第4章 随机变量的数学特征

PAGEPAGE4第4章随机变量的数学特征4.1内容框图数字特征数字特征数学期望方差矩协方差相关系数重要分布的期望和方差4.2基本要求（1）理解数学期望、方差的概念，掌握它们的性质与计算.（2）熟记二项分布、普阿松分布、正态分布、均匀分布、指数分布的数学期望和方差.（3）会算随机变量函数的数学期望.（4）了解矩、协方差与相关系数的概念、性质和计算.4.3内容概要1)一维随机变量的数学期望设是离散型随机变量，概率分布为（）。当级数绝对收敛时，称为的数学期望，记为或，即=。若发散，则称的数学期望不存在。设是连续型随机变量，概率密度为。当绝对收敛时，称为的数学期望，记为，即=。若发散，则称的数学期望不存在。2)随机变量函数的数学期望设为随机变量的函数，即，其中为连续的实值函数。（1）若为离散型随机变量，概率分布为（），则当绝对收敛时，有=。（2）若为连续型随机变量，概率密度为，则当绝对收敛时，有=。3)数学期望的性质(1)若是随机变量，是常量，则。推论1若是常量，则。推论2若是随机变量，是常量，则。推论3若是随机变量，是常量，则。(.2)若和都是随机变量的函数，则.(.3)若随机变量的取值落在常量之间，则其数学期望也必落在之间，即若，则。4)一维随机变量的方差若存在，称它为随机变量的方差，记为或，即=。方差的正的平方根，称为标准差或均方差，记为，即。随机变量的方差可由下列公式求出：。5)方差的性质(1)若是随机变量，是常量，则。推论1若是常量，则。推论2若是随机变量，是常量，则。推论3若是随机变量，是常量，则。设随机变量的均值为，方差为，称为的标准化随机变量。求的数学期望和方差。(2)若是随机变量，是任意常量，则。当且仅当时，达到最小值。(3)切比雪夫（Чибышев）不等式对于任何具有有限方差的随机变量，都有，其中是任一正数。(4)如果随机变量的方差为零，则随机变量以概率1取值为。即如果，则有。6)一维随机变量的矩称为随机变量的阶原点矩，简称阶矩。称为随机变量的阶中心矩。显然：1阶原点矩就是数学期望；2阶中心矩就是方差。7)一些常用分布的数学期望和方差表1常用离散型和连续型分布分布名称分布记号概率分布或概率密度数学期望方差分布二项分布普阿松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布分布分布分布8)二维随机变量的数学期望二维随机变量函数的数学期望设是的函数，的数学期望记为。（1）如果（）为二维离散型随机变量，联合概率分布为（），则当绝对收敛时，有=。（2）如果（）为二维连续型随机变量，联合概率密度为，，，则当绝对收敛时，有=。二维随机变量中各自的数学期望和方差（1）把,看作的特殊情形，用求的公式求出,,,,再求出,。（2）先求的边缘分布，把边缘分布看作是的一维分布，按照一维随机变量求数学期望和方差的公式，求出，，，。随机变量和差、乘积的数学期望，随机变量和差的方差定理随机变量和差的数学期望等于它们的数学期望的和差，即。推论个随机变量之和的数学期望等于它们的数学期望之和，即有。定理独立随机变量乘积的数学期望等于它们的数学期望的乘积，即若相互独立，则有。推论个相互独立的随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积，即如果相互独立，则有。定理独立随机变量和差的方差等于它们的方差之和，即若相互独立，则有。推论个相互独立的随机变量之和的方差等于它们的方差之和，即若相互独立，则有。9)二维随机变量的协方差和相关系数称为随机变量与的协方差，记为，即=。称为随机变量与的相关系数，记为，即=。从这一定义容易看出，。容易看出。性质1若为随机变量，则。性质2若为随机变量，则。性质3若为随机变量，则=。性质4若为随机变量，为常量，则性质5若为随机变量，则。性质6若为的相关系数，则。