（普通班）高三数学一轮复习 第二篇 函数及其应用 第6节 二次函数与幂函数基础对点练 理-人教版高三全册数学试题

第6节二次函数与幂函数【选题明细表】知识点、方法题号幂函数的图象与性质1,3,5,7,9,14二次函数的图象与性质2,4,6,8,11,12二次函数的综合问题10,13,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.函数y=3x解析:y=3x2=x2又0<QUOTE23<1,图象在第一象限为上凸的,排除D.2.已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b等于(C)(A)3 (B)2或3 (C)2 (D)1或2解析:函数f(x)=x2-2x+2在[1,b]上递增,由已知条件f即b解得b=2.3.幂函数y=xm2-(A)0 (B)1(C)2 (D)3解析:因为y=xm2-所以m2-4m<0,即0<m<4,又因为函数的图象关于y轴对称,且m∈Z,所以m2-4m为偶数,因此m=2.4.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么(A)(A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4)(C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1)解析:因为f(2+t)=f(2-t),所以f(x)的图象关于x=2对称,又开口向上.所以f(x)在[2,+∞)上单调递增,且f(1)=f(3).所以f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4).5.(2016南昌二中高三月考)a为参数,函数f(x)=(x+a)·38-x-3a是偶函数,则a可取值的集合是(C)(A){0,5} (B){-2,5}(C){-5,2} (D){1,2015}解析:因为函数f(x)=(x+a)·3x-2+a2-(x-a)所以f(x)=(x+a)·3x-2+a2-(x-a)·38-x·38+x-3a,利用系数恒等关系可知8-3a=a2-2.解方程得a=2或-5,故选C.6.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是(D)(A)[-3,0) (B)(-∞,-3](C)[-2,0] (D)[-3,0]解析:当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,故a=0时满足题意.当a≠0时,要使f(x)在[-1,+∞)上是减函数,则有a解得-3≤a<0.综上可知a的取值范围是[-3,0].7.若(a+1)-12<(3(A)(QUOTE23,+∞) (B)(QUOTE23,QUOTE32)(C)(1,QUOTE32) (D)(QUOTE23,1)解析:因为f(x)=x-12的定义域为(0,+∞所以原不等式等价于a即a>-1,a<32,a>23.所以8.(2015合肥模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.

解析:由题意知f(-1所以f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+19.若y=xa2-4a-解析:因为函数在(0,+∞)内是减函数,所以a2-4a-5<0.所以-1<a<5,则整数a=0,1,2,3,4.又函数是偶函数,所以a2-4a-5是偶数,所以整数a的值可以是1,3.答案:1或310.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值g(a).解:因为函数y=x2-2x=(x-1)2-1.所以对称轴为直线x=1,而x=1不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论.当-2<a<1时,函数在[-2,a]上单调递减.则当x=a时,ymin=a2-2a;当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,ymin=-1.综上,g(a)=a能力提升练((时间:15分钟)11.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(D)解析:对于选项A,C都有-所以abc<0,故排除A,C;对于选项B,D,都有-b2即ab<0,则当c<0时,abc>0.选D.12.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是(B)(A)②④ (B)①④ (C)②③ (D)①③解析:因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确;对称轴为x=-1,即-b2a=-1,2a-b=0,结合图象,当x=-1时,y=a-b+c>0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.13.(2016衡水中学高二上第二次调研)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为.

解析:因为x,y为正实数,且xy+2x+y=4,设x+y=k>0,则y=k-x代入已知式子得x(k-x)+2x+k-x-4=0,整理得x2-(k+1)x-k+4=0,关于x的方程有解,所以Δ=[-(k+1)]2-4×(4-k)≥0,解之得k≤-3-26或k≥26-3,又因为k>0,所以k≥26-3,即x+y的最小值为26-3.答案:26-314.已知幂函数y=xα,α∈{-1,QUOTE12,1,2,3}的图象过定点A,且点A在直线2xm+QUOTEyn=1(m>0,n>0)上,则log2(QUOTE4m+QUOTE2n)=.

解析:由幂函数的图象知y=xα,α∈{-1,QUOTE12,1,2,3}的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线2xm+QUOTEyn=1(m>0,n>0)上,所以QUOTE2m+QUOTE1n=1.所以log2(QUOTE4m+QUOTE2n)=log2[2(QUOTE2m+QUOTE1n)]=log22=1.答案:115.已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.解:f(x)=a(x+1)2+1-a,①当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;②当a>0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=QUOTE38;③当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.综上a=QUOTE38或a=-3.16.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为常数),x∈R,F(x)=f(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设m·n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)>0.(1)解:因为f(-1)=0,所以a-b+1=0,a=b-1.又x∈R,f(x)的值域为[0,+∞),所以a所以b2-4(b-1)=0,b=2,a=1,所以f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.所以F(x)=((2)解:g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1,当k-22≥2或即k≥6或k≤-2时,g(x)在[-2,2]上是单调函数.故所求实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).(3)证明:因为f(x)是偶函数,所以f(x)=ax2+1,F(x)=a因为m·n<0,不妨设m>n,则n<0,又m+n>0,m>-n>0,所以m2>n2,又a>0,所以F(m)+F(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0.命题得证.精彩5分钟1.若f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=3,则f(QUOTE(A)3 (B)-3 (C)QUOTE13 (D)-QUOTE13解题关键:待定系数法求出函数的解析式.解析:设f(x)=xn,则f(4)f(2)=QUOTE4所以f(QUOTE12)=(QUOTE12)n=QUOTE12n=QUOTE13.2.已知函数f(x)=x2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是(C)(A)8 (B)6 (C)4 (D)2解题关键:数形结合思想的应用.解析:由f(x)=x2+1=5,得x2=4,即x=±2.故根据题意结合函数f(x)=x2+1的图象得a,b满足:-2<a≤0且b=2或a=-2且0≤b≤2,所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形如图,面积为4.3.方程x2-mx