专题5.4 正切函数的图像与性质（九个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题5.4正切函数的图像与性质正切函数的图象与性质图象定义域值域R周期最小正周期为奇偶性奇函数单调性在开区间内单调递增注意：（1）正切函数的单调性:正切函数在每一个开区间上,都是从增大到,故正切函数在每一个开区间上是增函数,但不能说函数在定义域内是增函数.（2）正切函数的对称性:由函数的奇偶性和周期性以及图象可知,正切函数的每支图象关于点对称,两支图象关于点对称,所以正切函数的对称中心为（3）画正切函数图象常用“三点两线法”，找三个关键点,两条平行线重难点1正切（型）函数的图象问题1．函数在一个周期内的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由正切函数的图象与性质判断，【详解】由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A，故选：A2．函数在区间内的图象是.（填相应序号）

【答案】④【分析】分段取绝对值，然后由正弦函数和正切函数图象可得.【详解】当时，，此时；当时，，此时.综上，，由正弦函数和正切函数图象可知④正确.故答案为：④3．作出函数的图象.【答案】图见解析【分析】依题意是将在轴下方部分的图象关于轴翻折上去，即可得到的函数图象；【详解】解：函数是将在轴下方部分的图象关于轴翻折上去，所以的图象如下所示：4．作函数的图象.【答案】答案见解析.【分析】根据奇偶性可得答案.【详解】先作出的图象，因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，可作出的图象，所以的图象如下所示：

5．画出函数在上的简图．【答案】答案见解析【分析】根据五点作图法画图即可.【详解】令，，可得，，又，所以直线是该函数图象的一条渐近线．当时，；当时，；当时，；当时，．描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．

重难点2解正切不等式6．不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据图像和周期性直接求解.【详解】由题意得，，得.故选：C7．若，则不等式的解集为.【答案】【分析】根据正切函数的单调性及特殊角三角函数值直接求解即可.【详解】当时，；当时，且在上单调递增，；综上所述：的解集为.故答案为：.8．不等式的解集为．【答案】【分析】利用正切函数的单调性列不等式即可得出.【详解】不等式的解集为.由可得，解得，不等式的解集为故答案为：9．若，且，则的取值范围是．【答案】【分析】根据正切函数的性质计算可得.【详解】由，则，，又，所以，即的取值范围是.故答案为：10．根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x值的集合：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）根据给定条件，借助正切函数的图象性质解不等式得解.【详解】（1）不等式，化为，在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：

显然在上，满足，由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是，所以使不等式成立的x的集合为.（2）不等式，化为，在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：

显然在上，满足，由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是.所以使不等式成立的x的集合为.11．解不等式.【答案】.【分析】解出正切不等式在一个周期内的解集，由周期性可得不等式的解集.【详解】作出函数，的图像，如图所示．观察图像可得：在内，满足条件的x为，由正切函数的周期性可知，满足不等式的x的解集为.重难点3正切（型）函数的定义域问题12．函数的定义域是()A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对数式中真数大于零，列出不等式，从而求解.【详解】由题意得，即，所以，，所以，，故B项正确.故选:B.13．函数的定义域为.【答案】【分析】利用正切函数的性质即可得解.【详解】因为，所以，则，所以函数的定义域为.故答案为：.14．函数的定义域为.【答案】【分析】根据正切函数的定义域求解即可.【详解】由，，即，，所以函数的定义域为.故答案为：.15．函数的定义域是.【答案】【分析】由正切函数的定义域，整体思想可求得函数的定义域.【详解】由正切函数的定义域可得，，，得，，故函数的定义域为.故答案为：.16．函数的定义域为．【答案】【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可.【详解】由，得，且．

由图可得，即．所以函数的定义域为．故答案为：.17．求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)且.(2)且(3)(4)【分析】利用具体函数定义域的求法，结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以且，故的定义域为且.（2）因为，所以，即，所以且，故的定义域为且.（3）因为，令，得，故的定义域为.（4）因为，所以，即，显然，故的定义域为.重难点4正切（型）函数的周期问题18．函数是（

