机器人学之齐次变换

机器人学办公室：15-B4122024/2/221.3机器人的组成和构型机器人的组成

机器人是一个机电一体化的设备。从控制观点来看，机器人系统可以分成四大部分：机器人执行机构、驱动装置、控制系统、感知反馈系统。机器人执行机构驱动装置控制系统感知系统

基座（固定或移动）手部腕部臂部肩部电驱动装置液压驱动装置气压驱动装置处理器关节伺服控制器内部传感器外部传感器2024/2/221.3机器人的组成和构型一、执行机构包括：手部、腕部、臂部、肩部和基座等。相当于人的肢体。二、驱动装置包括：驱动源、传动机构等。相当于人的肌肉、筋络。三、感知反馈系统包括：内部信息传感器，检测位置、速度等信息；外部信息传感器，检测机器人所处的环境信息。相当于人的感官和神经。四、控制系统包括：处理器及关节伺服控制器等，进行任务及信息处理，并给出控制信号。相当于人的大脑和小脑。内部传感器（位形检测）控制系统驱动装置执行机构工作对象外部传感器（环境检测）

1处理器关节控制器2024/2/221.3机器人的组成和构型液压式

具有大的抓举能力，结构紧凑，动作平稳，耐冲击；但要求液压元件有较高的制造精度，密封性能。气动式

气源方便，动作迅速，结构简单，造价较低；但难以进行速度控制，抓紧能力较低。电动式

电源方便，响应快，驱动力较大，可以采用多种灵活的控制方案。机器人的执行机构的驱动方式2024/2/221.3机器人的组成和构型最常见的构型是用其坐标特性来描述的。

一、工业机器人

（操作臂/工业机械手/机械臂/操作手）

1、直角坐标型(3P)结构、控制算法简单，定位精度高；但工作空间较小，占地面积大，惯性大，灵活性差。

机器人的构型2024/2/221.3机器人的组成和构型2、圆柱坐标型(R2P)结构简单紧凑，运动直观，其运动耦合性较弱，控制也较简单，运动灵活性稍好。但自身占据空间也较大，但转动惯量较大，定位精度相对较低。圆柱坐标型机器人模型Verstran机器人Verstran机器人2024/2/221.3机器人的组成和构型3、极坐标型（也称球面坐标型）(2RP)有较大的作业空间，结构紧凑较复杂，定位精度较低。极坐标型机器人模型Unimate机器人2024/2/221.3机器人的组成和构型4、关节坐标型(3R)对作业的适应性好，工作空间大，工作灵活，结构紧凑，通用性强，但坐标计算和控制较复杂，难以达到高精度。关节型搬运机器人关节型焊接机器人关节型机器人模型2024/2/221.3机器人的组成和构型5、平面关节型(SelectiveComplianceAssemblyRobotArm

，简称SCARA)仅平面运动有耦合性，控制较通用关节型简单。运动灵活性更好，速度快，定位精度高，铅垂平面刚性好，适于装配作业。SCARA型装配机器人2024/2/221.3机器人的组成和构型仿生型自由度一般较多，具有更强的适应性和灵活性，但控制更复杂，成本更高，刚性较差。类人型机器人仿狗机器人蛇形机器人

二、特种机器人

2024/2/221.3机器人的组成和构型六轮漫游机器人仿鱼机器人仿鸟机器人六足漫游机器人2024/2/221.4机器人的规格指标

自由度数衡量机器人适应性和灵活性的重要指标，一般等于机器人的关节数。机器人所需要的自由度数决定与其作业任务。

负荷能力机器人在满足其它性能要求的前提下，能够承载的负荷重量。

工作空间（运动范围）

机器人在其工作区域内可以达到的最大距离。它是机器人关节长度和其构型的函数。

精度指机器人到达指定点的精确程度。它与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关。

重复精度指机器人重复到达同样位置的精确程度。它不仅与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关，还与传动机构的精度及机器人的动态性能有关。2024/2/221.4机器人的规格指标

控制模式引导或点到点示教模式；连续轨迹示教模式；软件编程模式；自主模式。

运动速度单关节速度；合成速度。

其它动态特性如稳定性、柔顺性等。2024/2/22小结机器人、机器人学的定义机器人的分类机器人的组成和构型方式及特点机器人的规格指标主要内容机器人学是一门迅速发展的综合性的前沿学科。它综合运用了机构学、机械设计、自动控制、计算机技术、传感技术、力学、电气液压传动、人工智能等学科的最新成就。其特点之一是综合、交叉，涉及的领域广泛；另一特点是发展迅速、日新月异，尚待研究的问题层出不穷。2024/2/22目录2.1 齐次坐标2.2

