新教材2023版高中数学第2章空间向量与立体几何2.3空间向量基本定理及坐标表示2.3.1空间向量的分解与坐标表示学生用书湘教版选择性必修第二册

2．3.1空间向量的分解与坐标表示新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一共面向量1．定义：能平移到____________的向量叫作共面向量．2．共面向量的充要条件：如果两个向量e1，e2不共线❶，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序是数组(x，y)，使得________．批注❶两个向量e1，e2不共线是共面向量充要条件的前提，若e1要点二空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量❷，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝________．上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.把________称为空间的一组基，________叫作基向量❸.(x，y，z)称为向量p＝xe1＋ye2＋ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标．批注❷由于可视0为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0．批注❸一个基是指一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点三空间向量的直角坐标表示1．标准正交基空间任意三个________、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基．2.空间向量的坐标表示❹在空间中任意取一点O为原点，分别以标准正交基{i，j，k}中三个基向量的方向为三条坐标轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系．将任意空间向量p＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk用从原点O出发的有向线段________表示，则有向线段的终点P对应于这个向量p.向量p＝OP在标准正交基{i，j，k}下的坐标________就是点P在这个直角坐标系中的坐标．批注❹一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标．3．空间向量在坐标轴上的投影❺向量在坐标轴正方向上的投影分别等于该向量在____________的坐标．批注❺相等向量在同一轴上的投影相等．基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．()(2)向量OA的坐标就是点A的坐标．()2．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一组基，则一定有()A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面3．已知e1，e2，e3是空间直角坐标系O­xyz中与x，y，z轴的正方向相同的单位向量，若OB＝－e1＋e2－e3，则B点的坐标为()A．(－1，1，1)B．(－e1，e2，－e3)C．(1，－1，－1)D．(－1，1，－1)4．设{i，j，k}是空间向量的一个标准正交基，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．题型探究·课堂解透——强化创新性向量共面例1已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足OM＝13(1)判断MA，(2)判断M是否在平面ABC内．方法归纳解决向量共面的策略巩固训练1已知空间向量a，b，c不共面，且p＝a＋b，q＝a＋c，r＝b－c，判断向量p，q，r是否共面，并说明理由．空间向量基本定理的应用例2如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1.设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，以a，b，c为一组基，求A方法归纳用一组基表示向量的步骤巩固训练2在空间四边形OABC中，已知点M、N分别是OA、BC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，以a、b、c为一组基，求MN在这组基下的坐标．空间向量的直角坐标表示例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)向量MN的坐标；(2)向量ND的坐标．方法归纳用坐标表示空间向量的步骤巩固训练3在正方体ABCD­A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求AB，DC12．3.1空间向量的分解与坐标表示新知初探·课前预习[教材要点]要点一1．同一平面内2．p＝xe1＋ye2要点二xe1＋ye2＋ze3{e1，e2，e3}e1，e2，e3要点三1．两两垂直2.OP(x，y，z)3．相应坐标轴上[基础自测]1．(1)×(2)√2．解析：由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．答案：A3．答案：D4．答案：(3，2，－1)、(－2，4，2)题型探究·课堂解透例1解析：(1)∵OA+OB+OC∴OA-OM＝(OM-OB)＋∴MA＝BM+CM＝－∴向量MA，(2)由(1)知向量MA，MB，MC共面，而它们有共同的起点M，且A，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．巩固训练1解析：假设p，q，r共面，则存在实数λ，μ，使得p＝λq＋μr，则a＋b＝λ(a＋c)＋μ(b－c)＝λa＋μb＋(λ－μ)c，∵a，b，c不共面，∴1=λ1=μ故向量p，q，r共面．例2解析：连接AC，AC1.A1C＝AC-AA1＝AB+AQ＝AA1＋15A1C＝AA1+15(AB+ADBM＝BC+CM＝AD+12CD1＝AD+12(CD+DD1)＝AD+12(BA+BQ＝BA+AQ＝－AB+AQ＝－a＋15a＋15b＋45c＝－45因此A1C，BM，BQ在基{a，b，c}下的坐标分别为(1，1，－1)，(－12，1，12)巩固训练2解析：如图所示：ON＝OB+BN＝OB+12BC所以，MN＝ON-OM＝12(b＋c)－12a＝－12a＋1所以MN在这组基下的坐标为(－12，例3解析：(1)因为PA＝AD＝AB＝1，且PA，AD，AB两两垂直，所以可设AB＝i，AD＝j，AP＝k.因为MN＝MA+AP+PN＝MA+AP+12PC＝MA+AP+12(所以MN＝(0，12，(2)因为ND＝