第8章 预测的常用方法《变形监测技术》教学课件

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预测的常用方法主要内容ZhuYaoNeiRong神经网络回归分析8.1回归分析

回归分析是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法，即针对具有一定联系的变量建立一个经验函数关系式，这个关系式的因变量可以是位移、沉陷、挠度、倾斜等，即系统的输出；关系式的自变量，可以是水位、气温、气压、渗流、渗压以及时间等，即系统的输入。根据这个函数关系式，得到各个变量的相互关系，从而使自然规律的认识从定性认识上升到定量认识。一个自变量和一个因变量之间的近似线性关系的回归模型，称为一元线性回归模型。

y为因变量，x为自变量；a、b为待定的系数；ε为随机误差。在对观测的数据分析中，如果观测数据之间具有近似的线性关系，那么就可以利用上式来描述。对于随机误差

，一般假设ε~N（0，δ2）,即服从正态分布。(期望即均值，方差即描述变量离开期望值的距离)8.1.1一元线性回归模型一元线性回归的数学模型为：8.1回归分析对于观测的到的n组数据（x1,y1）、（x2,y2）……（xn,yn）通过绘制散点图了解到其近似满足线性关系，即每一组数据满足设是实际值yi

的估计值（用样本来估计总体），，而则是实际值与之间的随机误差，设独立且εi

~N（0，δ2）则：，根据最小二乘准则，转化求极值，即：8.1.1一元线性回归模型8.1回归分析8.1.1一元线性回归模型8.1回归分析将得到的a,b

代入，最后得到一元线性回归模型。模型的验证：模型建立以后，要进行模型的检验。

常用的方法有:标准偏差检验、相关系数检验、显著性检验、随机性检验。8.1.1一元线性回归模型8.1回归分析（1）标准偏差（S

）检验

标准偏差（S）检验主要用来检验回归模型精度，其计算公式为：S反映了回归预测模型得到的估计值

与实际值

之间的平均误差，所以

值越小越好。8.1.1一元线性回归模型8.1回归分析（2）相关系数（r）检验

相关系数（r）检验主要用来检验两个变量之间的线性相关程度，其计算公式为：8.1.1一元线性回归模型8.1回归分析（3）显著性检验

F

检验用来检验y与x之间是否存在显著的线性统计关系,如果检验结果是否定的，即y与x之间不存在显著的线性统计关系，那么所建立的回归关系式无效。8.1.1一元线性回归模型8.1回归分析（4）随机性检验

为随机误差项，回归模型的统计特征有一个假定，即是互不相关的，如果这个假定不满足，就称

是相关的，即存在序列相关，反之，是独立的，不存在序列相关。8.1.1一元线性回归模型8.1回归分析

例1下表为某建筑物沉降量与荷载的数据，共计16个样本，当荷载为166KN时，其沉降量多少？荷载（KN）140142146149149150153155155156157158159160162164沉降量（mm）878388929193939596989794981001001028.1.1一元线性回归模型8.1回归分析

MatLab操作如下：x=[140142146149149150153155155156157158159160162164]'y=[87838892919393959698979498100100102]'plot(x,y,'r+')xlabel('荷载')ylabel('沉降量')x=[ones(16,1),x][b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)holdonx=140:1:170;y=-14.9894+0.7115*x;plot(x,y)8.1.1一元线性回归模型8.1回归分析8.1.1一元线性回归模型8.1回归分析8.1.1一元线性回归模型8.1回归分析当观察对象受到的影响因素众多时，例如，一个地区的产值受到工业产值、农业产值、商业产值及投资等因素影响，即，我们关心的对象受多个因素的影响时，如果这些因素与预测对象的关系近似呈现线性关系，则可建立多元线性回归模型来分析和解决问题。

对于多元线性回归的理论，其与一元线性回归原理相近，但对于多元线性回归关系式的检验时还要进行t检验，

检验主要是检验每一个自变量与因变量的线性关系是否显著。8.1.2多元线性回归模型8.1回归分析

例1某坝体进行位移观测，为了预测坝体的最大位移量，选取了与最大位移量有关的水位和坝体温度作为自变量，下表为历史年份的数据，求坝体最大位移量与水位及坝体温度的回归函数式,并绘出图形。序号坝体位移

