如何培养学生的数感

如何培养学生的数感晋江市永和旦厝小学黄东汉提纲一、数感的涵义二、数感与加法和减法三、数感与乘法和除法四、数感与小数、分数、百分数五、培养学生数感的策略讲座一、数感的涵义1、对数感的认识“数感”的英文是“NumberSense”，也可以翻译成数觉或数意识。数感和语感、乐感一样，通常是个直觉的、浪漫的、只可意会不可言传的概念。1954年，Dantzig首次提出数感的概念，认为数感是对微小数量变化的一种直觉感受。这个在西方数学教育中的常见词语，首次作为我国数学课程的一项培养目标，为我国当前的数学教育传达了一种全新的信息。数感很容易辨识，但很难精确定义。关于数感具体由哪些数学概念理解和技能组成，不同的研究者有不同的理解。1989年，在全美数学教师协会（NCTM）制定的《中小学课程与评价标准》中关于数感的阐述为：“数感是一种关于数字的直觉，它从数字的所有不同意义的表述得以表现。2002年东北师范大学马云鹏教授、北京教育学院史炳星副教授在《数学教育学报》撰文中说：“数感是一种主动地、自觉地或自动地理解和运用数的态度与意识”2003年，华南师范大学王林金教授在《数学通报》撰文说：学生“对于数及其运算的敏捷感知与深入认识，这种素质称为数感”2、什么是数感？在计算“□－４＝９”和“１００÷２５＝？”这类题目时，有些学生很可能会竭尽全力去寻找合适的计算程序来解决问题，而不会去努力寻找题目中数字的相关联系。但是，有些孩子则能应用自己掌握的数字事实来解决问题。我们把孩子们具有这种对数字之间关联的意识以及灵活地解决数字问题的能力称为其对数字的“感觉”或“数感”。——（英）朱莉娅·安吉莱瑞数感指的是一个人对数字和运算的一般理解力，以及灵活应用这种理解力的倾向和能力，用这种方式可以做出明智的数学判断，并开发出应用数字和运算法则的有效策略。（麦金托什等，1992年）数感……体现的是应用数字和量化方法作为交流、加工、解释信息的倾向和能力。它使人们意识到数学是有某种规律的。（麦金托什等，1992年）根据麦金托什等人的分析，数感主要在三个领域起重要作用：数字知识和数字的简便性——数字的顺序感；多样化的数字呈现形式；数字相对和绝对数量的判断；思考数字的基准参考体系。运算知识和运算的简便性——理解运算结果；意识到所应用的规则；运算之间的关系。把数字、运算知识及其简便性应用到需要用数字进行推理的问题中——理解问题情境和合适的解题策略之间的关系；意识到存在多样化的数字呈现方式；应用有效的数字表征形式和（或）方法的倾向；检验数据和结果的倾向。表1幼儿数感的主要成分领域成分数数知道数数的顺序掌握数数时一一对应、顺序固定、集合、抽象和顺序无关的原则数知识区分不同数量，知道相同数量进行数量大小的比较数量转换通过加、减改变无题数量借助实物操作进行加、减计算进行加、减心理运算数量估计大概估计物体数量的大小，会使用参考点进行估数数字组型能模仿数型、扩充数型，能辨认数字间的关系表2数感含义的组成部分数感含义的组成部分实例理解数字的意义和相对大小9和15哪个大？你是怎么知道的？理解和使用数字的等量表征方式用多种理解或方法表示0.25的含义。理解运算的意义和作用750×0.92比750大吗？为什么？理解和使用等量表征750÷0.5和750×2相等吗？你是怎么理解的？在各种计算中灵活使用计算策略借助对乘法意义的理解并心算78×5选择和运用度量的基准用一分钟的脉搏次数，估计一小时或一天脉搏的次数。3、对数感在《标准》中的理解1．理解数的意义：在义务教育阶段学生要学习整数、小数、分数、有理数、无理数等数概念。2．能用多种方法表示数：既是指要求学生理解数的概念，也是指使学生了解数的产生发展过程。