）A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数【答案】A【分析】根据函数的奇偶性、周期性确定正确答案.【详解】由解得,的定义域是，的定义域关于原点对称.，所以是偶函数，由此排除BD选项.，所以的一个周期为，A选项正确.，所以不是的周期，所以C选项错误.故选：A19．函数的最小正周期是（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根据正切函数的周期性求解．【详解】的最小正周期为.故选：C.20．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正切函数求最小正周期公式求解.【详解】函数的最小正周期，直接利用公式，可得．故选：A21．（多选）下列函数，最小正周期为的有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用三角函数的周期性求出各个选项的周期，即可得出结论.【详解】对于A，因为令，，令，，所以的最小正周期不是；对于B，的最小正周期为，所以的最小正周期为；对于C，，则最小正周期为；对于D，的最小正周期为，则小正周期为.故选：BCD.22．已知函数，则函数的最小正周期是.【答案】【分析】利用正切函数最小正周期公式即可得解.【详解】因为，所以的最小正周期为.故答案为：.23．函数的周期为．【答案】/【分析】直接根据正切函数的周期公式计算可求解.【详解】由题意得的周期为，所以的周期为.故答案为：.重难点5正切（型）函数的奇偶性问题24．下列四个函数中，是偶函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性，从而得解.【详解】由幂函数的性质可知为奇函数，故A错误；由正弦函数的性质可知为奇函数，故B错误；由余弦函数的性质可知为偶函数，故C正确；由正切函数的性质可知为奇函数，故D错误；故选：C.25．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】依题意可得，令，，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质计算可得；【详解】解:，令，，于是，所以是奇函数，从而的最大值G与最小值g的和为0，而.故选：B26．，若，则．【答案】0【分析】代入计算并运用函数的奇偶性求解即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：0.27．已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件故选：B重难点6正切（型）函数的对称性问题28．下列函数中，没有对称中心的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合函数图像及性质分别判断各个选项即可.【详解】的对称中心是,A不正确;的对称中心是,B不正确;的对称中心是,C不正确;结合指数型函数的图像可知函数无对称中心,D选项正确.故选：D.29．设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正切函数的对称中心得到，，再对各选项逐一检验分析即可.【详解】根据题意得，，则，又，则，，对于A，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误；对于B，由得，满足条件，故B正确；对于C，由得，与矛盾，故C错误；对于D，由得，与矛盾，故D错误.故选：B.30．（多选）下列坐标所表示的点中，是函数图像的对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】令，求出对称中心横坐标，对四个选项一一进行判断.【详解】令，解得，A选项，当时，，故对称中心为，A正确；B选项，当时，，故对称中心为，B正确；C选项，令，解得，不合要求，舍去，C错误；D选项，当时，，故对称中心为，D正确；故选：ABD31．已知函数，则的对称中心为.【答案】【分析】根据正切函数的对称中心公式，结合整体法即可求解.【详解】，所以的对称中心为,所以的对称中心为.故答案为：.32．“函数的图象关于中心对称”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别求出与的对称中心，比较两个中心关系.【详解】的对称中心为，的对称中心为，的对称中心不一定为的对称中心；的对称中心一定为的对称中心.故选：B．重难点7正切（型）函数的单调性问题33．下列说法正确的是（

）A．正切函数在定义域上是增函数B．正切函数在第一、四象限是增函数C．正切函数在每一个区间上都是增函数D．正切函数在某一区间上是减函数【答案】C【分析】由正切函数的单调性可得出结论.【详解】由正切函数的单调性可知，正切函数在每一个区间上都是增函数，正切函数在定义域上不单调，正切函数在第一、四象限不单调，正切函数不存在减区间，ABD错，C对.故选：C.34．（多选）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由的范围，求出的范围，由题意可得，解方程即可得出答案.【详解】因为，函数，若在区间内单调递增，所以，所以.故选：BC.35．已知函数在区间上是减函数，则的取值集合为.（用列举法表示）【答案】【分析】由正切函数的单调性结合条件可得，由正切函数的单调区间与周期性可得，再对的值进行逐一验证即可得出答案.【详解】由在区间上是减函数，则，且，解得因为，所以或或或，当时，，当时，，当，即时，函数无意义，故不成立.当时，,当时，，由在上单调递增，所以在区间上是减函数，故满足题意.当时，,当时，，由在上单调递增，所以在区间上是减函数，故满足题意.当时，,当时，，当，即时，函数无意义，故不成立.故答案为:36．已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意得到，，即可得到答案.【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，，，.故答案为：37．求函数的定义域和单调增区间.【答案】；.【分析】求正切型函数的定义域和递增区间，首先都要把角看成整体角，再利用正切函数的定义域和递增区间处理即可.【详解】由函数有意义可得：，解得，即函数的定义域为：又由可得：，即函数的单调增区间为：.38．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为.【答案】【分析】解出正切型函数单调区间，则得到的范围.【详解】令，，解得，，令，则其一个单调增区间为，则实数的取值范围为，故答案为：.重难点8比较正切值的大小39．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先由诱导公式得，再根据正弦函数，正切函数的单调性可得.【详解】，因为，又因在上单调递增，所以，又，在上单调递增，所以，所以．故选：A40．.（用“”、“”或“”填空）【答案】【分析】利用诱导公式结合正切函数的单调性可得出结论.【详解】因为，当时，随着的增大而增大，因为，故.故答案为：.41．比较下列正切值的大小：(1)与；(2)tan与tan．【答案】(1)(2)【分析】根据三角函数的诱导公式，以及正切函数的单调性，即可求解.【详解】（1）解：由，因为时，函数为单调递增函数，且，所以，所以.（2）由，因为函数在为单调递增函数，且，所以，即42．比较下列各组中三角函数值的大小：(1)与；(2)与．【答案】(1)(2)【分析】由正切函数的单调性即可判断大小.【详解】（1）因为当时，函数单调递增，且，所以；（2）因为，，且，结合函数在上单调递增，所以，即.43．已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为，．【答案】【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为在上单调递增，若，则，取，则，即，令，则，因为，则，即，则.不妨取，即满足题意.故答案为：.重难点9正切（型）函数的值域问题44．函数且的值域是()A． B．C． D．【答案】B【分析】利用正切函数的性质求得答案.【详解】当时，，∴；当时，，∴.即当时，函数的值域是．故选：B.45．已知在区间上的最大值为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，再根据解方程即可.【详解】因为，即，又，所以，所以，所以，．故选：A．46．函数，的值域为．【答案】【分析】分析函数单调性求出值域即可.【详解】∵函数在区间上单调递增，∴函数在区间上的值域为．故答案为：.47．函数在x∈[]上的最大值为4，则实数a为