坝体温度

水位

115.486.606.34213.409.56-1.34315.677.789.56411.6412.45-6.21513.349.866.64614.888.325.44712.567.56-0.348.1.2多元线性回归模型8.1回归分析MatLab操作如下：x1=[6.60,9.56,7.78,12.45,9.86,8.32,7.56]'x2=[6.34,-1.34,9.56,-6.21,6.64,5.44,-0.34]'x=[ones(7,1),x1,x2]y=[15.48,13.40,15.67,11.64,13.34,14.88,12.56]'[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)得结果：b=bint=15.36408.977421.7506-0.2296-0.89030.43100.1836-0.04550.4128

stats=0.80148.07130.03940.69718.1.2多元线性回归模型8.1回归分析MatLab绘图如下：x=[6.60,9.56,7.78,12.45,9.86,8.32,7.56]y=[6.34,-1.34,9.56,-6.21,6.64,5.44,-0.34]z=[15.48,13.40,15.67,11.64,13.34,14.88,12.56]plot3(x,y,z,'b.','MarkerSize',5)xlabel('温度℃')ylabel('水位cm')zlabel('位移cm')holdonx=6:0.5:18y=-2:0.5:10[x,y]=meshgrid(x,y)z=15.3640-0.2296*x+0.1836*ymesh(x,y,z)8.1回归分析随着技术手段的发展和获得的信息的增多，人们发现，在很多时候，采用线性方法无法取得令人满意的效果，其中主要的原因是自然界及人类社会中的现象是非常复杂的，现象之间内在联系往往不是线性的，而是错综复杂的非线性关系。大量事实也表明，非线性才是复杂现象的本质。

怎样才能反应出变量之间的非线性关系呢，我们一般情况下将线性方法中一些较为完善的技术拓展到非线性建模中，这需要将原变量作变换，将原来的非线性关系转化为拟线性关系。8.1.3非线性回归模型8.1回归分析

例1某坝体位移量和水压及温度变化量的统计数据如下，建立回归模型，预测平均水压1000、温度变化值为6时的坝体位移量。位移10675807050659010011560水压11007001200600400400150011001300300温度变化量5.57.46.26.37.86.76.54.44.38.9坝体观测数据8.1.3非线性回归模型8.1回归分析

坝体的位移、水压、温度变化量并不是简单的线性关系，我们选择二次模型进行回归，即：在这里，我们将x1设为水压，x2设为温度变化量，求解x12

，x22

的值。即：经过转化后，本题变为有4个自变量的线性回归问题。8.1.3非线性回归模型8.1回归分析利用前节的线性回归方法，求解参数，得到回归函数式。MatLab操作如下：x1=[1100,700,1200,600,400,400,1500,1100,1300,300]x2=[5.5,7.4,6.2,6.3,7.8,6.7,6.5,4.4,4.3,8.9]y=[10675807050659011011560]';x=[ones(10,1)x1'x2'(x1.^2)'(x2.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)回归模型为：

stats=0.927916.09870.004664.94588.1.3非线性回归模型8.1回归分析MatLab绘图如下：x1=[1100,700,1200,600,400,400,1500,1100,1300,300]x2=[5.5,7.4,6.2,6.3,7.8,6.7,6.5,4.4,4.3,8.9]y=[10675807050659011011560]';plot3(x1,x2,y,'b.','MarkerSize',5)xlabel('水压')ylabel('温度变化量')zlabel('位移')holdonx1=300:2:1450x2=2:0.1:10[x1,x2]=meshgrid(x1,x2)z=201.1788+0.0722*x1-43.8699*x2-0.0001*x1.^2+2.8667*x2.^2mesh(x1,x2,z)8.1回归分析

人工神经网络（ArtificialNeuralNetworks，简写为ANNS）是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的，并具有自学习和自适应的能力。神经网络能通过对已知样本的学习，掌握输入与输出间复杂的非线性映射关系，并对这种关系进行存储记忆。利用这种数学模型，可以预测未知信息，如在变形监测中监测点的变形量。神经网络有众多类型，BP神经网络、径向基神经网络、自组织竞争神经网络、概率神经网络等等。神经网络有以下优点：（1）要求对问题的了解较少；（2）可对特征空间进行复杂的划分；（3）适于高速并行处理系统来实现；8.2神经网络

人工神经元网络模型

根据神经元之间连接的拓扑结构不同，可将神经元分为分层网络和相互连接网络。分层网络是将一个网络模型中的所有神经元按功能分为若干层，一般有输入层、中间层和输出层，各层顺序连接。输入层接受外部输入信号，并由各输入单元传送给相连接的中间层各单元。中间层是网络的内部处理单元层（又称隐含层），中间层可以有多层。输出层是网