刚体位姿描述2.3

齐次坐标变换与变换矩阵2.4 齐次变换矩阵运算2.5

变换方程2.6

欧拉角与RPY角第二章位姿描述和齐次变换2024/2/22引言

机器人的位置和姿态描述：机器人一端固定，另一端是用于安装末端执行器（如手爪）的自由端机器人由N个转动或移动关节串联而成一个开环空间尺寸链机器人各关节坐标系之间的关系可用齐次变换来描述机器人（机械手）末端执行器相对于固定参考坐标系的空间几何描述（即机器人的运动学问题）是机器人动力学分析和轨迹控制等相关研究的基础机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系2024/2/22引言丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg）于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法其数学基础即是齐次变换具有直观的几何意义，广泛应用于动力学、控制算法等方面的研究运动学研究运动学正问题运动学逆问题手在哪里？手怎么放那里？2024/2/222.1齐次坐标位置描述：位置矢量(positionvector)空间任意一点p的位置可表示为：矩阵表示矢量和表示矢量的模xyzop(x,y,z)，单位矢量2024/2/222.1齐次坐标点的齐次坐标一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标—

比例系数。

式中i,j,k为x,y,z轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数

齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1。列矩阵2024/2/222.1齐次坐标xAyAzAoApAp直角坐标系{A},P点的齐次坐标：点的齐次坐标

几个特定意义的齐次坐标：[0,0,0,n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数[1000]T—指向无穷远处的OX轴[0100]T—指向无穷远处的OY轴[0010]T—指向无穷远处的OZ轴

2024/2/222.2刚体位姿描述接近矢量aapproach方位矢量oorientation法向矢量nnormal手爪坐标系2024/2/22

坐标系{B}原点在{A}坐标系中的位置。位置描述2.2刚体位姿描述2024/2/22自由度(DOF,Degreeoffreedom)： 物体能够相对坐标系进行独立运动的数目称为自由度。刚体的自由度数目：三个平移自由度T1,T2,T3三个旋转自由度R1,R2,R3YXZT1T2T3R1R2R3位置描述2.2刚体位姿描述2024/2/22利用固定于物体的坐标系描述方位(orientation)。方位又称为姿态(pose)。方位描述2.2刚体位姿描述

在刚体B上设置直角坐标系{B}，利用与{B}的坐标轴平行的三个单位矢量表示B的姿态。坐标系{B}的三个单位主矢量在坐标系{A}中的描述：坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态描述：2024/2/22

表示刚体B相对于坐标系{A}的姿态。刚体B与坐标系{B}固接姿态矩阵（旋转矩阵）2.2刚体位姿描述9个参量，自由度？2024/2/22旋转变换的逆等于其转置旋转矩阵中的9个元素只有3个独立变量，它满足正交条件姿态矩阵（旋转矩阵）2.2刚体位姿描述2024/2/22

相对于参考坐标系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述。刚体B在参考坐标系{A}中的位姿利用坐标系{B}描述。

当表示位置时当表示方位时位置与姿态的表示2.2刚体位姿描述（单位矩阵）2024/2/22平移坐标变换：在坐标系{B}中的位置矢量Bp在坐标系{A}中的表示可由矢量相加获得。xAyAzAoAApxByBzBoBBp{A}{B}ApBxAzAoABp{A}oAxBzByAyB旋转坐标变换：坐标系{B}与坐标系{A}原点相同，则p点在两个坐标系中的描述具有下列关系：2.3齐次变换与齐次变换矩阵一般变换2024/2/22

分别绕x,y,z轴的旋转变换(基本旋转变换)：任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。2.3齐次变换与齐次变换矩阵基本旋转变换yByAxBzBoABp{B}xAzA{A}P2024/2/22yCxAyAzAoAApxByBzBoBBp{A}{B}ApBxCzC{C}复合变换：平移和旋转构成复合变换。2.3齐次变换与齐次变换矩阵基本复合变换2024/2/222.3齐次变换与齐次变换矩阵齐次变换齐次变换是在齐次坐标描述基础上的一种矩阵运算方法，齐次变换使齐次坐标作移动、旋转、透视等几何变换。

非齐次齐次2024/2/22旋转平移透视比例（缩放）计算机图形学齐次变换矩阵2.3齐次变换与齐次变换矩阵齐次变换矩阵2024/2/22透视变换（Perspectivetransformation）举例2024/2/22因此，进行机器人运行学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵为

[0-0]，没有摄像头时为[000]。透视变换（Perspectivetransformation）举例2024/2/22平移齐次坐标变换旋转齐次坐标变换TranslationtransformationRotationtransformation2.4齐次变换矩阵运算齐次坐标变换注意：平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换

2024/2/22

对于坐标系{A}、{B}，{A}是参考坐标系，{B}相对于{A}的联体坐标系。{B}相对于{A}的描述为：

{A}相对于{B}的描述为：2.4齐次变换矩阵运算齐次坐标变换的逆变换2024/2/22例题1：坐标系{B}的初始位姿与参考坐标系{A}相同，坐标系{B}相对于{A}的zA轴旋转30

