概率论与数理统计五章

第5章随机变量的数字特征在许多问题中，并不需要知道随机变量的一切概率性质，而只需了解它的某一性质或特征就可以了。本章将介绍随机变量的一些常见的数字特征，如数学期望、方差、相关系数等，它们在理论和实践上都有重要意义。

§5.1随机变量的数学期望5.1.1离散型随机变量的数学期望定义5.1.1

设离散型随机变量X的分布律为P{X=ak}=pk(k=1,2,...),若级数绝对收敛,则称它为随机变量X的数学期望，或平均值（简称期望或均值）记为，即（5.1.1）

若级数不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在.例5.1.1有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表出：甲：乙：击中环数８９１０击中环数８９１０概率0.30.10.6概率0.20.50.3试问哪个射手本领较大？例5.1.2

据统计，一个50岁的人，在一年内死亡的概率为1.5％，今有一个50岁的人参加一年期保险额度为20万元的某种保险，须缴保费4千元，求保险公司获利的数学期望．例5.1.3（一种验血方法）在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血，对这些人的血的化验可以用两种方法进行。（1）每个人的血分别化验，这时需要化验N次；（2）把k个人血液混在一起化验，如果是阴性的，那么对这k个人只需作一次化验，如果结果是阳性的，那么必须对这k个人再逐个分别化验，这时对这k个人共需作k+1化验。假定对所有的人来说，化验是阳性反应的概率都是p，而且这些人的反应是相互独立的。试说明按方法（2）可以减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。1．两点分布随机变量X的分布律为

X10

概率pq

2．二项分布随机变量X的分布律为3．泊松分布随机变量X的分布律为4．几何分布随机变量X的分布律为例5.1.4

某射手每次射击击中目标的概率为0.8，现连续向一目标射击，直到第一次击中为止，求射击次数X的数学期望．5.1.2连续型随机变量的数学期望对于连续型随机变量X，若其密度函数为，注意到的作用与离散型随机变量的相类似，于是有如下定义．定义5.1.2设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，若积分绝对收敛，则定义（5.1.2）若积分不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在．下面介绍几个常见的连续型随机变量的数学期望．1．均匀分布随机变量X的密度函数为2．指数分布随机变量X的密度函数为3．正态分布随机变量X的密度函数为例5.1.5

设随机变量X的密度函数为求X的数学期望．例5.1.6有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一个指数分布，其概率密度函数为（1）若将这5个装置串联组成整机，求整机的寿命的数学期望；（2）若将这5个装置并联组成整机，求整机的寿命的数学期望.例5.1.7

设随机变量的分布函数为则．例5.1.8

设随机变量X的密度函数为已知，试求的值．5.1.3

随机变量函数的数学期望在许多实际问题中，常常需要计算随机变量函数的数学期望，即若，要求出，当然可以先由X的分布求出Y的分布,再由定义求．但我们也可以不必求出Y的概率分布，而直接由的概率分布来计算．定理5.1.1

设随机变量Y是随机变量X的函数，，是连续函数．（1）X为离散型随机变量，其分布律为若级数绝对收敛，则（5.1.3）（2）X为连续型随机变量,其密度函数为,若绝对收敛，则（5.1.4）证略（定理证明超出本书范围）．该定理可以推广到多个随机变量函数的情形.定理5.1.2

设随机变量Z是随机变量X，Y的函数，，是连续函数．（1）是离散型随机变量，其联合分布律为若级数绝对收敛，则有

（5.1.5）（2）是连续型随机变量，其联合密度函数为，若积分绝对收敛，则有

（5.1.6）例5.1.9某商家对一商品的需求量是随机变量X（单位：吨），它在[2000,4000]上服从均匀分布,设商家每出售该商品1吨，可获利3万元，若销售不出而积压于仓库,每吨需保养费1万元．问需组织多少货源，才能使商家最大获利？例5.1.10

设一部机器在一天内发生故障的概率为,机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元;发生一次故障可获利润5万元;发生两次故障则无利润;发生三次或三次妈上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?例5.1.11

某巴士车站从早上6点到晚上9点于每个整数点后的第5、第15、第35、第55分钟均有一辆巴士到达．假设乘客在一个整数点内到达是等可能的，求一个乘客由于等车而浪费的平均时间．例5.1.12设二维随机变量（X,Y）的概率密度为求*例5.1.13

