新教材2023版高中数学第1章数列1.4数学归纳法学生用书湘教版选择性必修第一册

1.4数学归纳法最新课程标准(1)了解数学归纳法的原理．(2)能用数学归纳法证明一些简单的命题.新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点数学归纳法的概念一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n＝n0❶(n0∈N＋)时命题成立；(2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫作数学归纳法❷.批注❶n0不一定都是1，也可以是其他正整数．批注❷主要用于解决与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法．基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步就可以．()(2)在用数学归纳法时，第二步必须利用归纳假设．()(3)一个数列的通项公式是an＝(n2－5n＋5)2，容易验证：a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1，由此作出一般性结论：对于任意n∈N＋，an＝(n2－5n＋5)2＝1都成立，以上是数学归纳法．()(4)用数学归纳法证明命题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()2．数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是()A．k∈NB．k>1，k∈N＋C．k≥1，k∈N＋D．k>2，k∈N＋3．用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n＋1)(n∈N＋)时，第一步应证明()A．f(2)＝1＋2B．f(1)＝1C．f(1)＝1＋2＋3D．f(1)＝1＋2＋3＋44．用数学归纳法证明1+12+13+…A．1＋12<2B．1＋1C．1＋12+13<3D．5．用数学归纳法证明等式，1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1用数学归纳法证明等式问题例1用数学归纳法证明1－12+13-14＋…＋12n-1-12n方法归纳用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)n＝n0时，等式的结构．(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．这时一定要弄清三点：①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．②代数式相邻两项之间的变化规律．③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．巩固训练1求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．题型2归纳—猜想—证明例2数列{an}中，a1＝1，a2＝14，且an＋1＝n-1ann-an(n≥2，n∈N＋)，求方法归纳(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．巩固训练2已知数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和Bn＝12(n＋1)bn，求数列{bn}题型3用数学归纳法证明几何问题例3有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．方法归纳对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．巩固训练3证明：凸n边形的对角线的条数f(n)＝12n(n－3)(n≥4)*1.4数学归纳法[基础自测]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．答案：C3．解析：n的初始值应为1，而f(1)＝1＋2＋3＋4.答案：D4．解析：因为n∈N＋，n>1，故数学归纳法应验证n＝2的情况，即1＋12答案：B5．解析：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3＋…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2)．答案：(2k＋1)＋(2k＋2)题型探究·课堂解透例1证明：(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即1－12+13-14＋…＋1那么当n＝k＋1时，左边＝1－12+13＝1k+1+1k+2＝1k+2+1k+3＋上式表明当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立．巩固训练1证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．综上所述，等式对任何n∈N＋都成立．例2解析：∵a2＝14，且an＋1＝n-1an∴a3＝a22-a2＝142-14＝1猜想：an＝13n-2(n∈N下面用数学归纳法证明猜想正确：(1)当n＝1，2时易知猜想正确．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时猜想正确，即ak＝13k当n＝k＋1时，ak＋1＝k-1＝k-13k-＝13k+1＝1∴当n＝k＋1时猜想也正确．由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N＋都正确．巩固训练2解析：由已知条件b1＝1，Bn＝12(n＋1)bn，得B2＝b1＋b2＝32b∴b2＝2.B3＝b1＋b2＋b3＝2b3，∴b3＝3.B4＝b1＋b2＋b3＋b4＝52b4∴b4＝4.由此猜想：bn＝n(n∈N＋)为数列{bn}的通项公式．下面用数学归纳法证明．(1)当n＝1时，b1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立．即bk＝k，则当n＝k＋1时，bk＋1＝Bk＋1－Bk＝12(k＋1＋1)bk＋1－12(k＋1)b整理得bk＋1＝k+1k·bk＝k＋1即当n＝k＋1时，bk＋1＝k＋1.由(1)(2)知，对任意n∈N＋，都有bn＝n.例3证明：①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．②假设n＝k(k≥1)时命题成立．即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.所以当n＝k＋1时，命题成立．综合①②可知，对一切n∈N＋，命题成立．巩固训练3证明：①当n＝4时，f(4)＝12×4×(4－3)＝2②假设n＝k时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)＝12k(k－3)(k≥4)当n＝k＋1时，凸k＋1边形是在k边形基础上增加了一边，增加