《直线的交点坐标与距离公式》一课一练

3.3直线的交点坐标与距离公式1、点(a,b)到直线的距离是（A）（B）（C）（D）2、已知M(sinα,cosα),N(cosα,sinα)，直线l:xcosα+ysinα+p=0(p<–1)，若M,N到l的距离分别为m,n，则（A）m≥n（B）m≤n（C）m≠n（D）以上都不对3、已知A,B,C为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a,b,c，已知直线xsinA+ysinB+sinC=0到原点的距离大于1，则此三角形为（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）不能确定4、过两直线x–y+1=0和x+y–=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条5、与直线2x+3y–6=0关于点(1,–1)对称的直线是（A）3x–2y+2=0（B）2x+3y+7=0（C）3x–2y–12=0（D）2x+3y+8=06、若直线y=ax+2与直线y=3x–b关于直线y=x对称，则（A）a=,b=6（B）a=,b=–2（C）a=3,b=–2（D）a=3,b=67、不论m取何值，直线(2m–1)x–(m+3)y–(m–11)=0（A）(3,2)（B）(2,–3)（C）(2,3)（D）(–2,3)8、已知函数f(x)=x+1，则与曲线y=f(x+1)关于直线l:x+1=0成轴对称图形的曲线方程是（A）y=–x（B）y=–x–4（C）y=–x+2（D）y=x9、方程2x2+9xy+10y2–7x–15y+k=0表示两条直线，则过这两直线的交点且与x–y+2=0垂直的直线方程是（A）x+y–1=0（B）x+y–2=0（C）x+y+1=0（D）x+y+2=010、若点P在直线x+3y=0上，且它到原点的距离与到直线x+3y–2=0的距离相等，则点P的坐标是.11、若两平行直线3x–2y–1=0和6x+ay+c=0之间的距离是，则的值为---12、直线y=2x+1关于直线y+2=0对称的直线方程是.13、直线l过点A(0,1)，且点B(2,–1)到l的距离是点C(1,2)到l的距离的2倍，则直线l的方程是.14、11．给出下列五个命题：①过点(–1,2)的直线方程一定可以表示为y–2=k(x+1)；②过点(–1,2)且在x轴、y轴截距相等的的直线方程是x+y–1=0；③过点M(–1,2)且与直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)垂直的直线方程是B(x+1)+A(y–2)=0；④设点M(–1,2)不在直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)上，则过点M且与l平行的直线方程是A(x+1)+B(y–2)=0；=5\*GB3⑤点P(–1,2)到直线ax+y+a2+a=0的距离不小于2，以上命题中，正确的序号是。15、在△ABC中，已知A(3,–1)，∠B的内角平分线BD所在的直线方程是x–3y+6=0，AB边上的中线CE所在的直线方程是x+y–8=0，求点B的坐标和边BC所在的直线方程。答案1、B；2、A；3、C；4、B；5、D；6、A；7、C；8、A；9、D10、11、12、2x+y+5=013、x=0；14、④=5\*GB3⑤15、x+7y-44=08.3直线的交点坐标与距离公式1．直线3x＋2y＋4＝0与2x－3y＋4＝0(B) A．平行B．垂直C．重合D．关于直线y＝－x对称 解析：直线3x＋2y＋4＝0与直线2x－3y＋4＝0的法向量分别为(3,2)、(2，－3)， 由(3,2)·(2，－3)＝0知两直线垂直． 2．若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，则a的值是(C) A．2B．－3或1C．2或0D．1或0 解析：直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0的法向量分别是(1，a)与(a，－(2a－3))，由两直线互相垂直得：a－a(2a－3)＝0，解得：a＝2或a＝0. 3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(B) A．0或－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)或－6C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)D．0或eq\f(1,2) 解析：依题意得eq\f(|3m＋5|,\r(m2＋1))＝eq\f(|－m＋7|,\r(m2＋1))，∴|3m＋5|＝|m－7|，∴(3m＋5)2＝(m－7)2， ∴8m2＋44m－24＝0，∴2m2＋11m－6＝0，∴m＝eq\f(1,2)或m＝－6.4．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinAx＋ay＋c＝0与bx－sinBy＋sinC＝0的位置关系是(C) A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直 解析：由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得bsinA－asinB＝0.∴两直线垂直． 5．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________． 解析：当l与过两点的直线垂直时，(2，－1)与直线l的距离最远，因此所求直线的方程为y－1＝－eq\f(2－(－1),－1－1)·(x＋1)即3x－2y＋5＝0. 6．过直线l1：x－2y＋3＝0与l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程为________________．答案：y＝2或4x－3y＋2＝0 7．在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线为y＝0，点B(1,2)，则点A和点C的坐标分别是________．