3．在具体的情境中把握数的相对大小关系：不仅是理解数概念的需要，同时也会加深对数的实际意义的理解。4．能用数表达和交流信息：既能使学生体会学习数学的价值，也是数感的具体表现。5．在解决问题的过程中选择恰当的算法、对运算结果的合理性作出解释：也是形成数感的具体表现。二、数感与加法和减法1、加、减法与计数的联系把一个物体放入到一个集合中，或者从一个集合取出一个物体，这些实际活动为学生提供了与计数有关的语言表达和体验的机会，这些语言表达方式和体验有助于他们把具体的物体模型与某些抽象的数字模式联系起来。例如，“多一个”就是与计数顺序中的下一个数字相联系，“少一个”则是与计数顺序中的前一个数字相联系。这时，孩子们通过解决具有实际意义的问题来认知这些计数模式。研究结果表明，即使缺乏熟练而复杂的数字计算技能，低年级的学生仍能计算出结果。这就表明，孩子们是在问题解决的过程中形成数学知识的，而不是孤立地学习这些知识然后再单独运用这些知识。2、加法计数策略加法是最基本的计数技能，“向前数”在早期阶段就是有效的计数策略之一。3、减法计数的策略4、理解加、减法的各种意义5、阅读符号下面问题涉及同一个由三个数字组成的数字组，这类问题有助于学生用各种方法灵活地解释符号。四种主要的加减法应用题的类型变化型淘气有5颗珠，笑笑又给了他8颗，这时他有多少颗珠？笑笑有8颗珠，他拿出3颗给淘气，笑笑还剩多少颗珠？结合型淘气有5颗蓝珠和8颗红珠，他共有多少颗珠？笑笑和淘气共有13颗珠，如果笑笑有5颗珠，淘气有多少颗珠？比较型淘气有8颗珠，笑笑有5颗珠，淘气比笑笑多几颗珠？笑笑有5颗珠，比淘气少8颗，淘气有多少颗珠？相等型淘气有8颗珠，笑笑有5颗珠，笑笑需要几颗就和淘气的珠一样多？淘气有5颗珠，如果笑笑减少8颗就和淘气一样多，笑笑有多少颗珠？三、数感与乘法和除法1、整数乘法的四种主要情境等组（例如，三张桌子，每张桌子围坐四个孩子）。倍数比较（比率系数）（例如，男孩数是女孩数的三倍）。矩形队列（例如，四个孩子气排，共三排）。笛卡儿积（例如，将三个女孩和四个男孩进行搭配，共有几种可能）。2、乘法与除法情境的问题结构3、乘、除运算的早期经验研究显示，早在幼儿园期间，孩子们就能够用物体来模拟分组与平分这类除法问题。把物体拆分或重组成数量相等的集合，这种活动有助于孩子们在数字语言和数字之间建立联系。与平分活动相比，把一个集合中的物体分成若干小组，这种方法可以更直接地表现出反复相减是如何把一个集合分成几个部分的，这个过程与乘法是反复相加的过程截然相反。孩子们遇到的最简单的乘法形式可能是两个集合之间的多一对应关系（如1辆车有4个轮子），这种对应关系与比率或比率系数有关，这是乘法思维的基础。在孩子们体验数字的实际过程中，他们会发现，有些数字无法分成等组，例如，7个物体不能正好分成两组，还会有剩下的物体，这就是对余数早期的体验。4、乘法的意义作为记录重复相加过程的简便方法，教师可以把乘法符号“×”介绍给孩子们。在培养他们数感的时候，如果仅仅把乘法等同于重复相加，那么将会限制他们对乘法的理解，以至于日后无法理解某些计算题，如0.3×0.4。为了理解这类乘法计算题，就要用比率概念，即0.3×0.4表示0.3的0.4倍，或0.4的0.3倍。从最初把乘法理解成反复相加，发展到用乘法解决其他类型的问题，如比率商的问题（自行车的行驶速度是行人的8倍）和笛卡儿积的问题（选择三种面包和四种馅，可以做出多少种的汉堡）。这两种问题的解决都要应用到乘法，但是很显然，这里的乘法不是重复相加。5、除法的意义我们把除法作为记录平均分的过程与结果的简便方法介绍给学生，例如，“１８÷３”有两种解释：①分配（等分）——把１８平均分成３份，每份有多少；②包含（分组）——１８中包含多少个３。