山东省名校考试联盟2023-2024学年高一上学期12月阶段性检测数学试题（解析版）

PAGEPAGE1山东省名校考试联盟2023-2024学年高一上学期12月阶段性检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，则.故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗命题“，”的否定是“，”，C正确.故选：C.3.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗或，故，.故选：C.4.在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗对于A和B，指数函数过定点，且递增，则，所以幂函数递增，且增加的越来越快，故A不符合，B不符合；对于C和D，指数函数过定点，且递减，则，所以幂函数递增，且增加的越来越慢，故C符合，D不符合.故选：C.5.已知幂函数的图象经过点，则（）A.定义域为 B.是偶函数C.是减函数 D.的图象关于原点中心对称〖答案〗B〖解析〗因为函数为幂函数，设，则，可得，所以，，则，所以，函数的定义域为，A错；对任意的，，所以，函数为偶函数，B对，D错；函数在区间上为减函数，在为增函数，C错.故选：B.6.设函数在上单调递减，则a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，可得，因为函数在定义域上为单调递减函数，要使得在上单调递减，则满足，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.7.已知，则“为偶数”是“为偶数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由题，若“为偶数，则为偶数，因为与奇偶性相同，所以与都为偶数，则“为偶数”，若为偶数，则为偶数，所以为偶数；所以“为偶数”是“为偶数”的充要条件.故选：C.8.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由条件可知，，，，则，，，，，，所以，，，，所以，，，，所以，综上可知，.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数（且），下列说法正确的是（）A.为增函数B.函数的图象过定点C.当且时，D.点在的图象上，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，当时，在其定义域上单调递减，故A错误；对于B，当时，，故B正确；对于C，当时，在其定义域上单调递减，所以当时，，故C错误；对于D，因为点在的图象上，所以，则，所以，则，故D正确.故选：BD.10.函数的定义域为R，且在单调递减，，若函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（）A.的图象关于直线对称 B.为偶函数C.，恒成立 D.的解集为〖答案〗BCD〖解析〗若函数的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，即为偶函数，故B正确；又在单调递减，所以在单调递增，故A错误；所以，恒成立，故C正确；因为，所以，所以的解集为，故D正确.故选：BCD.11.已知，且，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由，且，对于A中，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；对于B中，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以，解得，则，所以B正确；对于C中，由，即，所以C错误；对于D中，由，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以D正确.故选：ABD.12.函数，下面结论正确的是（）A.函数的图象为中心对称图形 B.存在使得有三个零点C.当且仅当时，有零点 D.存在使得有两个零点〖答案〗ABD〖解析〗对于A中，由，可得，即，所以函数关于点中心对称，所以A正确；对于B中，例如时，函数，此时函数的图象，如图（1）所示：此时方程有3个实数解，即函数有3个零点，所以B正确；对于C中，例如：时，函数，此时函数的图象，如图（2）所示：此时，但方程有一个实数解，即函数有1个零点，所以C错误；对于D中，例如：时，函数，此时函数的图象，如图（3）所示：此时方程仅有2个实数解，即函数有2个零点，所以D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数定义域是__________.〖答案〗〖解析〗由函数有意义，则满足，即，解得，即函数的定义域为.故〖答案〗为：.14.设函数，则________，若，则=_________.〖答案〗〖解析〗由函数，可得，所以；若，当时，令，解得，此时，不符合题意，舍去；当时，令，解得，符合题意，综上可得，.故〖答案〗为：.15.，，则_________.〖答案〗2〖解析〗因为，又，即，所以，又，，所以.故〖答案〗为：2.16.函数在上单调递增，，则_________.〖答案〗〖解析〗因为函数在上单调递增，则存在唯一的实数，使得，又因为，则，即，所以，，解得，所以，，故.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知实数，集合，.（1）当时，求及；（2）当时，求实数a的取值范围.解：（1）当时，，，故或，.（2），故，当时，，解得，与题干中的矛盾，舍去，当时，，解得，满足要求，综上，实数a的取值范围是.18.（1）如果，且，其中，求证：①；②.（2）如果，且，，且，求证：.解：（1）证明：①设，可得，则，所以.②由，所以，即.（2）设且，可得，两边同时取对数，可得，即，所以，即且且.19.已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）当时，（i）解关于x的不等式；（i）若存在，使得，求实数a的取值范围.解：（1）由函数，因为不等式的解集为，可得和是方程两个实数根据，则，解得.（2）（i）由函数，因为，可得，即，所以，由不等式，即，当时，即时，解得，或；当时，即时，即，解得；当时，即时，解得，或，综上可得，当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.（ii）由（i）知，当时，不等式解集为，若存在，使得，则满足，解得；当时，不等式的解集为，此时不存在，使得；当时，不等式的解集为，此时不存在，使得，综上可得，实数的取值范围为.20.经验表明，某种日照绿茶用80℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型；若物体的初始温度是℃，室温是℃，则经过时间（单位；分钟）后物体的温度（单位：℃）满足，其中为正常数.研究小组通过多次测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为85℃的茶水，放在室温25℃的环境中自然冷却，10分钟以后茶水的温度降至55℃.（1）求的值；（2）当室温为20℃时，若该种日照绿茶用80℃的水泡制，自然冷却至60℃，可以产生最佳口感，那么，则刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到0.1）（附，参考值）解：（1）由题意知，物体的初始温度是℃，室温是℃，则经过时间后物体的温度满足，其中为正常数，因为测得200mL初始温度为85℃的茶水，放在室温25℃的环境中自然冷却，10分钟以后茶水的温度降至55℃，可得，即，整理得，即，解得.（2）由（1），可得，令，即，可得，则，所以，所以刚泡好的茶水大约需要放置分钟，才能达到最佳饮用口感.21.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，这一结论可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.（1）利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形；（2）判断并利用定义证明函数的单调性.解：（1）函数的定义域为，令，则函数的定义域为，对任意的，则，所以，函数为奇函数，故函数的图象关于成中心对称图形.（2）函数在上为减函数，证明如下：对任意的、，且，则，所以，，即，因此，函数在上为减函数.22.已知幂函数是偶函数.（1）求函数的〖解析〗式；（2）若，求x的取值范围；（3）若，对任意，都存在唯一，使得，求实数的取值范围.解：（1）幂函数，