，再沿{A}的xA轴移动12，沿{A}的yA轴移动6。求位置矢量ApB和旋转矩阵。假设p

点在坐标系{B}的描述为Bp=[590]T，求其在坐标系{A}的描述。

解：2.4齐次变换矩阵运算2024/2/22Ap

、Bp

称为点的齐次坐标，为齐次坐标变换矩阵例题2：对于例题1利用齐次坐标求解Ap。2024/2/22

纯平移变换与变换次序无关旋转变换与变换次序有关复合变换与变换次序有关2.4齐次变换矩阵运算齐次坐标变换的顺序问题2024/2/22绕当前轴 开始{B}、{A}重合，然后先绕XA轴转α

得到新坐标系{C}，再绕当前轴YC轴转β得到要求的坐标系{B}

。绕当前轴（即相对于运动坐标系）右乘2.4齐次变换矩阵运算齐次坐标变换的顺序问题2024/2/22绕固定轴开始{B}、{A}重合，然后{B}先绕XA轴转α

，再绕YA轴转β。2）{C}、{A}重合，{C}再绕YA轴转β得到{B}中的矢量在{A}中的表示绕固定轴（及相对固定坐标系）左乘2.4齐次变换矩阵运算齐次坐标变换的顺序问题2024/2/22

刚体位置描述：利用齐次坐标变换可以描述刚体的位置和姿态。刚体上其它点在参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获得。例题3：下图中的物体可以由{(1,0,0),(-1,0,0),(-1,0,2),(1,0,2),(1,4,0),(-1,4,0)}表示。如果该物体在基坐标系中先绕z轴旋转90°，再绕y轴旋转90°，再沿x轴平移4，求物体6个顶点的位置。

xyzoo1选取物体上与o点重合的点o1为刚体坐标系原点，其初始坐标轴x1y1z1方向与xyz坐标系相同。2.4齐次变换矩阵运算齐次坐标变换举例2024/2/22先绕z轴旋转90°再绕y轴旋转90°再沿x轴平移4xyzoo1yxzoo1x1y1z1xyzoo1x1z1y1yxzoo1x1y1z12.4齐次变换矩阵运算2024/2/22

xyzoo1xyzoo1x1z1y1xyzoo1x1z1y1x1o1xyzoz1y1对于右乘的结果：（相当于在新坐标系中变换）2.4齐次变换矩阵运算2024/2/22刚体的6个顶点在基坐标系中的位置：2.4齐次变换矩阵运算2024/2/22

对于坐标系{A}、{B}、{C}，{A}是参考坐标系，{B}相对于{A}的坐标以及{C}相对于{B}的坐标称为联体坐标。设{B}在{A}中的表示为T1，{C}在{B}中的表示为T2，刚体在{C}中的表示为T3，刚体在{A}中的表示为T，则

T=T1T2T3

上式可以理解为：从基坐标系变换到联体坐标系，右乘。

2.4齐次变换矩阵运算联体坐标系2024/2/22

通用旋转变换：

设f为坐标系{C}的z轴上的单位矢量，即：则绕矢量f的旋转等价于绕坐标系{C}的z轴的旋转：

设坐标系{C}在基坐标系下的描述为C。对于某一刚体，在基坐标系下的描述为T，在坐标系{C}下的描述为S，则：2.4齐次变换矩阵运算通用旋转变换2024/2/22T绕f轴的旋转等价于S绕坐标系{C}的z轴的旋转：2.4齐次变换矩阵运算通用旋转变换2024/2/22

令vers=1-c,有：2.4齐次变换矩阵运算2024/2/222.4齐次变换矩阵运算2024/2/22

通用旋转变换为：

等效转角与转轴给出一任意旋转变换，可由上式求得等效转角与转轴。令：将对角线三项相加，得：2.4齐次变换矩阵运算2024/2/22

将旋转规定为绕矢量f的正向旋转，使得0

180°。于是得到旋转角：旋转矢量为：2.4齐次变换矩阵运算多值性：转角和转轴有多组，转角相差360°的整数倍时旋转矩阵相同病态情况：转角是0或180°时，转轴不能确定2024/2/22{B}基座坐标系{W}腕坐标系{T}工具坐标系{S}工作站坐标系{G}目标坐标系机器人控制和规划的目标2.5变换方程2024/2/222.5变换方程2024/2/22空间尺寸链已知，改变2.5变换方程2024/2/22回转（横滚）:绕Z轴转α,Roll俯仰:绕Y轴转β,Pitch偏转:绕X轴转γ.Yaw

姿态描述2.6欧拉角与RPY角RPY角2.6欧拉角与RPY角RPY角2024/2/22先绕XA轴转γ，再绕YA轴转β，最后绕ZA轴转α。注意:绕固定轴左乘2.6欧拉角与RPY角RPY角表示运动姿态2024/2/22

机器人运动姿态描述Z-Y-X欧拉(Euler)角：先绕z轴旋转α

，再绕新的y轴(y)旋转β

，再绕新的x轴(x

)旋转γ

，以此表示所有