2024年高考数学优等生培优第8讲 函数的周期性-原卷版47

第8讲函数的周期性通关一、周期概念理解1.定义:设的定义城为,若对,存在一个非零常数,有,则称函数是一个周期函数,称为的一个周期.2.若是一个周期函数,则,那么,即也是的一个周期,进而可得也是的一个周期.3.最小正周期:若为的一个周期,也是的一个周期,则在某些周期函数中,往往存在周期中最小的正数,称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数就没有最小正周期.通关二、常见周期性结论函数周期性的一些结论序号函数式满足关系()周期(1)(2)(3)(4)(5)或(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)结论一、型的周期为.也是函数的周期.【例1】定义在上的函数满足:,当时,;当时,,则（）A．336 B．337 C．338 D．339【变式】函数的定义域为,且,当时,;当时,,则（）A．671 B．673 C．1343 D．1345结论二、型的周期为.【例2】已知在上是奇函数,且满足,当时,,则（）A． B． C． D．0【变式】设函数是定义在上的周期函数,且,若,,则实数的取值范围是（）A． B． C． D．结论三、f(x+a)=f(x±b)型f(x+a)=f(x-b)⇔y=f(x)的周期为T=a+b.f(x+a)=f(x+b)⇔y=f(x)的周期为T=b-a.【例3】已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时f(x)=x3-1,当-1≤x≤1时，f(-x)＝-f(x),当x>时，f(x-)=f(x+)，则f(6)=（）. A.2 B.0 C.-1 D.-2【变式】已知f(x)是定义在R上的函数，满足f(x)+f(-x)=0，f(x-1)=f(x+1)，当x∈(0,1)时，f(x)=-x2+x，则函数f(x)的最小值为（） A. B. C. D.结论四、f(a+x)=−f(x−b)型若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(a+x)=-f(x−b)，则y=f(x)是以T=2(a+b)为周期的周期函数。【例4】设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+1)=-f(x−1)，若f(−1)>1，f(5)=a2−2a−4，则实数a的取值范围是（）. A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3，+∞) C.(-3，1) D.(-∞,-3)∪(1，+∞)【变式】已知定义在R上的奇函数f(x)，对任意x都满足f(x+2)=f(4−x)，且当x∈［0，3]时，f(x)=log2(x+1)，则f(2019)=____________结论五、f(x)+f(x+a)=k型f(x)+f(x+a)=k(k为常数）⇒f(x)的周期为T=2a.【例5】已知函数f（x)是R上的偶函数，且满足f（x+1)+f(x)=3.当x∈[-1,0]时，f（x)=2+x,则f(-2007.5)的值为（） A.0.5 B.1.5 C.-1.5 D.1【变式】已知函数f（x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图像关于点（1,0)对称且f（2)=4,则f(22)=____________结论六、=型f(x+α)=⇔y=f(x)的周期为T=2a.【例6】函数f（x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f（1)=-5,则f(f（5))=（） A.-5 B.5 C. D.【变式】已知函数y=f(x)满足f(x+1)=和f(2-x)=f(x+1),且当x∈［,1]时,f(x)=2x+2,则f(2018)=（） A.0 B.2 C.4 D.5结论七、=型=⇔y=f(x)的周期为T=2a.【例7】设偶函数f（x)对任意x∈R都有f(x)=,且当x∈[-3,-2]时，f(x)=4x,则f(119.5)=（）. A.10 B.-10 C. D.【变式】设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=,且当x∈[-3,-2]时，f(x)=2x,则f(113.5)的值是_______________结论八、f(x)·f(x+a)=k型f(x)·f(x+a)=k(k为常数）⇒f(x)的周期为T=2a.【例8】设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13.若f(x)=2,则f(2015)＝（） A. B. C.13 D.【变式】已知f(x)是定义在R上的函数，并满足f(x)f(x+2)=-2.当1<x<2时，f(x)=x3+sin,则f(5.5)=（）. A. B. C. D.结论九、f(x+a)=型f(x+a)=⇔y=f(x)的周期为T=2a.【例】9定义在R上的函数f（x)对任意x∈R,都有f（x＋2)=，f(2)=,则f(2016)等于（） A. B. C. D.【变式】定义在R上的函数f(x)满足:f(x+2)=，当x∈(0，4)时，f(x)=x2-1,则f(2010)=____________结论十、f(x+a)=型f(x+a)=⇔y=f(x)的周期为T=4a.【例10】已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f(x+2)=,f(1)=,则f(2015)=____________【变式】已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f（x+2)[1-f(x)]=1+f(x)，f(1)=2018,则f（2017)的值为____________结论十一、两线型若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与x=b(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2(b-a)为周期的周期函数。推论：偶函数y=f(x)满足f（a+x)=f(a-x)⇔y=f(x)的周期T=2a.【例11】设函数y=f(x)(x∈R)的图像关于直线x=0及直线x=1对称，且x∈[0，1]时，f（x)=x2,则f()=（） A. B. C. D.【变式】已知定义域为R的函数y=f(x)在［0,7]上只有1和6两个零点，且y=f(x+2)与y=f(x+7)都是偶函数，则函数y=f(x)在［0,2013]上的零点个数为（） A.404 B.804 C.806 D.402结论十二、一点一线型若函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称且关于(b,0)中心对称(a≠b),则y=f(x)是以T=4（b-a）为周期的周期函数。推论：奇函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)⇔y=f(x)的周期T=4a.【例12】已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2-x)=f(x),若f(1)=3,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=（）. A.-3 B.0 C.3 D.2018【变式】奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1,则f(8)+f(9)=结论十三、两点型若函数y=f(x)的图像关于点（a,0）与点（b,0）(a≠b)对称，则y=f(x)是以T=2（b-a）为周期的周期函数。推论：奇函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x)⇔y=f(x)的周期T=2a.【例13】函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(