7.3.2 三角函数的图像与性质 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册

高中数学苏教版必修第一册第7章三角函数7.3.2三角函数的图像与性质7.2.1任意角的三角函数第1课时三角函数课标阐释思维脉络1.能借助圆理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.(数学抽象)2.会根据三角函数的定义确定三角函数在各象限内的符号.(数据运算、逻辑判断)情境导入摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱.乘客坐在摩天轮座舱中慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.“天津之眼”是世界上唯一的桥上瞰景摩天轮,是天津的地标之一.摩天轮直径为110米,轮外装挂48个360度透明座舱,可同时供384个人观光,摩天轮旋转一周所需时间为28分钟.若你现在坐在座舱里,从某初始位置出发,过2分钟后,你离地面的高度是多少?过5分钟呢?过t分钟呢?这是一个函数关系吗?有什么特点?知识点拨一、任意角的三角函数对于任意角α,在平面直角坐标系中,设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标是(x,y),它与原点O的距离是r,则要点笔记在任意角的三角函数的定义中,应该明确:α是一个任意角,其范围是使函数有意义的实数集.微思考

三角函数值与角终边上的取点的位置有关吗?提示

三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置确定,即三角函数值的大小只与角有关.微练习

答案

B二、三角函数在各象限的符号正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号如图所示.要点笔记正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于横、纵坐标符号,同号为正,异号为负.微思考

对正弦函数、余弦函数、正切函数的值的符号如何进行简记?提示

可用下列口诀记忆:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,该口诀表示:第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.微练习

1若sinθ<cosθ,且sinθcosθ<0,则角θ的终边位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

D解析

由条件可知cos

θ>0,sin

θ<0,则θ为第四象限角,故选D.微练习

2答案

<探究一任意角三角函数的定义及应用A.(-4,3) B.(3,-4)C.(4,-3) D.(-3,4)(2)已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则2sinα+cosα=

.

答案

(1)A

(2)1或-1解析

(1)由sin

α,cos

α的定义知x=-4,y=3,r=5时,满足题意,故选A.反思感悟由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤:(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:由α的终边上一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),则已知α的终边求α的三角函数时,用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定要注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.变式训练1(1)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是(

)A.(-2,3] B.(-2,3)C.[-2,3) D.[-2,3](2)已知角α的终边与单位圆的交点为(-,y)(y<0),则sinαtanα=

.

探究二求特殊角的三角函数值例2利用定义求

的正弦、余弦和正切值.要点笔记在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标,然后利用定义,即可得到特殊角的三角函数值.变式训练2对于表中的角α,计算sinα,cosα,tanα的值,并填写下表.探究三三角函数符号的判断例3判断下列各式的符号.(1)sin2015°cos2016°tan2017°;(2)tan191°-cos191°;(3)sin2cos3tan4.解

(1)∵2

015°=5×360°+215°,2

016°=5×360°+216°,2

017°=5×360°+217°,∴它们都是第三象限角,∴sin

2

015°<0,cos

2

016°<0,tan

2

017°>0,∴sin

2

015°cos

2

016°tan

2

017°>0.(2)∵191°角是第三象限角,∴tan

191°>0,cos

191°<0,∴tan

191°-cos

191°>0.∴2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,∴sin

2>0,cos

3<0,tan

4>0,∴sin

2cos

3tan

4<0.要点笔记由三角函数的定义知

(r>0,x≠0),可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x,y)的坐标确定的,则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.变式训练3判断下列式子的符号:sin320°cos385°tan155°tan(-480°).解

270°<320°<360°,360°<385°<450°,90°<155°<180°,-540°<-480°<-450°,则320°为第四象限角,385°为第一象限角,155°为第二象限角,-480°为第三象限角,所以sin

320°<0,cos

385°>0,tan

155°<0,tan(-480°)>0.所以sin

320°cos

385°tan

155°tan(-480°)>0.答案

四

素养形成思想方法——角α的终边落在直线或射线上三角函数值的求解问题

典例(1)已知角α的终边落在射线y=2x(x>0)上,求角α的正弦、余弦和正切值;(2)角α的终边为射线y=-x(x>0),求角α的正弦、余弦和正切值;(3)α的终边落在直线y=2x上,求角α的正弦、余弦和正切值.解

(1)设射线y=2x(x>0)与单位圆的交点为P(x,y),(3)若α终边在第一象限内,解答过程同本例(1).若α终边在第三象限内,设点P(x,2x)(x<0)是其终边上任意一点,因为素养归纳1.注意区分角的终边所在直线和射线的不同及分类讨论、数形结合思想的应用;2.本案例蕴含了数学的核心素养中的数学建模、数学运算.当堂检测答案