答案：(－1,0)，(5，－6) 解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0,y＝0))得顶点A(－1,0)，kAB＝1， ∴kAC＝－1，∴AC方程为y＝－x－1.① 又BC方程y＝－2x＋4，②解①和②得C(5，－6)． 8．求过点P(1,2)且与A(2,3)和B(4，－5)等距离的直线方程． 解答：解法一：所求直线有两条，一条是过P(1,2)点且过AB的中点，另一条是过P(1,2)与A、B两点所确定的直线平行． AB的中点M的坐标为(3，－1)，∴过P、M两点的直线方程为y－2＝eq\f(2－(－1),1－3)(x－1)， 整理得3x＋2y－7＝0； 过P点与AB平行的直线为y－2＝eq\f(3－(－5),2－4)(x－1)， 整理得4x＋y－6＝0； 因此所求的直线方程为3x＋2y－7＝0，或4x＋y－6＝0. 解法二：设所求的直线方程为y－2＝k(x－1)， 即kx－y＋2－k＝0， 根据题意：eq\f(|2k－3＋2－k|,\r(k2＋1))＝eq\f(|4k＋5＋2－k|,\r(k2＋1))，即|k－1|＝|3k＋7|，解得：k＝－4或k＝－eq\f(3,2). 因此所求的直线方程分别为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.9．在直角梯形OABC中，OA∥BC，OA⊥OC，在OA、BC边上分别有两点P、Q，若PQ平分梯形的面积，求证：直线PQ必过一定点． 证明：如图所示，以OA所在直线为x轴，O为原点，建立坐标系 设A、B、P、Q的坐标分别为(a,0)、(b，c)、(t1,0)、(t2，c)， ∴直线PQ的方程为：y＝eq\f(c,t2－t1)(x－t1)． 由PQ平分梯形ABCO的面积，∴2S梯形PQCO＝S梯形ABCO. 即2·eq\f((t1＋t2)c,2)＝eq\f((b＋a)c,2)，∴t1＋t2＝eq\f(a＋b,2)，即t2＝eq\f(a＋b,2)－t1. 直线PQ的方程为y＝eq\f(c,\f(a＋b,2)－2t1)(x－t1)，整理得：2cx－(a＋b－4t1)y－2ct1＝0 即(4y－2c)t1＋2cx－(a＋b)y＝0，∴y＝eq\f(c,2)，x＝eq\f(a＋b,4). 因此直线PQ必过定点(eq\f(a＋b,4)，eq\f(c,2))．10．已知直线l过P(3，－2)点，求： (1)原点到直线l距离最大的l的方程；(2)原点到直线l距离为3的l的方程． 解答：(1)∵kOP＝－eq\f(2,3)，∴直线l的斜率为k＝－eq\f(1,kOP)＝eq\f(3,2). 则直线l的方程为y＋2＝eq\f(3,2)(x－3)，即3x－2y－13＝0. (2)设所求直线的方程为y＋2＝k(x－3)，即kx－y－3k－2＝0. 由eq\f(|3k＋2|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(5,12)，则l的方程为5x－12y－39＝0，又斜率不存在时的直线方程x＝3符合题意，因此直线l的方程为x＝3或5x－12y－39＝0. 1．k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限． 解答：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋3k－2,x＋4y－4＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(12－12k,4k＋1),y＝\f(7k－2,4k＋1)))∵两直线的交点在第一象限， ∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(12－12k,4k＋1)>0,\f(7k－2,4k＋1)>0))，∴eq\f(2,7)<k<1.即当eq\f(2,7)＜k＜1时，两直线的交点在第一象限． 2．已知三条直线l1：mx－y＋m＝0，l2：x＋my－m(m＋1)＝0，l3：(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，它们围成△ABC. (1)求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点； (2)当m取何值时，△ABC的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值． 解答：(1)证明：设直线l1与直线l3的交点为A， 由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－y＋m＝0,(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0))得x＝－1，y＝0 ∴A点坐标为(－1,0)，∴不论m取何值△ABC中总有一个顶点A(－1,0)为定点． (2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋my－m(m＋1),(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0))得x＝0，y＝m＋1，即l2与l3交点为(0，m＋1)， 由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－y＋m＝0,x＋my－m(m＋1)＝0))得x＝eq\f(m2,m2＋1)，y＝eq\f(2m2＋m,m2＋1)，即l1与l2交点为(eq\f(m2,m2＋1)，eq\f(2m3＋m,m2＋1))， ∴S△ABC＝eq\f(1,2)·eq\r(1＋(m＋1)2)·eq\f(|(m＋1)\f(m2,m2＋1)－\f(2m3＋m,m2＋1)＋m＋1|,\r((m＋1)2＋1))＝eq\f(1,2)eq\f(2m2＋1,m2＋1)＝eq\f(1,2)(2－eq\f(1,m2＋1)) ∵m2＋1≥1，∴1≤2－eq\f(1,m2＋1)<2，∴eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)(2－eq\f(1,m2＋1))<1即eq\f(1,2)≤S△ABC<1， ∴当m＝0时S△ABC取到最小值eq\f(1,2)，S△ABC取不到最大值．1．不论取什么值，直线与都不能()A.平行B.相交C.垂直D.重合2．过点作与直线垂直的直线，则垂足坐标为()A.