性质7如果与之间有线性关系，其中是常数，，则当时有，当时有。反之，当时，与之间有线性关系，其中是常数且；当时，与之间有线性关系，其中是常数且。定义若随机变量与的相关系数，则称与不相关。定理对随机变量与，下面的事实是等价的：（1）；（2），即与不相关；（3）；（4）。定理若相互独立，则与不相关。4.4自测题四判断题：(正确打+，错误打-)1．设离散型随机变量的概率分布为:-10aP0.40.4b且E=0.2，则。已知随机变量只能取-1、0、1、2四个值，其相应的概率依次为、则的数学期望为16/37。3.已知随机变量的概率密度，则=1。一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5。现从中任取3只，求取出的3只乒乓球的最大编号的数学期望为4.5。已知二项分布的均值为60，方差为20，试验次数，成功的概率为＝1/36.设X的概率分布是：X-10121/51/21/51/10则E(5X+2)=3。7.已知的分布为则=1/4。8．设随机变量X的概率分布为…,其中是已知常数，则。9．设~，=，则的数学期望E=2/3。10.设～，～，且与相互独立，令，则～.11．设随机变量独立，且其概率密度分别为，，则,2。12．两随机变量独立必不相关。13.两随机变量满足.14．已知随机变量,满足用切比雪夫不等式估计1/12.15．设随机变量～，。选择题：1.离散型随机变量的分布函数为,则().（A）0.2;（B）0.3;（C）0.5;（D）1.3.2．已知随机变量只能取-1、0、1、2四个值，其相应的概率依次为c,2c,3c,4c则为（）。（A）0;（B）1;（C）2;（D）5.3.已知的分布为则=（）。（A）1/2;（B）1;（C）2;（D）4.4.已知随机变量～，且，，则二项分布的参数的值分别为（）。（A）;（B）;（C）;（D）.5.已知随机变量,则().（A）0;（B）1;（C）2;（D）.6.设随机变量的分布函数为,则数学期望=（）。（A）1;（B）;（C）;（D）2.7.设随机变量的概率密度为，，其中，已知，则有（）。（A）；（B）；（C）；（D）.8．随机变量和相互独立，且服从，服从，则服从（）。；；；.9.某零件的质量服从,现任取40个此类零件,记其平均质量为,则().（A）;（B）;（C）;（D）.10．随机变量，，相互独立，，，则E(-2+3)=（）。（A）3;（B）6;（C）9;（D）12.11.设为两个随机变量，满足，则（）不一定成立。（A）;（B）;（C）;（D）.12.随机变量与独立同分布，记，，则与必（）。(A)独立;(B)不独立;(C)相关;(D)不相关.13．若，则()。（A）不相关;（B）相关;（C）不独立;（D）独立.14.设相互独立的随机变量和的方差分别为4和2，则为（）。（A）8;（B）16;（C）28;（D）44.15.设随机变量,,则=().（A）-1;（B）0;（C）1;（D）3.三、填空题：1．已知离散型随机变量的概率分布如下:-2-10123a1/63aa11/30则________。离散型随机变量的分布函数为，则_______。3．设随机变量具有概率密度,则________。4.设随机变量的分布函数为，则______。5.若某人射击的命中率为0.2,则他命中目标时已经射击的次数为的数学期望______。6．随机变量X具有以下的分布律：-2023P0.20.20.30.3则=。7．设随机变量的概率密度为，则________。8.设随机变量，已知3，1/3，则________，________。9.~，~，且相互独立，则~__________。10.设11.设12.已知随机变量13.，则E=_____,D=_____。14.已知二维随机变量的概率分布为 1211/21/421/40=________。15．