B2.若三角形的两内角α,β满足sinαcosβ<0,则此三角形必为(

)A.锐角三角形

B.钝角三角形C.直角三角形

D.以上三种情况都有可能答案

B解析

∵sin

αcos

β<0,α,β∈(0,π),∴sin

α>0,cos

β<0,∴β为钝角,故该三角形为钝角三角形.3.已知α=,则点P(sinα,cosα)所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案

D解析

因为α=,则其终边在第二象限,故sin

α>0,cos

α<0,所以点P(sin

α,cos

α)在第四象限.A.{-1,0,1,3} B.{-1,0,3}C.{-1,3} D.{-1,1}答案

C解析

由题意可知,角x的终边不能落在坐标轴上.当角x的终边在第一象限时,y=1+1+1=3;当角x的终边在第二象限时,y=1-1-1=-1;当角x的终边在第三象限时,y=-1-1+1=-1;当角x的终边在第四象限时,y=-1+1-1=-1.因此所求函数的值域为{-1,3}.5.已知cosθtanθ<0,那么角θ是

象限角.

答案

第三或第四解析

∵cos

θtan

θ<0,∴cos

θ,tan

θ异号,则角θ为第三或第四象限角.高中数学苏教版必修第一册第7章三角函数7.2三角函数的概念7.2.1任意角的三角函数第2课时三角函数线课标阐释思维脉络1.借助单位圆了解三角函数线的意义.(数学抽象)2.用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.(直观想象)3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.(数学建模)情境导入角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一个数量概念(比值),但它是否也是一个图形概念呢?能否用几何方式来表示三角函数呢?如图,设角α为第一象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则sinα=y,cosα=x都是正数.你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗?tanα=怎样表示?知识点拨一、单位圆和有向线段(1)取r=1,即选取角α终边与单位圆(圆心在原点,半径等于单位长度的圆)的交点为P(x,y),则sinα=y,cosα=x.(2)规定了方向(即规定了起点和终点)的线段叫有向线段.类似地,可以把规定了正方向的直线称为有向直线.若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行,根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上正号或负号,这样所得的数,叫作有向线段的数量,记为AB.微练习

答案

B二、三角函数线已知角α的终边位置(图中圆为单位圆),则角α的三条三角函数线如图所示,有向线段MP,OM,AT叫作角α正弦线、余弦线、正切线,则sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT.名师点析

三角函数线的方向:正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点,余弦线由原点指向垂足,正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点.微思考

1三角函数线的正负方向如何规定?提示

与x,y轴的正半轴同向的为正,反之为负.微思考

2你能根据三角函数线判断正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的单调性吗?能判断正切函数在区间(-)上的单调性吗?微练习

已知

的正弦线为有向线段MP,正切线为有向线段AT,则有(

)A.有向线段MP与有向线段AT的方向相同B.MP=ATC.MP>0,AT<0D.MP<0,AT>0答案

C解析

三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.三、三角函数的定义域

三角函数定义域y=sinxRy=cosxRy=tanx

微思考

任意角都有三角函数线吗?提示

任意角都有正弦线、余弦线,但α=kπ+,k∈Z时,正切线不存在.微练习

函数y=lg(cosα-)的定义域为

.探究一作三角函数线例1在单位圆中作出符合下列条件的角的终边.解

(1)cos

x=-,作直线x=-交单位圆于P,Q两点,则射线OP,OQ为角α的终边.(2)sin

x=,作直线y=交单位圆于P,Q两点,则射线OP,OQ为角α的终边.(3)tan

x=-2,作直线y=-2交单位圆的切线x=1于点T,直线OT交单位圆于P,Q两点,则射线OP,OQ为角α的终边.反思感悟对于(1),设角α的终边与单位圆交于P(x,y),则sin

α=y,cos

α=x,所以要作出满足cos

x=-的角的终边,只要在单位圆上找出横坐标为-的点P,则OP即为角α的终边;对于(2)(3),可采用同样的方法处理.图1图2探究二用三角函数线比较大小例2利用三角函数线比较下列各组数的大小.反思感悟利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.(2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.解析

由图可知,探究三利用三角函数线解不等式例3在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围,并由此写出角α的集合.解

(1)作直线y=交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(如图1阴影部分)即为角α的终边的范围.反思感悟1.通过解答本题,我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤:(1)作出取等号的角的终边;(2)利用三角函数线的直观性,在单位圆中确定满足不等式的角的范围;(3)将图中的范围用不等式表示出来.2.求与三角函数有关的定义域时,先转化为三角不等式(组),然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域.延伸探究求y=lg(1-cosx)的定义域.解

如图所示,素养形成单位圆和正射影1.单位圆半径为1的圆叫作单位圆.