新教材2023版高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.4导数的应用举例学生用书湘教版选择性必修第二册

1．3.4导数的应用举例新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点利用导数解决优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题❶.批注❶利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．(2)用导数解决优化问题的基本思路是：基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)用导数研究实际问题要先求定义域．()(2)将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为3和5.()(3)做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4m．()2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(A．8B．203C．－1D．－3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件4．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5m，则当高为________m时，容器的容积最大．题型探究·课堂解透——强化创新性利润最大问题例1某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系y＝ax-3＋10(x－6)2式，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．方法归纳利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．巩固训练1某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元用料、费用最少问题例2为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用15年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与15(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．方法归纳用料、费用最少问题是日常生活中常见的问题之一．解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，然后正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．巩固训练2一艘船从A地到B地，其燃料费w与船速v的关系为w(v)＝1000v2v-8(18≤v≤30)，要使燃料费最低，则A．18B．20C．25D．30几何中的最值问题例3将一块2m×6m的矩形钢板按如图所示的方式划线，要求①至⑦全为矩形，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为xm，容积为ym3.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)当x取何值时，水箱的容积最大？方法归纳解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式，能够依据题意确定出自变量的取值范围，建立准确的函数关系式，然后利用导数的方法加以解决．巩固训练3用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？1．3.4导数的应用举例新知初探·课前预习[教材要点]要点导数函数[基础自测]1．(1)√(2)×(3)√2．解析：由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.答案：C3．解析：由题意得，y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.故当x＝9时，y取得极大值，也是最大值．答案：C4．解析：由题意列出函数表达式，再用导数求最值，设高为xm，则体积V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x＝1或x＝－415(舍去)答案：1题型探究·课堂解透例1解析：(1)因为当x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，所以a＝(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝2x-3＋10(x－所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)[2x-3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．巩固训练1解析：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝-3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0.所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，答案：D例2解析：(1)隔热层厚度xcm，依题意，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x+5，由C(0)＝8，得k＝40因此C(x)＝403x+5，而建造费用为C1(x)＝8x则隔热层建造费用与15年的能源消耗费用之和为15C(x)＋C1(x)＝15·403x+5＋8x＝6003x+5＋8所以f(x)＝6003x+5＋8x(0≤x≤10)(2)由(1)知，f′(x)＝8－18003x+5令f′(x)＝0，即18003x+52＝8，而0≤x≤10，解得x＝当0<x<103时，f′(x)<0，当103<x<10时，f′(x)>0，即f(x)在(0，103)上递减，在(10则当x＝103时，f(x)取最小值f103＝60010+5＋8×10所以当隔热层修建103cm厚时，总费用达到最小值为200巩固训练2解析：w′(v)＝2000vv-8当18<v<30时，w′(v)>0，所以w(v)在[18，30]上单调递增，所以当v＝18时，w(v)取得最小值．答案：A例3解析：(1)由水箱的高为xm，得水箱底面的宽为(2－2x)m，长为6-2x2＝(3故水箱的容积y＝(2－2x)(3－x)x＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)．(2)由(1)得y′＝6x2－16x＋6，令y′＝0，解得x＝4+73(舍去)或x＝所以y＝2x3－8x2＋6x(0<x<1)在(0，4-73)内单调递增，在(4所以当x＝4-巩固训练3解析：设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为：h＝18-12x4＝4.5－3x(m)(0<x<故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3(0<x<32)从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，令V′(x)＝