用“倍”的意义来解释除法，上述①等同于“什么数字的３倍是１８”；上述②等同于“３的多少倍是１８”，这种解释与计数模式３，６，９，１２，１５，１８……相联系，也把除法与“重复减法”联系起来。如果仅把除法解释成“分配”，那么他们就无法解释诸如“８÷4”这类除法问题（８被4个人分）。学生能够灵活地解释除法的各种意义是非常重要的。6、把乘法和除法扩展到１０的倍数和１０的乘方把乘法事实扩展到１０的倍数（２０，３０……）和１０的乘方（１００，１０００……以及后面学到的０．１）时，教师必须解释这些乘法事实的意义，这们才能让孩子们理解这些乘法事实，因为在较大数字相乘时，这些都是重要的计算策略。7、较大数字乘法的心算策略8、乘法表外的除法9、乘法的笔算方法10、多位数除以一位数的除法教师可以用均分或分组这两种方法来讲解除法问题。这两种方法应该和局面记录相互配合，因为书面记录有助于判断学生对问题的理解程度。把除法等同于“数字组块”的反复相减可能是有益无害的，而且局面记录可以提供一个有利于孩子们理解计算过程的结构性记录。例如，９６÷４，就要把９６分成若干个和４有关的数字，笔算的形式可以是水平的，也可以垂直的：除数是两位数的除法11、算法附言所有学生最终都期盼使用有效的笔算方法进行计算。但是，只有循序渐进地建立这些方法，并不断地完善和扩展这些心算策略，笔算方法对学生才是有意义的。过去，对传统的笔算方法的精通程度一直是衡量对数学掌握程度的标准，这样的观点现在再也站不住脚了。事实上，对脱离具体情境的传统笔算方法进行过度训练反而会阻碍提高（学校）数学（课程）标准中整体目标的实现。……为了达到很现实的目的，学生将使用心算方法或者计算器来计算问题。（DES，1989）四、数感与小数、分数、百分数1、掌握有关数字系统的技能理解并解释这些符号。在数轴上确定数字的位置。计算这些数字。2、百分数入门新的教学方法先教百分数，然后开始教等值的小数和小数。所有的百分数都可以简单地表示成分数和小数，在学习中，从百分数开始学习，可以培养孩子们“更好的整体理解力”和形成数感所需要的“自信心、灵活性和创造力”。孩子们在日常生活中会遇到许多百分数，对于不同的百分数，如99％、50％、25％、10％等，他们会有自己直观的想法。这类直观的意义，有助于指导他们理解小数和分数是两种等值的表征形式。百数正方形是可以反映百分数的视觉图形，这一上正方形中的不同阴影部分面积，能让孩子们直观地看出某一百分数是从100当中取出多少。另一个有用的图形是可以表示从0到100％的数轴，计算机通常借助这种图形来表明程序执行的进展情况。这种图形能为孩子们提供一个熟悉的标准图像，有助于他们把对比率的理解与数轴上的刻度联系起来。用百分数进行计算时要利用孩子们对整数计算的经验，包括两倍法和两分法的计算策略。3、形成小数概念小于1的小数呈现形式的规范化可以把数字的位值系统扩展应用到包括十分之几、百分之几这些百分数中。如，0.1＝10％，0.01＝1％，0.28＝2个0.1和8个0.01.给较大数字的命名规则，如54读作“五十四”，并未应用到小数的命名之中，我们很少把0.54读成“5个十分之一”和“4个百分之一”，而是通常读成“零点五四”。孩子们读作“零点五四”所使用的语言不能把数字和它相应的数值联系起来。孩子们很容易把小数部分“读成”整数，例如，把0.54读成“零点五十四”，从而认为这个数大于0.7。同样是这个原因，许多孩子认为4.90大于4.9。五、培养学生数感的策略更新教学观念在生活情境中感受数感在动手操作中建立数感在猜想估计中体验数