高考数学二轮复习 专项小测19“17～19题”＋“二选一”理-人教版高三全册数学试题

专项小测(十九)“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝eq\f(5\r(7),14)，cos∠AMC＝－eq\f(2\r(7),7).(1)求∠B的大小；(2)若AM＝eq\r(21)，求△AMC的面积．解：(1)由cos∠BAM＝eq\f(5\r(7),14)，得sin∠BAM＝eq\f(\r(21),14)， (1分)由cos∠AMC＝－eq\f(2\r(7),7)，得sin∠AMC＝eq\f(\r(21),7). (2分)又∠AMC＝∠BAM＋∠B，所以cos∠B＝cos(∠AMC－∠BAM)＝cos∠AMCcos∠BAM＋sin∠AMCsin∠BAM＝－eq\f(2\r(7),7)×eq\f(5\r(7),14)＋eq\f(\r(21),7)×eq\f(\r(21),14)＝－eq\f(1,2)， (5分)又∠B∈(0，π)，所以∠B＝eq\f(2π,3). (6分)(2)解法一：由(1)知∠B＝eq\f(2π,3)，在△ABM中，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠B)＝eq\f(BM,sin∠BAM)，所以BM＝eq\f(AMsin∠BAM,sin∠B)＝eq\f(\r(21)×\f(\r(21),14),\f(\r(3),2))＝eq\r(3). (9分)因为M是边BC的中点，所以MC＝eq\r(3). (10分)故S△AMC＝eq\f(1,2)AM·MC·sin∠AMC＝eq\f(1,2)×eq\r(21)×eq\r(3)×eq\f(\r(21),7)＝eq\f(3\r(3),2).(12分)解法二：由(1)知∠B＝eq\f(2π,3)，在△ABM中，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠B)＝eq\f(BM,sin∠BAM)，所以BM＝eq\f(AMsin∠BAM,sin∠B)＝eq\f(\r(21)×\f(\r(21),14),\f(\r(3),2))＝eq\r(3). (9分)因为M是边BC的中点，所以S△AMC＝S△ABM， (10分)所以S△AMC＝S△ABM＝eq\f(1,2)AM·BM·sin∠BMA＝eq\f(1,2)×eq\r(21)×eq\r(3)×eq\f(\r(21),7)＝eq\f(3\r(3),2). (12分)18．(12分)为了解学生寒假期间的学习情况，学校对某班男、女学生学习的时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X，求随机变量X的分布列；(3)试比较男生学习时间的方差Seq\o\al(2,1)与女生学习时间方差Seq\o\al(2,2)的大小．(只需写出结论)解：(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人，所以可估计全校中每天学习不足4小时的人数为400×eq\f(12,20)＝240人． (4分)(2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男学生人数为4人，所以X的所有可能取值为0,1,2,3,4.由题意可得P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,70)； (5分)P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(16,70)＝eq\f(8,35)； (6分)P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(36,70)＝eq\f(18,35)； (7分)P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(16,70)＝eq\f(8,35)； (8分)P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,70)， (9分)所以随机变量X的分布列为X01234Peq\f(1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35)eq\f(8,35)eq\f(1,70) (10分)(3)由折线图可得Seq\o\al(2,1)＞Seq\o\al(2,2). (12分)19．(12分)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，点A(2,0)，动直线y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，已知直线AM的斜率为k1，直线AN的斜率为k2，且k1，k2的乘积为λ.(1)若k＝0，求实数λ的值；(2)若λ＝－eq\f(3,4)，求证：直线MN过定点．解：(1)不妨设M(－2eq\r(1－m2)，m)，N(2eq\r(1－m2)，m)k1＝eq\f(m,－2\r(1－m2)－2)，k2＝eq\f(m,2\r(1－m2)－2)， (2分)k1k2＝－eq\f(m2,41－m2－4)＝eq\f(1,4)，∴λ＝eq\f(1,4). (4分)(2)联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＋4y2＝4))得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(8km,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4m2－4,1＋4k2). (6分)∵k1k2＝eq\f(y1,x1－2)·eq\f(y2,x2－2)＝eq\f(kx1＋mkx2＋m,x1－2x2－2)＝－eq\f(3,4)，∴4(kx1＋m)(kx2＋m)＋3(x1－2)(x2－2)＝0，∴(4k2＋3)x1x2＋(4km－6)(x1＋x2)＋4m2＋12＝0， (8分)∴(4k2＋3)eq\f(4m2－4,1＋4k2)＋(4km－6)eq\f(－8km,1＋4k2)＋4m2＋12＝0.∴2k2＋m2＋3km＝0， (10分)∴m＝－k或m＝－2k，均符合Δ＞0.若m＝－2k，直线MN：y＝k(x－2)过A(2,0)，与已知矛盾，∴m＝－k，直线MN：y＝k(x－1)过定点(1,0)． (12分)(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝2.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)设曲线C1，C2交于点A，B，曲线C2与x轴交于点E，求线段AB的中点到点E的距离．解：(1)曲线C1的极坐标方程可以化为ρ2－4ρsinθ＝0，所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，曲线C2的极坐标方程可以化为ρsinθ·eq\f(\r(3),2)＋ρcosθ·eq\f(1,2)＝2，所以曲线C2的直角坐标方程为x＋eq\r(3)y－4＝0. (5分)(2)因为点E的坐标为(4,0)，C2的倾斜角为eq\f(5π,6)，所以C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)，将C2的参数方程代入曲线C1的直角坐标方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(\r(3),2)t))2＋eq\f(t2,4)－2t＝0，整理得t2－(4eq\r(3)＋2)t＋16＝0，判别式Δ＞0，中点对应的参数为2eq\r(3)＋1，所以线段AB中点到E点距离为2eq\r(3)＋1. (10分)23．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝－|x－a|＋a，g(x)＝|2x－1|＋|2x＋4|.(1)解不等式g(x)＜6；(2)若对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得－g(x1)＝f(x2)成立，求实数a的取值范围．解：(1)由|2x－1|＋|2x＋4|＜6得①当x≤－2时，－2x＋1－2x－4＜6，得x＞－eq\f(9,4)，即－eq\f(9,4)＜x≤－2；②当－2＜x＜eq\f(1,2)时，－2x＋1＋2x＋4＜6，得5＜6，即－2＜x＜eq\f(1,2)；③当x≥eq\f(1,2)时，2x－1＋2x＋4＜6，得x＜eq\f(3,4)，即eq\f(1,2)≤x＜eq\f(3,4).综上，不等式g(x)＜6的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(