随机变量，，试求．5.1.4数学期望的性质性质5.1.1

设X是随机变量，C为常数，则性质5.1.2设X、Y是任意两个随机变量，则有性质5.1.3

设X、Y是相互独立的随机变量,则有例5.1.14

有100人过年时互赠写有祝福语的贺卡，每人准备一张（外形相同）集中放在一起，然后每人从中随机地挑选一张，求恰好取回自己贺卡人数的数学期望．例5.1.15

设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为试证E(XY)=E(X)E(Y),但X与Y不相互独立.§5.2随机变量的方差数学期望反映了随机变量取值的集中位置，或者说是随机变量的平均值．有时仅了解随机变量取值的均值还不够，还需了解其取值与均值的偏离程度，这就需要引进随机变量的另一个重要数字特征——方差．定义5.2.1设X是一个随机变量,若存在，则称为随机变量X的方差，记为，或，即（5.2.1）而称为X的均方差或标准差，记为．有时也将简写为．

若X为离散型随机变量，其分布律为则（5.2.2）

若X为连续型随机变量，其密度函数为，则（5.2.3）

由方差的定义及数学期望的性质可得方差的如下的计算公式（5.2.4）例5.2.1

已知离散型随机变量X的可能取值为试求X的分布律.例5.2.2

已知连续型随机变量X的密度函数为求方差．例5.2.3设二维随机变量服从D上的均匀分布，其中D是由轴x，轴y及直线所围成的三角区域，求D(Y)．下面计算几个常见的随机变量的方差．1．两点分布随机变量X的分布律为

X10

概率pq,，则2．二项分布随机变量X的分布律为把X看作是n重贝努利试验中事件A发生的次数，p为A在每次试验中发生的概率．令显然，，这里服从参数为p的0-1分布,且相互独立，因此3．泊松分布随机变量X的分布律为4．均匀分布随机变量X的密度函数为5．指数分布随机变量X的密度函数为6．正态分布随机变量X的密度函数为

特别地，对标准正态分布，其数学期望是0，方差是1．在有些问题中，经常需要将随机变量“标准化”，即对任一随机变量X，如果它的数学期望和方差都存在，，则称为X的标准化随机变量．方差的一些基本性质．性质5.2.1设C为常数，则．性质5.2.2

设X为随机变量，C为常数，则性质5.2.3

设随机变量X与Y相互独立，则性质5.2.3还可以推广到有限个随机变量的情形．如果是n个相互独立的随机变量，并且均存在，则性质5.2.4

的充要条件是依概率1取常数C,即

P(X=C)=1§5.3

协方差和相关系数定义5.3.1

若存在，则称它为随机变量X与Y的协方差,记为，即（5.3.1）而（5.3.2）称为随机变量X和Y的相关系数．是一个无量纲的量，要求，．例5.3.1

设二维随机变量的分布律为

-10101/301/3101/30计算，．XY例5.3.2

设服从二维正态分布,即的联合密度函数为试求相关系数．由定义，不难验证协方差满足下列性质：对于相关系数来说，具有下列有关性质：

(1)，

该性质表明X,Y的相关系数是衡量X与Y之间线性相关程度的量.当时,X与Y依概率1线性相关.特别当时,Y随X的增大而线性地增大,此时称X与Y正线性相关;当时,Y随X的增大而线性地减小,此时称X与Y负线性相关.而当时,X与Y之间线性相关程度减弱,特别当时,我们称X与Y不相关.例5.3.3

设随机变量X的概率概率密度函数为(1)求X的数学期望E(X)和方差D(X);(2)求X与|X|的协方差,并问X与|X|是否不相关?(3)问X与|X|是否相互独立?为什么?§5.4高阶矩对数学期望和方差作进一步的推广，可得到更广泛的一种随机变量的数字特征——高阶矩．定义5.4.1

设X与Y是随机变量，若（5.4.1）存在，则称它为随机变量X的k阶原点矩，若（5.4.2）存在，则称它为随机变量X的k阶中心矩，若（5.4.3）若（5.4.4）存在，则称它为随机变量X与Y的阶混合中心矩．显然X的数学期望是X的一阶原点矩，方差是X的二阶中心矩，协方差是X与Y的1+1阶混合中心矩．例5.