2-c2,即可得出椭圆E的

a2

标准方程；

(2)假设x轴上存在点P(m,O),使得x轴平分ZAPB,

设4%，%)，/如先)，

设直线I：x=ny+1,与—+^-=1联立可得：(3/+4)产+6ny—9=0,利用韦达

黑一：；

定理即可得+y2=-34，%丫2=3“+4，得k4P+kBP=0，化简得(-4+m)n=0,

进而得出答案。

21.已知函数/(%)=x2lnx+?(a6R)在x=1处的切线与直线久一y+2=0平行

(1)求实数a的值，并求/(%)的极值;

(2)若方程/(x)=m有两个不相等的实根xx,x2-求证：xf+xj>|-

【答案】⑴函数/(x)的定义域为(0,+河，,(x)=2xlnx+x-/,

由题意知f(1)=1—a=1,Aa=0.

:./(%)=2x\nx4-%=x(21nx4-1),令/(%)=0,则％,

当xe(0,f)时，/(%)<o；xe(f,+8)时，/(%)>o.

f(x)的极小值为度)=_,

22

(2)由(1)知/(%)=xlnx,由/(%!)=/(x2)=m得，x121nxi=&lnx2

即2/21nxi=2X221nx2，

2222

所以巧\nxr=x2lnx2.

,・・/H冷，不妨设<x2

令G=2»h=x22»2(t)=£ln£(£>0)

则原题转化为/i(t)=2m有两个实数根匕，£2(G<J)，

//f

又/(t)=1+Int,令力(t)>0,得t>e-1；令/(t)<0,得tVe-1,

・・・4(t)在(0,?T)上单调递减，在(eT,+8)上单调递增，

又tt0+时，/5(t)->0,2(1)=0,=-e-i,

10

-1

由/t)图象可知，-eT<2m<0,0<tj<e<t2<1.

设9«)=次t)-咤-t)=tint-(j-t)ln(j-t),tG(0,i)

则g'(t)=(Int+1)-[-ln(j-t)-1]=2+ln[t(|-t)].

当0<t<：时，t(j-t)=-(t-；)2+^<^，则g'(t)<0

•••5(t)在(0，)上单调递减.

又"5(|)=妃)一妃一3=0

•••te(0,i)时，g(t)>0,得到9(幻=4«1)一火：一口)>0，即火0)>/：一匕)，

又""(G)=力«2)，二〃«2)>-C1)，

又0<G<},则:-G>£,且1>t2>：，/t)在C，+8)上单调递增，

—22

t2>|>SPtj+t2>j,BP+x2>|.

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值

【解析】【分析】(1)求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，进

而求出/(X)的极值；

222

(2)由(1)知f(x)=x\nx,由/(%i)=/(x2)=m得，x1\nx1=x2lnx2，令S=

f

%i2,t2=x22,/©=tlnt(t>0),则原题转化为力(t)=2m有两个实数根tr,t2(i<J)，

求导可得力(t)的单调性，数形结合可得0<Q<亡2<1，设g«)=/«)-〃(：一£)=丹9一

(j-t)ln(|-t)，求导可得g⑷的单调性，tE(0,i),进而证得诏+以o

22.在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为(t为参数)，以原点。为极点，x轴

非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

厂S1M6+3

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线I的普通方程：

(2)已知点P(l,-1),直线I与曲线C交于A.B两点，求焉.

【答案】(1)由,得2x+y—1=0,

即直线I的普通方程为2%+y-l=0.

22

由Q、得psin0+3P2=12•

厂sin2e+3广广

因为y=psind,/+y2=p2,

所以3/+4y2=12,

故曲线c的直角坐标方程为1+1=1.

43

(2)直线I的参数方程为{yVLi+2t(t为参数)，

11

x=

化为标准形式｛:左t为参数)，

4.2V5

y=-i+—f

代入3/+4y2=12，得