随机掷100次硬币，设为出现的正面数，为出现的反面数，则相关系数_________。4.5自测题四答案一、1.＋；2.＋；3.＋；4.＋；5.－；6.＋；7.＋；8.＋；9.＋；10.＋；11.＋；12.＋；13.＋；14.＋；15.＋；二、1.D；2.B；3.A；4.B；5.B；6.C；7.B；8.C；9.B；10.A；11.D；12.D；13.A；14.D；15.C；三、1.；2.0.61；3.0；4.；5.5；6.4.7；7.；8.2,4；9.；10.；11.；12.0.6；13.；14.；15.；4.6典型例题例1某种彩票，以10000份为一个开奖组，在这10000份中，有1个一等奖，10个二等奖，100个三等奖，一等奖奖金5000元，二等奖奖金200元，三等奖奖金10元。某人买了1份这种彩票，问他平均能得到多少奖金？解设是他能得到的奖金数。根据题意，可列出下列表格：一等奖二等奖三等奖不中奖奖金数10000份中的份数概率要计算奖金数的平均值，可以这样做：先求出10000份彩票总共可得到多少奖金，将奖金总数除以10000，就是平均每份彩票可得到的奖金数，即的平均值。这个式子也可以写成下列形式：的平均值。例2袋中有2个白球，3个红球，从中任意取出2个球，设是取到的白球数。求的数学期望。解的取值只能是，，。从2个白球，3个红球中任取2个，恰好取到个白球的概率为（）。将代入上式，可得，，。的概率分布为012由数学期望的定义可知。#例3设随机变量的概率密度为=求的数学期望。解由数学期望的定义可知==。#例4设随机变量的概率密度为=。求的数学期望。解由数学期望的定义可知====。#注称为伽玛（Gamma）函数，它的定义是：。它有下列性质：（1）当为正整数时，；（2）；（3）。例5设服从[0，1]上的均匀分布，概率密度为，求。解由于已知的概率密度为，而是的函数，用2.5节定理2.1中求一维随机变量的函数的分布的公式，可求得概率密度因此。可以直接计算。例6的概率分布为-2-101230.10.20.250.20.150.1求的数学期望。解法1先求随机变量函数的概率分布，得到01490.250.40.250.1再按照求数学期望的公式，计算的数学期望。#解法2按照定理4.1给出的公式直接计算的数学期望。例7已知，，求：（1）；（2）。解（1）。（2）。例8设的概率分布为的概率分布为如果计算它们的数学期望，则有，，两者都是0，看不出什么区别。但是，的分布与的分布，显然有很大的区别，一个集中，一个分散，所以，为了将它们区分开来，还需要用到其他的数字特征。例如，在上面例1中，，的方差为=，=。，的标准差为，。例9设随机变量服从0-1分布，概率分布为01求的数学期望和方差。解，，由定理4.2可得。例10设随机变量的概率密度为。求的数学期望和方差。解，，由定理4.2可得。例11已知，求。解。例12设随机变量的均值为，方差为，称为的标准化随机变量。求的数学期望和方差。解，。例13设随机变量的概率密度为。（1）用切比雪夫不等式对概率作近似估计；（2）求概率的精确值。解在前面的例3中，已经求得的数学期望和方差。（1）用切比雪夫不等式作近似估计，有。（2）用积分式作精确计算，则有。例14设服从0-1分布，概率分布为01求的阶原点矩和阶中心矩。解的阶原点矩为。的阶中心矩为。例15设服从参数为的指数分布，概率密度为。求的阶原点矩。解的阶原点矩为。例16设服从上的均匀分布，概率密度为。求的4阶中心矩。解因为～，所以。的4阶中心矩。例17设（）的联合概率密度为。求。解。例18设（）的联合概率密度为。求，，，。解法一。。。同理可得，。解法二先求的边缘概率密度。再求的数学期望和方差。。。同理可得，。两种解法得到的结果是完全相同的。例19设的联合概率分布为0100.30.30.610.30.10.40.60.41求，，，。解先求，的边缘概率分布，见上表边缘。再求的数学期望和方差。。。同理可得，。